2020版高考數學一輪復習 第7章 立體幾何 第3節(jié) 平行關系教學案 理（含解析）北師大版

第三節(jié)平行關系考綱傳真1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面平行的有關性質與判定定理.2.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些有關空間圖形的平行關系的簡單命題1直線與平面平行的判定定理和性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡記為“線線平行線面平行”)l性質定理如果一條直線與一個平面平行，那么過該直線的任意一個平面與已知平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行線線平行”)ab2.平面與平面平行的判定定理和性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面內有兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行(簡記為“線面平行面面平行”)性質定理如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行ab1垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a，a，則.2垂直于同一個平面的兩條直線平行，即若a，b，則aB3平行于同一個平面的兩個平面平行，即若，則.4三種平行關系的轉化：基礎自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)若一條直線平行于一個平面，則這條直線平行于這個平面內的任一條直線()(2)如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行()(3)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內的兩條直線平行或異面()(4)若直線a與平面內無數條直線平行，則a.()答案(1)×(2)×(3)(4)×2(教材改編)下列命題中正確的是()A若a，b是兩條直線，且ab，那么a平行于經過b的任何平面B若直線a和平面滿足a，那么a與內的任何直線平行C平行于同一條直線的兩個平面平行D若直線a，b和平面滿足ab，a，b，則bDA錯誤，a可能在經過b的平面內；B錯誤，a與內的直線平行或異面；C錯誤，兩個平面可能相交3平面與平面平行的條件可以是()A內有無數條直線都與平行B直線a，a，且直線a不在內，也不在內C內的任何直線都與平行D直線a在內，直線b在內，且a，bC在選項A中，內有無數條直線都與平行，與有可能相交，故選項A錯誤；在選項B中，直線a，a，且直線a不在內，也不在內，則與相交或平行，故選項B錯誤；在選項C中，內的任何直線都與平行，由面面平行的判定定理得，故選項C正確；在選項D中，直線a在內，直線b在內，且a，b，則與相交或平行，故選項D錯誤故選C.4已知直線l平面，P，則過點P且平行于直線l的直線()A只有一條，不在平面內B只有一條，且在平面內C有無數條，不一定在平面內D有無數條，一定在平面內B過直線l和點P作一個平面與相交于m，l，lm，且m，若n也是過點P且平行于l的直線，則mn，這與mnP相矛盾，故選B5(教材改編)在正方體ABCD­A1B1C1D1中，E是DD1的中點，則BD1與平面ACE的位置關系為_平行如圖所示，連接BD交AC于F，連接EF，則EF是BDD1的中位線，EFBD1，又EF平面ACE，BD1平面ACE，BD1平面ACE.與線、面平行相關命題的判定1平面平面的一個充分條件是()A存在一條直線a，a，aB存在一條直線a，a，aC存在兩條平行直線a，b，a，b，a，bD存在兩條異面直線a，b，a，b，a，bD若l，al，a，a，則a，a，故排除A.若l，a，al，則a，故排除B若l，a，al，b，bl，則a，b，故排除C.故選D2下列四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，則能得出AB平面MNP的圖形的序號是()ABC DC對于圖形，易得平面MNP與AB所在的對角面平行，所以AB平面MNP；對于圖形，易得ABPN，又AB平面MNP，PN平面MNP，所以AB平面MNP；圖形無論用定義還是判定定理都無法證明線面平行故選C.規(guī)律方法與線、面平行相關命題的判定，必須熟悉線、面平行關系的各個定義、定理，特別注意定理所要求的條件是否完備，圖形是否有特殊情形直線與平面平行的判定與性質考法1直線與平面平行的判定【例1】如圖所示，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD是菱形，PA平面ABCD，PA3，F(xiàn)是棱PA上的一個動點，E為PD的中點，O為AC的中點(1)證明：OE平面PAB；(2)若AF1，求證：CE平面BDF；(3)若AF2，M為ABC的重心，證明FM平面PBC.證明(1)由已知四邊形ABCD為菱形，又O為AC的中點，所以O為BD的中點，又E為PD的中點，所以OEPB又OE平面PAB，PB平面PAB，所以OE平面PAB(2)過E作EGFD交AP于G，連接CG，F(xiàn)O.因為EGFD，EG平面BDF，F(xiàn)D平面BDF，所以EG平面BDF，因為底面ABCD是菱形，O是AC的中點，又因為E為PD的中點，所以G為PF的中點，因為AF1，PA3，所以F為AG的中點，所以OFCG.因為CG平面BDF，OF平面BDF，所以CG平面BDF.又EGCGG，EG，CG平面CGE，所以平面CGE平面BDF，又CE平面CGE，所以CE平面BDF.(3)連接AM，并延長，交BC于點Q，連接PQ，因為M為ABC的重心，所以Q為BC中點，且.又AF2，所以.所以，所以MFPQ，又MF平面PBC，PQ平面PBC，所以FM平面PBC.考法2線面平行性質定理的應用【例2】如圖所示，CD，AB均與平面EFGH平行，E，F(xiàn)，G，H分別在BD，BC，AC，AD上，且CDAB求證：四邊形EFGH是矩形證明CD平面EFGH，而平面EFGH平面BCDEF，CDEF.同理HGCD，EFHG.同理HEGF，四邊形EFGH為平行四邊形，CDEF，HEAB，HEF為異面直線CD和AB所成的角又CDAB，HEEF.平行四邊形EFGH為矩形規(guī)律方法1.證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無公共點)(2)利用線面平行的判定定理(a，b，aba)(3)利用面面平行的性質定理(，aa)(4)利用面面平行的性質(，a，aa)2利用判定定理判定線面平行，注意三條件缺一不可，關鍵是找平面內與已知直線平行的直線常利用三角形的中位線、平行四邊形的對邊平行或過已知直線作一平面找其交線如圖，四棱錐P­ABCD中，底面ABCD為矩形，F(xiàn)是AB的中點，E是PD的中點(1)證明：PB平面AEC；(2)在PC上求一點G，使FG平面AEC，并證明你的結論解(1)證明：連接BD，設BD交AC于O，連接EO，因為ABCD為矩形，所以O為BD的中點，又E為PD的中點，所以EOPB又EO平面AEC，PB平面AEC，PB平面AEC.(2)PC的中點G即為所求的點證明如下：連接GE，F(xiàn)G，E為PD的中點，EG綊CD；又F是AB的中點，AF綊CD，AF綊EG，四邊形AFGE為平行四邊形，F(xiàn)GAE，又FG平面AEC，AE平面AEC，F(xiàn)G平面AEC.平面與平面平行的判定與性質【例3】如圖所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1平面BCHG.證明(1)G，H分別是A1B1，A1C1的中點，GH是A1B1C1的中位線，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四點共面(2)在ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，EFBC.EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.A1G綊EB，四邊形A1EBG是平行四邊形，則A1EGBA1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.母題探究(1)在本例條件下，若點D為BC1的中點，求證：HD平面A1B1BA.(2)在本例條件下，若D1，D分別為B1C1，BC的中點，求證：平面A1BD1平面AC1D證明(1)如圖所示，連接HD，A1B，D為BC1的中點，H為A1C1的中點，HDA1B又HD平面A1B1BA，A1B平面A1B1BA，HD平面A1B1BA.(2)如圖所示，連接A1C交AC1于點M，四邊形A1ACC1是平行四邊形，M是A1C的中點，連接MD，D為BC的中點，A1BDM.A1B平面A1BD1，DM平面A1BD1，DM平面A1BD1，又由三棱柱的性質知，D1C1綊BD，四邊形BDC1D1為平行四邊形，DC1BD1.又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，DC1平面A1BD1.又DC1DMD，DC1，DM平面AC1D，平面A1BD1平面AC1D規(guī)律方法證明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的定義(2)利用面面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行(3)利用“垂直于同一條直線的兩個平面平行”(4)利用“如果兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行”(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉化如圖所示，四邊形ABCD與四邊形ADEF都為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點求證：(1)BE平面DMF；(2)平面BDE平面MNG.證明(1)如圖所示，設DF與GN交于點O，連接AE，則AE必過點O，連接MO，則MO為ABE的中位線，所以BEMO.因為BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE平面DMF.(2)因為N，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點，所以DEGN.因為DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE平面MNG.因為M為AB的中點，所以MN為ABD的中位線，所以BDMN.因為BD平面MNG，MN平面MNG，所以BD平面MNG.因為DEBDD，BD，DE平面BDE，所以平面BDE平面MNG.(2016·全國卷節(jié)選)如圖所示，四棱錐P­ABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M為線段AD上一點，AM2MD，N為PC的中點證明：MN平面PAB證明由已知得AMAD2.取BP的中點T，連接AT，TN，由N為PC的中點知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綊AM，所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MNAT.因為MN平面PAB，AT平面PAB，所以MN平面PAB- 9 -