2020版高考數(shù)學一輪復習 高考大題增分課2 三角函數(shù)與解三角形中的高考熱點問題教學案 理（含解析）北師大版

高考大題增分課命題解讀從近五年全國卷高考試題來看，解答題第17題交替考查解三角形與數(shù)列，本專題的熱點題型有：一是考查解三角形；二是解三角形與三角恒等變換的交匯問題；三是平面幾何圖形中的度量問題；四是三角形中的最值(范圍)問題解三角形以斜三角形為背景求三角形的基本量、求三角形面積或判斷三角形形狀，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函數(shù)公式的應用【例1】(2017·全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知sin Acos A0，a2，b2.(1)求c；(2)設D為BC邊上一點，且ADAC，求ABD的面積解(1)由已知可得tan A，所以A.在ABC中，由余弦定理得284c24ccos，即c22c240，解得c6(舍去)，c4.(2)由題設可得CAD，所以BADBACCAD.故ABD面積與ACD面積的比值為1.又ABC的面積為×4×2sinBAC2，所以ABD的面積為.規(guī)律方法1.正、余弦定理的選用解三角形時，如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時，要考慮用余弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到2與三角形面積有關問題的解題策略(1)求三角形的面積對于面積公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一個角就使用含哪個角的公式(2)已知三角形的面積解三角形與面積有關的問題，一般要利用正弦定理或余弦定理進行邊和角的互化 (2018·鄭州二模)ABC內(nèi)接于半徑為R的圓，a，b，c分別是A，B，C的對邊，且2R(sin2Bsin2A)(bc)sin C，c3.(1)求A；(2)若AD是BC邊上的中線，AD，求ABC的面積解(1)2R(sin2Bsin2A)(bc)sin C，由正弦定理得bsin Basin Absin Ccsin C，則b2a2bcc2.所以cos A，所以A60°.(2)以AB，AC為鄰邊作平行四邊形ABEC，在ABE中，ABE120°，AE，由余弦定理得AE2AB2BE22AB·BEcos 120°，即199AC22×3×AC×，解得AC2(舍負)故SABCbcsin A×2×3×.三角恒等變換與解三角形以三角形為載體，三角恒等變換與解三角形交匯命題，是近幾年高考試題的一大亮點，主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的綜合應用，求解的關鍵是根據(jù)題目提供的信息，恰當?shù)貙嵤┻吔腔セ纠?】(2017·全國卷) ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin(AC)8sin2.(1)求cos B；(2)若ac6，ABC的面積為2，求B解(1)由題設及ABC得sin B8sin2，故sin B4(1cos B)上式兩邊平方，整理得17cos2B32cos B150，解得cos B1(舍去)，cos B.(2)由cos B得sin B，故SABCacsin Bac.又SABC2，則ac.由余弦定理及ac6得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)362××4.所以b2.規(guī)律方法1.以三角形為載體，實質(zhì)考查三角形中的邊角轉化，求解的關鍵是抓住邊角間的關系，恰當選擇正、余弦定理2解三角形常與三角變換交匯在一起(以解三角形的某一結論作為條件)，此時應首先確定三角形的邊角關系，然后靈活運用三角函數(shù)的和、差、倍角公式化簡轉化 在ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，且(ac)2b23ac.(1)求角B的大??；(2)若b2，且sin Bsin(CA)2sin 2A，求ABC的面積解(1)由(ac)2b23ac，整理得a2c2b2ac，由余弦定理得cos B，0B，B.(2)在ABC中，ABC，即B(AC)，故sin Bsin(AC)，由已知sin Bsin(CA)2sin 2A可得sin(AC)sin(CA)2sin 2A，sin Acos Ccos Asin Csin Ccos Acos Csin A4sin Acos A，整理得cos Asin C2sin Acos A.若cos A0，則A，由b2，可得c，此時ABC的面積Sbc.若cos A0，則sin C2sin A，由正弦定理可知，c2a，代入a2c2b2ac，整理可得3a24，解得a，c，此時ABC的面積Sacsin B.綜上所述，ABC的面積為.平面圖形中的幾何度量問題以四邊形為載體，通過分割或補形構造新的三角形，其實質(zhì)還是考查三角形中正、余弦定理的應用【例3】(本題滿分12分)(2018·全國卷)在平面四邊形ABCD中，ADC90°，A45°，AB2，BD5.(1)求；(2)若.信息提取看到想到ADB；想到ADB中已知哪些量；想到如何應用正、余弦定理解三角形看到想到DBC；想到用余弦定理求BC.解(1)在ABD中，由正弦定理得.由題設知，··································2分所以sinADB.···········································3分由題設知，ADB90°，所以cosADB.··········6分(2)由題設及(1)知，cosBDCsinADB.·····················8分在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BD·DC·cosBDC2582×5×2×25. ·······················································11分所以BC5.·················································12分易錯與防范易錯點防范措施想不到先求sinADB，再計算cosADB同角三角函數(shù)的基本關系：sin2cos21常作為隱含條件，必須熟記于心.求不出cosBDC.互余的兩個角，滿足sin cos .通性通法求解此類問題的突破口：一是觀察所給的四邊形的特征，正確分析已知圖形中的邊角關系，判斷是用正弦定理，還是用余弦定理，求邊或角；二是注意大邊對大角在解三角形中的應用 如圖，在ABC中，點D是邊AC上一點，且AD2CD(1)若ABC90°，ABAD2，求BD的長；(2)求證：.解(1)由題意，AC3，于是cos A.在ABD中，根據(jù)余弦定理可知BD2AB2AD22AB·AD·cos A，所以BD.(2)證明：在ABD和CBD中分別使用正弦定理可得方程組由ADBCDB得sinADBsinCDB于是，結合AD2CD，將上面的兩個方程相比可得，.三角形中的最值(范圍)問題解三角形與其他知識相交匯問題，常與不等式、平面向量等知識相交匯，此類問題出現(xiàn)在解答題的第二問中，屬于中檔題，分值約為6分【例4】ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知abcos Ccsin B(1)求B；(2)若b2，求ABC面積的最大值. 解(1)由已知及正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin B又A(BC)，故sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C由和C(0，)得sin Bcos B又B(0，)，所以B.(2)ABC的面積Sacsin Bac.由已知及余弦定理得4a2c22accos .又a2c22ac，故ac，當且僅當ac時，等號成立因此ABC面積的最大值為1.規(guī)律方法該類求解面積(周長)問題是建立面積(周長)的函數(shù)關系式或者使用基本不等式得出三角形兩邊之積的最大值，再根據(jù)三角形面積公式(或周長公式)求得最值 (2019·長春質(zhì)檢)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bacos C.(1)求角A；(2)若·3，求a的最小值解(1)由題意得，bacos C，由正弦定理知，sin Bsin Acos Csin C.ABC，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，sin Acos Ccos Asin Csin Acos Csin C，cos Asin Csin C，cos A，A.(2)由(1)及·3得bc6，所以a2b2c22bccos Ab2c262bc66，當且僅當bc時取等號，所以a的最小值為.大題增分專訓1(2018·濟南一模)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且bcos Aacos B2c.(1)證明：tan B3tan A；(2)若b2c2a2bc，且ABC的面積為，求a.解(1)證明：根據(jù)正弦定理，得sin Bcos Acos Bsin A2sin C2sin(AB)，即sin Bcos Acos Bsin A2(sin Bcos Acos Bsin A)，整理得sin Bcos A3cos Bsin A，tan B3tan A.(2)由已知得，b2c2a2bc，cos A，由0A，得A，tan A，tan B.由0B，得B，C，ac，由SABCacsin ×a2，得a2.2(2018·合肥一模)已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，(a2b)cos Cccos A0.(1)求角C；(2)若c2，求ABC周長的最大值解(1)根據(jù)正弦定理，由已知得(sin A2sin B)cos Csin Ccos A0，即sin Acos Csin Ccos A2sin Bcos C，sin(AC)2sin Bcos C，ACB，sin(AC)sin(B)sin B0，sin B2sin Bcos C，cos C.C(0，)，C.(2)由(1)及余弦定理得cos C，又c2，a2b212aB(ab)2123ab32，即(ab)248(當且僅當ab2時等號成立)ABC周長的最大值為6.3在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)若a2，SABC6，求b，c的值解(1)，由正弦定理可得：，sin Acos B2sin Ccos Asin Bcos A，sin Acos Bsin Bcos A2sin Ccos A.即sin C2sin Ccos A.又sin C0，cos A.又A(0，)，A.(2)SABCbcsin Abc·6，bc24，又cos A，整理得：(bc)2100，又bc0，bc10.聯(lián)立解得：或- 9 -