2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 不等式、推理與證明 第5節(jié) 直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)案 理（含解析）新人教A版

第五節(jié)直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法考綱傳真1.了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程和特點(diǎn).2.了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過程和特點(diǎn).3.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.4.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題1直接證明(1)綜合法定義：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立的證明方法(2)分析法定義：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止的證明方法2間接證明反證法一般地，假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法3數(shù)學(xué)歸納法一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)歸納奠基：證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0N*)時(shí)命題成立；(2)歸納遞推：假設(shè)nk(kn0，kN*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)nk1時(shí)命題也成立只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法常用結(jié)論利用歸納假設(shè)的技巧在推證nk1時(shí)，可以通過湊、拆、配項(xiàng)等方法用上歸納假設(shè)此時(shí)既要看準(zhǔn)目標(biāo)，又要掌握nk與nk1之間的關(guān)系在推證時(shí)，分析法、綜合法、反證法等方法都可以應(yīng)用基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，第一步是驗(yàn)證當(dāng)n1時(shí)結(jié)論成立()(2)綜合法是直接證明，分析法是間接證明()(3)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件()(4)用反證法證明結(jié)論“a>b”時(shí)，應(yīng)假設(shè)“a<b”()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2利用數(shù)學(xué)歸納法證明“1aa2an1(a1，nN*)”時(shí)，在驗(yàn)證n1成立時(shí)，左邊應(yīng)該是()A1B1aC1aa2 D1aa2a3Cn1時(shí)，左邊1aa2，故選C.3命題“對(duì)于任意角，cos4sin4cos 2”的證明：“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2”過程應(yīng)用了 ()A分析法B綜合法C綜合法、分析法結(jié)合使用D間接證法B由證明過程看是用了綜合法的證明，故選B.4設(shè)a，b，c都是正數(shù)，則a，b，c三個(gè)數(shù)()A都大于2B都小于2C至少有一個(gè)不大于2D至少有一個(gè)不小于2D6，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號(hào)，三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于2.5用數(shù)學(xué)歸納法證明1222(n1)2n2(n1)22212時(shí)，由nk的假設(shè)到證明nk1時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的式子是()A(k1)22k2 B(k1)2k2C(k1)2 D.(k1)2(k1)21B若nk時(shí)成立，即1222(k1)2k2(k1)22212成立，那么nk1時(shí)，左邊1222k2(k1)2k22212，對(duì)比nk時(shí)的式子可知，當(dāng)nk1時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的式子是(k1)2k2，故選B.分析法的應(yīng)用1若a，b(1，)，證明.證明要證，只需證()2()2，只需證ab1ab0，即證(a1)(1b)0.因?yàn)閍1，b1，所以a10,1b0，即(a1)(1b)0成立，所以原不等式成立2已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.求證：.證明要證，即證3，也就是1，只需證c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需證c2a2acb2，又ABC三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，故B60°，由余弦定理，得b2c2a22accos 60°，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立規(guī)律方法(1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件.正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利解決的關(guān)鍵.(2)證明較復(fù)雜的問題時(shí)，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個(gè)與結(jié)論等價(jià)(或充分)的中間結(jié)論，然后通過綜合法證明這個(gè)中間結(jié)論，從而使原命題得證.綜合法的應(yīng)用【例1】設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知3an2Sn2.(1)證明an是等比數(shù)列并求出通項(xiàng)公式an；(2)求證：SSnSn24×3n.證明(1)因?yàn)?an2Sn2，所以3an12Sn12，所以3an13an2(Sn1Sn)0.因?yàn)镾n1Snan1，所以3，所以an是等比數(shù)列當(dāng)n1時(shí)，3a12S12，又S1a1，所以a12.所以an是以2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為an2×3n1.(2)由(1)可得Sn3n1，Sn13n11，Sn23n21，故SSnSn2(3n11)2(3n1)(3n21)4×3n，即SSnSn24×3n.規(guī)律方法(1)綜合法是“由因?qū)Ч钡淖C明方法，它是一種從已知到未知(從題設(shè)到結(jié)論)的邏輯推理方法，即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實(shí)判斷(命題)出發(fā)，經(jīng)過一系列中間推理，最后導(dǎo)出所要求證結(jié)論的真實(shí)性.(2)綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理. 設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且abc1.證明：(1)abbcac；(2)1.證明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，得a2b2c2abbcca，由題設(shè)得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc，所以1.反證法的應(yīng)用【例2】設(shè)a>0，b>0，且ab.證明：(1)ab2；(2)a2a<2與b2b<2不可能同時(shí)成立證明由ab，a>0，b>0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2.(2)假設(shè)a2a<2與b2b<2同時(shí)成立，則由a2a<2及a>0，得0<a<1；同理，0<b<1，從而ab<1，這與ab1矛盾故a2a<2與b2b<2不可能同時(shí)成立規(guī)律方法用反證法證明問題的步驟(1)反設(shè)：假定所要證的結(jié)論不成立，而設(shè)結(jié)論的反面成立(否定結(jié)論)(2)歸謬：將“反設(shè)”作為條件，由此出發(fā)經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)出矛盾，矛盾可以是與已知條件、定義、公理、定理及明顯的事實(shí)矛盾或自相矛盾.(推導(dǎo)矛盾)(3)立論：因?yàn)橥评碚_，所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤.既然原命題結(jié)論的反面不成立，從而肯定了原命題成立.(命題成立) 設(shè)數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和(1)求證：數(shù)列Sn不是等比數(shù)列；(2)數(shù)列Sn是等差數(shù)列嗎？為什么？解(1)證明：假設(shè)數(shù)列Sn是等比數(shù)列，則SS1S3，即a(1q)2a1·a1·(1qq2)，因?yàn)閍10，所以(1q)21qq2，即q0，這與公比q0矛盾，所以數(shù)列Sn不是等比數(shù)列(2)當(dāng)q1時(shí)，Snna1，故Sn是等差數(shù)列；當(dāng)q1時(shí)，Sn不是等差數(shù)列假設(shè)Sn是等差數(shù)列，則2S2S1S3，即2a1(1q)a1a1(1qq2)，得q0，這與公比q0矛盾綜上，當(dāng)q1時(shí)，數(shù)列Sn是等差數(shù)列；當(dāng)q1時(shí)，數(shù)列Sn不是等差數(shù)列數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用【例3】已知f(n)1，g(n)，nN*.(1)當(dāng)n1,2,3時(shí)，試比較f(n)與g(n)的大小關(guān)系；(2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明解(1)當(dāng)n1時(shí)，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)；當(dāng)n2時(shí)，f(2)，g(2)，所以f(2)g(2)；當(dāng)n3時(shí)，f(3)，g(3)，所以f(3)g(3)(2)由(1)猜想，f(n)g(n)，用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n1,2,3時(shí)，不等式顯然成立假設(shè)當(dāng)nk(k3，kN*)時(shí)不等式成立，即1，則當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)f(k).因?yàn)?，所以f(k1)g(k1)由可知，對(duì)一切nN*，都有f(n)g(n)成立規(guī)律方法1.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式應(yīng)注意的問題(1)當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí)，應(yīng)用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由nk成立，推證nk1時(shí)也成立，證明時(shí)用上歸納假設(shè)后，可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮法、構(gòu)造函數(shù)法等證明方法2利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問題、存在性問題，其基本模式是“歸納猜想證明”，即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理論證結(jié)論的正確性 設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn2nan13n24n，nN*，且S315.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解(1)由Sn2nan13n24n，得S24a320，S3S2a35a320.又S315，a37，S24a3208.S2S1a2(2a27)a23a27，a25，a1S12a273.綜上知a13，a25，a37.(2)由(1)猜想an2n1(nN*)，以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，猜想顯然成立；假設(shè)當(dāng)nk(kN*，且k2)時(shí)，有ak2k1成立，則Sk357(2k1)·kk(k2)又Sk2kak13k24k，k(k2)2kak13k24k，解得ak12k32(k1)1，即當(dāng)nk1時(shí)，猜想成立由知，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1(nN*)- 7 -