2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第5章 數(shù)列 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和教學(xué)案 理（含解析）北師大版

第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和考綱傳真1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系1等差數(shù)列(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫作等差數(shù)列用符號(hào)表示為an1and(nN，d為常數(shù))(2)等差中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫作a與b的等差中項(xiàng)，即A.(3)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：ana1(n1)d，可推廣為anam(nm) d(4)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Snna1d2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系(1)ana1(n1)d可化為andna1d的形式當(dāng)d0時(shí)，an是關(guān)于n的一次函數(shù)；當(dāng)d0時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列；當(dāng)d0時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列(2)數(shù)列an是等差數(shù)列，且公差不為0SnAn2Bn(A，B為常數(shù))等差數(shù)列的性質(zhì)(1)項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列an中，aman(mn)dd(mn)，其幾何意義是點(diǎn)(n，an)，(m，am)所在直線的斜率等于等差數(shù)列的公差若an為等差數(shù)列，且klmn(k，l，m，nN)，則akalaman.(2)和的性質(zhì)：在等差數(shù)列an中，Sn為其前n項(xiàng)和，則S2nn(a1a2n)n(anan1)S2n1(2n1)an.基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列()(2)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意nN*，都有2an1anan2.()(3)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)()(4)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)()答案(1)×(2)(3)×(4)×2等差數(shù)列an中，a4a810，a106，則公差d等于()A. B C2 DAa4a82a610，a65，又a106，公差d.故選A.3(教材改編)設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a62且S530，則S8等于()A31 B32 C33 D34B設(shè)數(shù)列an的公差為d，法一：由S55a330得a36，又a62，S832.法二：由得S88a1d8×28×32.4在等差數(shù)列an中，a17，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)且僅當(dāng)n8時(shí)Sn取得最大值，則d的取值范圍為_(kāi)由題意可知即解得1d.5(教材改編)在等差數(shù)列an中，若a3a4a5a6a7450，則a2a8_.180an為等差數(shù)列，a3a4a5a6a75a5450，a590，a2a82a5180.等差數(shù)列基本量的運(yùn)算1若等差數(shù)列an的前5項(xiàng)和S525，且a23，則a7()A12 B13 C14 D15B由題意得S55a325，a35，公差da3a22，a7a25d35×213.故選B2已知在等差數(shù)列an中，a120，an54，Sn3 700，則數(shù)列的公差d，項(xiàng)數(shù)n分別為()Ad0.34，n100 Bd0.34，n99Cd，n100 Dd，n99C由得解得故選C.3(2018·寧德二模)已知等差數(shù)列an滿足a3a514，a2a633，則a1a7()A33 B16 C13 D12C由得解得或當(dāng)a11，d2時(shí)，a716×213，a1a713；當(dāng)a113，d2時(shí)，a7136×(2)1，a1a713.綜上可知a1a713.故選C.4(2018·西寧一模)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)·均輸中記載了這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問(wèn)各得幾何？”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列，問(wèn)五人各得多少錢？”(“錢”是古代一種重量單位)這個(gè)問(wèn)題中，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為()An(nN*，n5)Bn(nN*，n5)C.n(nN*，n5)Dn(nN*，n5)D由題意可設(shè)五人所得依次對(duì)應(yīng)等差數(shù)列中的a1，a2，a3，a4，a5，公差為d，則通項(xiàng)公式為an(n1)×n(nN*，n5)，故選D規(guī)律方法解決等差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的思想方法(1)方程思想：等差數(shù)列的基本量為首項(xiàng)a1和公差d，通常利用已知條件及通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式列方程(組)求解，等差數(shù)列中包含a1，d，n，an，Sn五個(gè)量，可“知三求二”(2)整體思想：當(dāng)所給條件只有一個(gè)時(shí)，可將已知和所求都用a1，d表示，尋求兩者間的聯(lián)系，整體代換即可求解(3)利用性質(zhì)：運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)可以化繁為簡(jiǎn)、優(yōu)化解題過(guò)程等差數(shù)列的判定與證明【例1】數(shù)列an滿足an1，a11.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，并證明.解(1)證明：an1，化簡(jiǎn)得2，即2，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列(2)由(1)知2n1，所以Snn2.證明：1.規(guī)律方法等差數(shù)列的四個(gè)判定方法(1)定義法：證明對(duì)任意正整數(shù)n都有an1an等于同一個(gè)常數(shù)(2)等差中項(xiàng)法：證明對(duì)任意正整數(shù)n都有2an1anan2.(3)通項(xiàng)公式法：得出anpnq后，再根據(jù)定義判定數(shù)列an為等差數(shù)列(4)前n項(xiàng)和公式法：得出SnAn2Bn后，再使用定義法證明數(shù)列an為等差數(shù)列 已知數(shù)列an滿足a11，且nan1(n1)an2n22n.(1)求a2，a3；(2)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式解(1)由已知，得a22a14，則a22a14，又a11，所以a26.由2a33a212，得2a3123a2，所以a315.(2)由已知nan1(n1)an2n(n1)，得2，即2，所以數(shù)列是首項(xiàng)1，公差d2的等差數(shù)列則12(n1)2n1，所以an2n2n.等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用【例2】(1)設(shè)數(shù)列an，bn都是等差數(shù)列，且a125，b175，a2b2100，則a37b37等于()A0B37C100D37(2)(2019·商洛模擬)等差數(shù)列an中，a13a8a15120，則2a9a10的值是()A20 B22 C24 D8(3)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S39，S636，則a7a8a9等于()A63 B45 C36 D27(1)C(2)C(3)B(1)設(shè)an，bn的公差分別為d1，d2，則(an1bn1)(anbn)(an1an)(bn1bn)d1d2，所以anbn為等差數(shù)列又a1b1a2b2100，所以anbn為常數(shù)列，所以a37b37100.(2)因?yàn)閍13a8a155a8120，所以a824，所以2a9a10a10a8a10a824.(3)由an是等差數(shù)列，得S3，S6S3，S9S6為等差數(shù)列即2(S6S3)S3(S9S6)，得到S9S62S63S345.規(guī)律方法等差數(shù)列的常用性質(zhì)和結(jié)論(1)在等差數(shù)列an中，若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，則amanapaq2ak.(2)在等差數(shù)列an中，數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差數(shù)列 (1)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若m1，且am1am1a10，S2m139，則m等于()A39 B20 C19 D10(2)設(shè)等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對(duì)任意的nN*，都有，則的值為()A. B C. D(1)B(2)C(1)數(shù)列an為等差數(shù)列，則am1am12am，則am1am1a10可化為2ama10，解得am1.又S2m1(2m1)am39，則m20.故選B(2)由題意可知b3b13b5b11b1b152b8，.故選C.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題【例3】在等差數(shù)列an中，已知a120，前n項(xiàng)和為Sn，且S10S15，求當(dāng)n取何值時(shí)，Sn取得最大值，并求出它的最大值解a120，S10S15，10×20d15×20d，d.法一：由an20(n1)×n，得a130.即當(dāng)n12時(shí)，an0，當(dāng)n14時(shí)，an0.當(dāng)n12或n13時(shí)，Sn取得最大值，且最大值為S12S1312×20×130.法二：Sn20n·n2n2.nN*，當(dāng)n12或n13時(shí)，Sn有最大值，且最大值為S12S13130.法三：由S10S15，得a11a12a13a14a150.5a130，即a130.當(dāng)n12或n13時(shí)，Sn有最大值，且最大值為S12S13130.規(guī)律方法求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的兩種方法(1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式Snan2bn，通過(guò)配方或借助圖像求二次函數(shù)最值的方法求解(2)鄰項(xiàng)變號(hào)法當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm；當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.易錯(cuò)警示：易忽視nN. (1)設(shè)數(shù)列an是公差d0的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若S65a110d，則Sn取最大值時(shí)，n的值為()A5 B6 C5或6 D11(2)已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a120，公差d2，則前n項(xiàng)和Sn的最大值為_(kāi)(1)C(2)110(1)由題意得S66a115d5a110d，化簡(jiǎn)得a15d，所以a60，故當(dāng)n5或6時(shí)，Sn最大(2)因?yàn)榈炔顢?shù)列an的首項(xiàng)a120，公差d2，Snna1d20n×2n221n22，又因?yàn)閚N*，所以n10或n11時(shí)，Sn取得最大值，最大值為110.1(2018·全國(guó)卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和若3S3S2S4，a12，則a5()A12B10C10D12B設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，3S3S2S4，32a1d4a1d，解得da1，a12，d3，a5a14d24×(3)10.故選B2(2017·全國(guó)卷)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則an前6項(xiàng)的和為()A24 B3 C3 D8A由已知條件可得a11，d0，由aa2a6可得(12d)2(1d)(15d)，解得d2.所以S66×124.故選A.3(2016·全國(guó)卷)已知等差數(shù)列an前9項(xiàng)的和為27，a108，則a100()A100 B99 C98 D97Can是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，S99a527，a53.又a108，a100a199d199×198.故選C.4(2018·全國(guó)卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a17，S315.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值解(1)設(shè)an的公差為d，由題意得3a13d15.由a17得d2.所以an的通項(xiàng)公式為an2n9.(2)由(1)得Snn28n(n4)216.所以當(dāng)n4時(shí)，Sn取得最小值，最小值為16.- 8 -