2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 不等式、推理與證明 第5節(jié) 直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)案 理（含解析）新人教A版

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1、第五節(jié)　直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法 [考綱傳真]　1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程和特點(diǎn).2.了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過(guò)程和特點(diǎn).3.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.4.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題． 1．直接證明 (1)綜合法 定義：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立的證明方法． (2)分析法 定義：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止的證明方

2、法． 2．間接證明——反證法 一般地，假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法． 3．?dāng)?shù)學(xué)歸納法 一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行： (1)歸納奠基：證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N*)時(shí)命題成立； (2)歸納遞推：假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立． 只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立．上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法． [常用結(jié)論]　利用歸納假設(shè)的技巧 在推證n＝k＋1時(shí)，可以通過(guò)湊

3、、拆、配項(xiàng)等方法用上歸納假設(shè)．此時(shí)既要看準(zhǔn)目標(biāo)，又要掌握n＝k與n＝k＋1之間的關(guān)系．在推證時(shí)，分析法、綜合法、反證法等方法都可以應(yīng)用． [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，第一步是驗(yàn)證當(dāng)n＝1時(shí)結(jié)論成立．(　　) (2)綜合法是直接證明，分析法是間接證明．(　　) (3)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件．(　　) (4)用反證法證明結(jié)論“a>b”時(shí)，應(yīng)假設(shè)“a

4、＝(a≠1，n∈N*)”時(shí)，在驗(yàn)證n＝1成立時(shí)，左邊應(yīng)該是(　　) A．1　　　 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 C　[n＝1時(shí)，左邊＝1＋a＋a2，故選C.] 3．命題“對(duì)于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的證明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”過(guò)程應(yīng)用了 (　　) A．分析法 B．綜合法 C．綜合法、分析法結(jié)合使用 D．間接證法 B　[由證明過(guò)程看是用了綜合法的證明，故選B.] 4．設(shè)a，b，c都是正數(shù)，則a＋，b＋，c＋三個(gè)數(shù)(　　)

5、A．都大于2 B．都小于2 C．至少有一個(gè)不大于2 D．至少有一個(gè)不小于2 D　[∵＋＋ ＝＋＋≥6， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號(hào)， ∴三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于2.] 5．用數(shù)學(xué)歸納法證明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝時(shí)，由n＝k的假設(shè)到證明n＝k＋1時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的式子是(　　) A．(k＋1)2＋2k2 B．(k＋1)2＋k2 C．(k＋1)2 D.(k＋1)[2(k＋1)2＋1] B　[若n＝k時(shí)成立，即12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝成立，那么n＝k＋1時(shí)，左邊＝12＋22＋…＋k2

6、＋(k＋1)2＋k2＋…＋22＋12，對(duì)比n＝k時(shí)的式子可知，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的式子是(k＋1)2＋k2，故選B.] 分析法的應(yīng)用 1．若a，b∈(1，＋∞)，證明＜. [證明]　要證＜， 只需證()2＜()2， 只需證a＋b－1－ab＜0， 即證(a－1)(1－b)＜0. 因?yàn)閍＞1，b＞1，所以a－1＞0,1－b＜0， 即(a－1)(1－b)＜0成立， 所以原不等式成立． 2．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c. 求證：＋＝. [證明]　要證＋＝， 即證＋＝3，也就是＋＝1， 只需證c(b＋c)＋a

7、(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 需證c2＋a2＝ac＋b2， 又△ABC三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，故B＝60°， 由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos 60°， 即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立． 于是原等式成立． [規(guī)律方法]　(1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過(guò)反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件.正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問(wèn)題順利解決的關(guān)鍵. (2)證明較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，可以采用兩頭湊的辦法，即通過(guò)分析法找出某個(gè)與結(jié)論等價(jià)(或充分)的中間結(jié)論，然后通過(guò)綜合法證明這個(gè)中間結(jié)論，從而使原命題得證. 綜合法的應(yīng)用 【例1】　設(shè)數(shù)列{a

8、n}的前n項(xiàng)和為Sn，已知3an－2Sn＝2. (1)證明{an}是等比數(shù)列并求出通項(xiàng)公式an； (2)求證：S－SnSn＋2＝4×3n. [證明]　(1)因?yàn)?an－2Sn＝2，所以3an＋1－2Sn＋1＝2， 所以3an＋1－3an－2(Sn＋1－Sn)＝0. 因?yàn)镾n＋1－Sn＝an＋1，所以＝3，所以{an}是等比數(shù)列． 當(dāng)n＝1時(shí)，3a1－2S1＝2，又S1＝a1，所以a1＝2. 所以{an}是以2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為an＝2×3n－1. (2)由(1)可得Sn＝3n－1，Sn＋1＝3n＋1－1，Sn＋2＝3n＋2－1， 故S－SnSn＋2＝(

9、3n＋1－1)2－(3n－1)(3n＋2－1)＝4×3n， 即S－SnSn＋2＝4×3n. [規(guī)律方法]　(1)綜合法是“由因?qū)Ч钡淖C明方法，它是一種從已知到未知(從題設(shè)到結(jié)論)的邏輯推理方法，即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實(shí)判斷(命題)出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列中間推理，最后導(dǎo)出所要求證結(jié)論的真實(shí)性. (2)綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理. 設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1. 證明：(1)ab＋bc＋ac≤； (2)＋＋≥1. [證明]　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac， 得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca， 由題設(shè)得(a＋b＋c)

10、2＝1， 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1. 所以3(ab＋bc＋ca)≤1， 即ab＋bc＋ca≤. (2)因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c， 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， 即＋＋≥a＋b＋c， 所以＋＋≥1. 反證法的應(yīng)用 【例2】　設(shè)a>0，b>0，且a＋b＝＋.證明： (1)a＋b≥2； (2)a2＋a<2與b2＋b<2不可能同時(shí)成立． [證明]　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1. (1)由基本不等式及ab＝1， 有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2. (2)假設(shè)a2＋a<2與b2＋b<2同

11、時(shí)成立，則由a2＋a<2及a>0，得0

12、 (1)求證：數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列； (2)數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列嗎？為什么？ [解]　(1)證明：假設(shè)數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列，則S＝S1S3， 即a(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)， 因?yàn)閍1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2， 即q＝0，這與公比q≠0矛盾， 所以數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列． (2)當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1，故{Sn}是等差數(shù)列； 當(dāng)q≠1時(shí)，{Sn}不是等差數(shù)列．假設(shè){Sn}是等差數(shù)列， 則2S2＝S1＋S3，即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)， 得q＝0，這與公比q≠0矛盾． 綜上，當(dāng)q＝1時(shí)，數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列；

13、 當(dāng)q≠1時(shí)，數(shù)列{Sn}不是等差數(shù)列． 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 【例3】　已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N*. (1)當(dāng)n＝1,2,3時(shí)，試比較f(n)與g(n)的大小關(guān)系； (2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明． [解]　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝1，g(1)＝1， 所以f(1)＝g(1)； 當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝，g(2)＝，所以f(2)＜g(2)； 當(dāng)n＝3時(shí)，f(3)＝，g(3)＝， 所以f(3)＜g(3)． (2)由(1)猜想，f(n)≤g(n)，用數(shù)學(xué)歸納法證明． ①當(dāng)n＝1,2,3時(shí)，不等式顯然成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(

14、k＞3，k∈N*)時(shí)不等式成立， 即1＋＋＋＋…＋＜－， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， f(k＋1)＝f(k)＋＜－＋. 因?yàn)椋? ＝－ ＝＜0， 所以f(k＋1)＜－＝g(k＋1)． 由①②可知，對(duì)一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立． [規(guī)律方法]　1.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式應(yīng)注意的問(wèn)題 (1)當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí)，應(yīng)用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法． (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n＝k成立，推證n＝k＋1時(shí)也成立，證明時(shí)用上歸納假設(shè)后，可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮法、構(gòu)造函數(shù)法等證明方法． 2．利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與

15、正整數(shù)n有關(guān)的未知問(wèn)題、存在性問(wèn)題，其基本模式是“歸納—猜想—證明”，即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理論證結(jié)論的正確性． 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15. (1)求a1，a2，a3的值； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． [解]　(1)由Sn＝2nan＋1－3n2－4n，得 S2＝4a3－20，S3＝S2＋a3＝5a3－20. 又S3＝15， ∴a3＝7，S2＝4a3－20＝8. ∵S2＝S1＋a2＝(2a2－7)＋a2＝3a2－7， ∴a2＝5，a1＝S1＝2a2－7＝3. 綜上知a1＝3，a2＝5，a3＝7. (2)由(1)猜想an＝2n＋1(n∈N*)，以下用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝1時(shí)，猜想顯然成立； ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，且k≥2)時(shí)，有ak＝2k＋1成立， 則Sk＝3＋5＋7＋…＋(2k＋1) ＝·k＝k(k＋2)． 又Sk＝2kak＋1－3k2－4k， ∴k(k＋2)＝2kak＋1－3k2－4k， 解得ak＋1＝2k＋3＝2(k＋1)＋1， 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，猜想成立． 由①②知，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋1(n∈N*)． - 7 -