2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第6節(jié) 正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用教學(xué)案 理（含解析）北師大版

第六節(jié)正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用考綱傳真1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.2.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實(shí)際問題1正弦、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為ABC的外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容2R.a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C.變形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)abcsin Asin Bsin C；(3)2R.cos A；cos B；cos C.2.三角形常用面積公式(1)Sa·ha(ha表示邊a上的高)；(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A；(3)Sr(abc)(r為內(nèi)切圓半徑)3實(shí)際問題中的常用角(1)仰角和俯角：與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方的角叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的角叫做俯角(如圖1)(2)方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30°、北偏西45°、西偏北60°等(3)方位角：指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如點(diǎn)B的方位角為(如圖2)(4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)1在ABC中，ABabsin Asin B2三角形中的射影定理在ABC中，abcos Cccos B；bacos Cccos A；cbcos Aacos B3內(nèi)角和公式的變形(1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C.4在ABC中，若acos Abcos B，則ABC是等腰三角形或直角三角形基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個內(nèi)角之比()(2)在ABC中，若sin Asin B，則AB()(3)在ABC的六個元素中，已知任意三個元素可求其他元素()(4)當(dāng)b2c2a20時，ABC為銳角三角形；當(dāng)b2c2a20時，ABC為直角三角形；當(dāng)b2c2a20時，ABC為鈍角三角形()答案(1)×(2)(3)×(4)×2(教材改編)已知ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若A，B，a1，則b()A2B1C. DD由得b×2.3(教材改編)在ABC中，若a18，b24，A45°，則此三角形有()A無解 B兩解C一解 D解的個數(shù)不確定Bbsin A24sin 45°12，121824，即bsin AaB此三角形有兩解4在ABC中，sin Asin Bsin C324，則cos C的值為()A. BC DD由題意可知abc324，不妨設(shè)a3k，b2k，c4k，則cos C.5在ABC中，a2，c，B30°，則SABC_；b_.1SABCacsin B×2××.由b2a2c22accos B434cos 30°1，得b1.利用正、余弦定理解三角形【例1】(2016·全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面積為，求ABC的周長解(1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，即2cos Csin(AB)sin C，故2sin Ccos Csin C.可得cos C，所以C.(2)由已知得absin C.又C，所以ab6.由已知及余弦定理得a2b22abcos C7，故a2b213，從而(ab)225，所以ab5(負(fù)值舍去)所以ABC的周長為5.規(guī)律方法解三角形的常見題型及求解方法(1)已知兩角A，B與一邊a，由ABC及，可先求出角C及b，再求出c.(2)已知兩邊b，c及其夾角A，由a2b2c22bccos A，先求出a，再求出角B，C.(3)已知三邊a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.(4)已知兩邊a，b及其中一邊的對角A，由正弦定理可求出另一邊b的對角B，由C(AB)，可求出角C，再由可求出c，而通過求角B時，可能有一解或兩解或無解的情況 (1)(2018·重慶二模)在ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別是a，b，c，若(ab)(sin Asin B)c(sin Csin B)，則角A等于()A.BC. D(2)如圖，在ABC中，已知點(diǎn)D在邊AB上，AD3DB，cos A，cosACB，BC13.求cos B的值；求CD的長(1)D由正弦定理可得(ab)(ab)c(cb)，即b2c2a2bc，由余弦定理可得cos A，又A(0，)，則A，故選D(2)解在ABC中，因?yàn)閏os A，A(0，)，所以sin A.同理可得sinACB.所以cos Bcos(AACB)cos(AACB)sin AsinACBcos AcosACB××.在ABC中，由正弦定理得，ABsinACB×20.又AD3DB，所以BDAB5，又在BCD中，由余弦定理得CD 9.判斷三角形的形狀【例2】(1)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，(bca)(bca)3bc，則ABC的形狀為()A直角三角形 B等腰非等邊三角形C等邊三角形 D鈍角三角形(2)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若cacos B(2ab)cos A，則ABC的形狀為()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形(1)C(2)D(1)，bc.又(bca)(bca)3bc，b2c2a2bc，cos A.A(0，)，A，ABC是等邊三角形(2)因?yàn)閏acos B(2ab)cos A，C(AB)，所以由正弦定理得sin Csin Acos B2sin Acos Asin B cos A，所以sin Acos Bcos Asin Bsin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，所以cos A(sin Bsin A)0，所以cos A0或sin Bsin A，所以A或BA或BA(舍去)，所以ABC為等腰或直角三角形規(guī)律方法判定三角形形狀的方法(1)化邊：通過因式分解，配方等得邊的相對應(yīng)關(guān)系(2)化角：通過三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，此時要注意應(yīng)用ABC這個結(jié)論 (1)已知ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若 ，則該三角形的形狀是()A直角三角形 B等腰三角形C等邊三角形 D鈍角三角形(2)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊分別是a，b，c，若sin2，則ABC的形狀一定是_(1)A(2)直角三角形(1)因?yàn)?，由正弦定理得，所以sin 2Asin 2B由，可知ab，所以AB又A，B(0, )，所以2A180°2B，即AB90°，所以C90°，于是ABC是直角三角形(2)由題意，得，即cos B，又由余弦定理，得，整理得a2b2c2，所以ABC為直角三角形與三角形有關(guān)的最值(范圍)問題【例3】(2019·廣州調(diào)研)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足a2，acos B(2cb)cos A.(1)求角A的大??；(2)求ABC的周長的最大值解(1)法一：由已知，得acos Bbcos A2ccos A.由正弦定理，得sin Acos Bsin Bcos A2sin Ccos A，即sin(AB)2sin Ccos A.因?yàn)閟in(AB)sin(C)sin C，所以sin C2sin Ccos A.因?yàn)閟in C0，所以cos A.因?yàn)?A，所以A.法二：由已知及余弦定理，得a×(2cb)×，即b2c2a2bc，所以cos A.因?yàn)?A，所以A.(2)法一：由余弦定理a2b2c22bccos A，得bc4b2c2，即(bc)23bc4.因?yàn)閎c2，所以(bc)2(bc)24，即bc4(當(dāng)且僅當(dāng)bc2時等號成立)，所以abc6.故ABC的周長的最大值為6.法二：因?yàn)?，且a2，A，所以bsin B，csin C.所以abc2(sin Bsin C)2sin Bsin24sin.因?yàn)?B，所以當(dāng)B時，abc取得最大值6.故ABC的周長的最大值為6.規(guī)律方法求有關(guān)三角形面積或周長的最值(范圍)問題，一般轉(zhuǎn)化為一個角的一個三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性求解，或利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，再應(yīng)用基本不等式求解 (1)(2018·鄭州一模)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2ccos B2ab，若ABC的面積Sc，則ab的最小值為()A28 B36C48 D56(2)(2019·河北五校聯(lián)考)在ABC中，AB2，C，則ACBC的最大值為()A. B2C3 D4(1)C(2)D(1)在ABC中，2ccos B2ab，由正弦定理，得2sin Ccos B2sin Asin B又A(BC)，所以sin Asin(BC)sin(BC)，所以2sin Ccos B2sin(BC)sin B2sin Bcos C2cos Bsin Csin B，得2sin Bcos Csin B0，因?yàn)閟in B0，所以cos C，又0C，所以C.由Scabsin Cab×，得c.由余弦定理得，c2a2b22abcos Ca2b2ab2abab3ab(當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號)，所以23ab，得ab48，所以ab的最小值為48，故選C.(2)C，ABC，AB.由正弦定理，得4，BC4sin A，AC4sin B，ACBC4sin B4sin A4sin4sin A2cos A6sin A4sin(A)，當(dāng)A2k(kZ)時，ACBC取得最大值，為4.故選D解三角形的實(shí)際應(yīng)用【例4】(1)江岸邊有一炮臺高30 m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水平面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距_m.(2)某漁船在航行中不幸遇險，發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁船在方位角為45°，距離A為10海里的C處，并測得漁船正沿方位角為105°的方向，以10海里/時的速度向小島B靠攏，我海軍艦艇立即以10海里/時的速度前去營救，則艦艇的航向?yàn)楸逼珫|_(1)10(2)75°(1)如圖，過炮臺頂部A作水平面的垂線，垂足為B，設(shè)A處觀測小船C的俯角為45°，設(shè)A處觀測小船D的俯角為60°，連接BC，BDRtABC，ACB45°，可得BCAB30 m，RtABD中，ADB60°，可得BD10 m，在BCD中，BC30 m，BD10 m，CBD30°，由余弦定理可得：CD2BC2BD22BC·BDcos 30°300，CD10 m.(2)如圖所示，設(shè)所需時間為t小時，則AB10t，CB10t，在ABC中，根據(jù)余弦定理，則有AB2AC2BC22AC·BC·cos 120°，可得(10t)2102(10t)22×10×10tcos 120°.整理得2t2t10，解得t1或t(舍去)，艦艇需1小時靠近漁船，此時AB10，BC10.在ABC中，由正弦定理得，sinCAB.CAB30°.所以艦艇航向?yàn)楸逼珫|75°.規(guī)律方法利用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際問題的一般思路：(1)實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，再逐步求解其他三角形，有時需設(shè)出未知量，根據(jù)條件列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解 如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600 m后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD_m.100由題意，在ABC中，BAC30°，ABC180°75°105°，故ACB45°.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m.在RtBCD中，CDBC·tan 30°300×100(m)1(2018·全國卷)在ABC中，cos ，BC1，AC5，則AB()A4BC. D2A因?yàn)閏os ，所以cos C2cos2 12×21.于是，在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22AC×BC×cos C52122×5×1×32，所以AB4.故選A.2.(2018·全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若ABC的面積為，則C()A. BC. DC因?yàn)镾ABCabsin C，所以absin C由余弦定理a2b2c22abcos C，得2abcos C2absin C，即cos Csin C，所以在ABC中，C.故選C.3(2016·全國卷)在ABC中，B，BC邊上的高等于BC，則cos A()A. BC DC法一：設(shè)ABC中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則由題意得SABCa·aacsin B，ca.由余弦定理得b2a2c22accos Ba2a22×a×a×a2，ba.cos A.故選C.法二：同法一得ca.由正弦定理得sin Csin A, 又B，sin Csinsin A，即cos Asin Asin A，tan A3，A為鈍角又1tan2A，cos2A，cos A.故選C.4(2016·全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos A，cos C，a1，則b_.因?yàn)锳，C為ABC的內(nèi)角，且cos A，cos C，所以sin A，sin C，所以sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C××.又a1，所以由正弦定理得b×.5.(2017·全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知ABC的面積為.(1)求sin Bsin C；(2)若6cos Bcos C1，a3，求ABC的周長解(1)由題設(shè)得acsin B，即csin B.由正弦定理得sin Csin B.故sin Bsin C.(2)由題設(shè)及(1)得cos Bcos Csin Bsin C，即cos(BC).所以BC，故A.由題意得bcsin A，a3，所以bc8.由余弦定理得b2c2bc9，即(bc)23bc9.由bc8，得bc.故ABC的周長為3.- 12 -