2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第1節(jié) 函數(shù)及其表示教學(xué)案 理（含解析）北師大版

第一節(jié)函數(shù)及其表示考綱傳真1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念.2.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖像法、列表法、解析法)表示函數(shù).3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用1函數(shù)與映射的概念函數(shù)映射兩集合A，B設(shè)A，B是兩個非空的數(shù)集設(shè)A，B是兩個非空的集合對應(yīng)關(guān)系f：AB如果按照某個對應(yīng)關(guān)系f，對于集合A中的任何一個數(shù)x，在集合B中都存在唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)集合A與B存在著對應(yīng)關(guān)系f，對于集合A中的每一個元素x，集合B中總有唯一的元素y與之對應(yīng)名稱把對應(yīng)關(guān)系f叫作定義在集合A上的函數(shù)稱這種對應(yīng)為從集合A到集合B的映射記法函數(shù)yf(x)，xA映射：f：AB2.函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域：數(shù)集A叫作函數(shù)的定義域；函數(shù)值的集合f(x)|xA叫作函數(shù)的值域(2)函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域(3)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)為相等函數(shù)(4)函數(shù)的表示法：表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖像法和列表法3分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫作分段函數(shù)分段函數(shù)是一個函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集常用結(jié)論簡單函數(shù)定義域的類型(1)f(x)為分式型函數(shù)時，分式分母不為零；(2)f(x)為偶次根式型函數(shù)時，被開方式非負；(3)f(x)為對數(shù)型函數(shù)時，真數(shù)為正數(shù)、底數(shù)為正且不為1；(4)若f(x)x0，則定義域為x|x0；(5)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于0且不等于1；(6)正切函數(shù)ytan x的定義域為xxk，kZ.基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)是特殊的映射()(2)函數(shù)y1與yx0是同一個函數(shù)()(3)f(x)是一個函數(shù)()答案(1)(2)×(3)×2(教材改編)函數(shù)y的定義域為()A.B(，3)(3，)C.(3，) D(3，)C由題意知解得x且x3.3(教材改編)若函數(shù)yf(x)的定義域為Mx|2x2，值域為Ny|0y2，則函數(shù)yf(x)的圖像可能是()AB C DBMx|2x2，Ny|0y2，yf(x)圖像只可能是B.4下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()Af(x)與g(x)Bf(x)|x|與g(x)()2Cf(x)與g(x)x1Df(x)x0與g(x)D在選項A中，由f(x)x與g(x)|x|的對應(yīng)法則不同；對于選項B，f(x)|x|的定義域為R ，g(x)()2的定義域為x|x0，故定義域不同；在選項C中，f(x)的定義域為xR|x1，而g(x)x1的定義域為R，故兩函數(shù)的定義域不同；對于選項D，f(x)x01(x0)，g(x)1(x0)，定義域和對應(yīng)法則都相同，故選D.5(教材改編)已知函數(shù)f(x)則f(1)_；若f(a)5，則a_.5±1f(1)5.當(dāng)a0時，由f(a)a24a5可知a1；當(dāng)a0時，由f(a)a24a5得a1.綜上可知a±1.函數(shù)的定義域【例1】(1)在下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)y10lg x的定義域和值域相同的是()AyxBylg xCy2x Dy(2)若函數(shù)yf(x)的定義域是0,2 018，則函數(shù)g(x)的定義域是()A1,2 017 B1,1)(1,2 017C0,2 018 D1,1)(1,2 018(1)D(2)B(1)y10lg xx，定義域與值域均為(0，)yx的定義域和值域均為R；ylg x的定義域為(0，)，值域為R；y2x的定義域為R，值域為(0，)；y的定義域與值域均為(0，)故選D.(2)令tx1，則由已知函數(shù)yf(x)的定義域為0，2 018可知f(t)中0t2 018，故要使函數(shù)f(x1)有意義，則0x12 018，解得1x2 017，故函數(shù)f(x1)的定義域為1,2 017所以函數(shù)g(x)有意義的條件是解得1x1或1x2 017.故函數(shù)g(x)的定義域為1,1)(1,2 017規(guī)律方法(1)求給定函數(shù)的定義域往往轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題，可借助于數(shù)軸，注意端點值的取舍.(2)求抽象函數(shù)的定義域：若yf(x)的定義域為(a，b)，則解不等式ag(x)b即可求出yf(g(x)的定義域；若yf(g(x)的定義域為(a，b)，則求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定義域.(3)已知函數(shù)定義域求參數(shù)范圍，可將問題轉(zhuǎn)化成含參數(shù)的不等式，然后求解. (1)函數(shù)f(x)lg(3x1)的定義域是()A.B.C. D.(2)已知函數(shù)f(2x)的定義域為1,1，則f(x)的定義域為_(1)A(2)(1)由題意可知解得x1，故選A.(2)f(2x)的定義域為1,1，2x2，即f(x)的定義域為.求函數(shù)的解析式【例2】(1)已知fx2，求f(x)的解析式；(2)已知flg x，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是二次函數(shù)且f(0)2，f(x1)f(x)x1，求f(x)的解析式；(4)已知f(x)2fx(x0)，求f(x)的解析式解(1)由于fx222，令tx，當(dāng)x0時，t22，當(dāng)且僅當(dāng)x1時取等號；當(dāng)x0時，t2，當(dāng)且僅當(dāng)x1時取等號，f(t)t22，t(，22，)綜上所述，f(x)的解析式是f(x)x22，x(，22，)(2)令1t，由于x0，t1且x，f(t)lg，即f(x)lg(x1)(3)設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)2，得c2，f(x1)f(x)a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即2axabx1，即f(x)x2x2.(4)f(x)2fx，f2f(x).聯(lián)立方程組解得f(x)(x0)規(guī)律方法求函數(shù)解析式的常用方法(1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型，可用待定系數(shù)法.(2)配湊法：由已知條件f(g(x)F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式.(3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x)的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍(4)消元法：已知關(guān)于f(x)與f或f(x)的表達式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式，通過解方程組求出f(x). (1)已知f(x)是一次函數(shù)，且ff(x)x2，則f(x)()Ax1 B2x1Cx1 Dx1或x1(2)定義在(1,1)內(nèi)的函數(shù)f(x)滿足2f(x)f(x)lg(x1)，則f(x)_.(1)A(2)lg(x1)lg(1x)，x(1,1)(1)設(shè)f(x)kxb(k0)，又ff(x)x2，得k(kxb)bx2，即k2xkbbx2.k21，且kbb2，解得kb1，則f(x)x1.(2)當(dāng)x(1,1)時，有2f(x)f(x)lg(x1)將x換成x，則x換成x，得2f(x)f(x)lg(x1)由消去f(x)得，f(x)lg(x1)lg(1x)，x(1,1)分段函數(shù)考法1求分段函數(shù)的函數(shù)值【例3】已知函數(shù)f(x)則ff_.8由題可得flog 2，因為log20，所以f2log266，故ff8.考法2已知分段函數(shù)的函數(shù)值求參數(shù)【例4】(2017·山東高考)設(shè)f(x)若f(a)f(a1)，則f()A2 B4C6 D8Cf(a)f(a1)，或即或a，ff(4)6.考法3解與分段函數(shù)有關(guān)的方程或不等式【例5】(2019·福州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)若f(x0)1，則x0的取值范圍是_(0,2)(3，)f(x)且f(x0)1，此不等式轉(zhuǎn)化為或即或解之得0x02或x03.x0的取值范圍是(0,2)(3，)規(guī)律方法(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于定義域的哪一個子集，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(a)的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.(2)已知函數(shù)值或函數(shù)值范圍求自變量的值或范圍時，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍.易錯警示：當(dāng)分段函數(shù)自變量的范圍不確定時，應(yīng)分類討論. (1)已知函數(shù)f(x)則f_；(2)函數(shù)f(x)若f(a)a，則實數(shù)a的取值范圍是_(1)log3 2(2)1，)(1)flog32，ff(2)f(22)f(0)f(02)f(2)，f(2)log3 2，ff(2)log3 2.(2)當(dāng)a0時，由f(a)a1a，解得a2，即a0；當(dāng)a0時，由f(a)a，解得1a1，即1a0.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是1，)1(2015·全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)則f(2)f(log212)()A3B6C9 D12C2<1，f(2)1log2(22)1log24123.log212>1，f(log212)2log21216.f(2)f(log212)369.故選C.2(2017·全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)則滿足f(x)f1的x的取值范圍是_當(dāng)x0時，原不等式為x1x>1，解得x>，<x0.當(dāng)0<x時，原不等式為2xx>1，顯然成立當(dāng)x>時，原不等式為2x2x>1，顯然成立綜上可知，x的取值范圍是.- 8 -