2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第6節(jié) 拋物線教學(xué)案 理（含解析）北師大版

第六節(jié)拋物線考綱傳真1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率).2.理解數(shù)形結(jié)合思想.3.了解拋物線的實(shí)際背景及拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用1拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不過(guò)F)的距離相等的點(diǎn)的集合叫作拋物線點(diǎn)F叫作拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)y22px(p>0)y22px(p>0)x22py(p>0)x22py(p>0)方程p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O(0,0)對(duì)稱軸y0x0焦點(diǎn)FFFF離心率e1準(zhǔn)線方程xxyy范圍x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR焦半徑(其中P(x0，y0)|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y01y2ax(a0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x.2.設(shè)AB是過(guò)拋物線y22px(p0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1x2，y1y2p2.(2)弦長(zhǎng)|AB|x1x2p(為弦AB的傾斜角)(3)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切(4)通徑：過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦，長(zhǎng)度等于2p，通徑是過(guò)焦點(diǎn)最短的弦基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線()(2)若直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線與拋物線一定相切()(3)若一拋物線過(guò)點(diǎn)P(2,3)，則其標(biāo)準(zhǔn)方程可寫為y22px(p0)()(4)拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2拋物線yx2的準(zhǔn)線方程是()Ay1By2Cx1 Dx2Ayx2，x24y，準(zhǔn)線方程為y1.3(教材改編)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過(guò)點(diǎn)P(4，2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()Ay2x Bx28yCy28x或x2y Dy2x或x28yD若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)拋物線方程為x2my，由題意可知162m，m8，即x28y.若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)拋物線方程為y2nx，由題意，得44n，n1，y2x.綜上知，y2x或x28y.故選D4(教材改編)若拋物線y4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是()A. BC. D0BM到準(zhǔn)線的距離等于M到焦點(diǎn)的距離，又準(zhǔn)線方程為y，設(shè)M(x，y)，則y1，y.5(教材改編)過(guò)拋物線y24x的焦點(diǎn)的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)，如果x1x26，則|PQ|等于_8|PQ|x1x2p628.拋物線的定義及應(yīng)用【例1】(1)已知F是拋物線y2x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，且|AF|BF|3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為()A. B1C. D(2)已知拋物線y22x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，A(3,2)，則|PA|PF|的最小值為_(kāi)，取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)(1)C(2)(2,2)(1)如圖所示，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，AB的中點(diǎn)為M，作AA1l于A1，BB1l于B1，MM1l于M1，由拋物線的定義知p，|AA1|BB1|AF|BF|3，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為|MM1|(|AA1|BB1|).故選C.(2)將x3代入拋物線方程y22x，得y±.因?yàn)?，所以點(diǎn)A在拋物線內(nèi)部，如圖所示過(guò)點(diǎn)P作PQl于點(diǎn)Q，則|PA|PF|PA|PQ|，當(dāng)PAl，即A，P，Q三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|PQ|最小，最小值為，即|PA|PF|的最小值為，此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2，代入y22x，得x2，所以所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2)規(guī)律方法應(yīng)用拋物線定義的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)由拋物線定義，把拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與到準(zhǔn)線距離相互轉(zhuǎn)化(2)注意靈活運(yùn)用拋物線上一點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)F的距離|PF|x0|或|PF|y0|. (1)動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)(1,0)，且與直線x1相切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為_(kāi)(2)(2017· 全國(guó)卷)已知F是拋物線C：y28x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|_.(1)y24x(2)6(1)設(shè)動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)為(x，y)，則圓心到點(diǎn)(1,0)的距離與到直線x1的距離相等，根據(jù)拋物線的定義易知?jiǎng)訄A的圓心的軌跡方程為y24x.(2)如圖，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)P，PMOF.由題意知，F(xiàn)(2,0)，|FO|AO|2.點(diǎn)M為FN的中點(diǎn)，PMOF，|MP|FO|1. 又|BP|AO|2，|MB|MP|BP|3.由拋物線的定義知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)【例2】(1)如圖所示，過(guò)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|4，則拋物線的方程為()Ay28xBy24xCy22xDy2x(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PAl，A為垂足如果直線AF的傾斜角為120°，那么|PF|_.(1)B(2)4(1)如圖，分別過(guò)點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，設(shè)準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)G，設(shè)|BF|a，則由已知得|BC|2a，由定義得|BD|a，故BCD30° ，則在RtACE中，2|AE|AC|，又|AF|4，|AC|43a，|AE|4，43a8，從而得a，AEFG，即，p2.拋物線的方程為y24x.故選B(2)法一：拋物線y24x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x1.因?yàn)橹本€AF的傾斜角為120°，所以AFO60°.又tan 60°，所以yA2.因?yàn)镻Al，所以yPyA2.將其代入y24x，得xP3，所以|PF|PA|3(1)4.法二：拋物線y24x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x1.因?yàn)镻Al，所以|PA|PF|.又因?yàn)橹本€AF的傾斜角為120°，所以AFO60°，所以PAF60°，所以PAF為等邊三角形，所以|PF|AF|4.規(guī)律方法(1)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開(kāi)口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點(diǎn)來(lái)解題，特別是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線的問(wèn)題更是如此 (1)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：y24x的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)若|PF|4，則POF的面積為()A. BC2 D3(2)設(shè)拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|5，若以MF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)(0,2)，則拋物線C的方程為()Ay24x或y28x By22x或y28xCy24x或y216x Dy22x或y216x(1)B(2)C(1)拋物線y24x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線為直線x1.設(shè)點(diǎn)P(x，y)，由拋物線的定義，得|PF|x14，所以x3.把x3代入y24x，得y±2，故POF的面積S×|OF|×|y|×1×2.故選B(2)如圖所示，拋物線y22px的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為l：x.由|MF|5，可得點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為5，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為5，可設(shè)M，則MF中點(diǎn)B的坐標(biāo)為B，以MF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A(0,2)，|AB|MF|，則有222，解得m4，由點(diǎn)M在拋物線上可得m2422p，解得p2或p8，所求拋物線方程為y24x或y216x，故選C.直線與拋物線的位置關(guān)系【例3】(2018·全國(guó)卷)設(shè)拋物線C：y22x，點(diǎn)A(2,0)，B(2,0)，過(guò)點(diǎn)A的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線BM的方程；(2)證明：ABMABN.解(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，l的方程為x2，可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,2)或(2，2)所以直線BM的方程為yx1或yx1.(2)證明：當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，AB為MN的垂直平分線，所以ABMABN.當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為yk(x2)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1>0，x2>0.由得ky22y4k0，可知y1y2，y1y24.直線BM，BN的斜率之和為kBMkBN.將x12，x22及y1y2，y1y2的表達(dá)式代入式分子，可得x2y1x1y22(y1y2)0.所以kBMkBN0，可知BM，BN的傾斜角互補(bǔ)，所以ABMABN.綜上，ABMABN.規(guī)律方法解決直線與拋物線位置關(guān)系問(wèn)題的三種常用方法(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用弦長(zhǎng)公式(3)涉及拋物線的弦長(zhǎng)、弦中點(diǎn)等相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般采用“設(shè)而不求，整體代入”的解法提醒：涉及弦的中點(diǎn)、弦所在直線的斜率時(shí)一般用“點(diǎn)差法”求解 (1)過(guò)點(diǎn)(0,1)作直線，使它與拋物線y24x僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有_條(2)(2019·臨沂模擬)已知點(diǎn)A(m,4)(m0)在拋物線x24y上，過(guò)點(diǎn)A作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線l1和l2，且l1，l2與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為B，C.求證：直線BC的斜率為定值；若拋物線上存在兩點(diǎn)關(guān)于BC對(duì)稱，求|BC|的取值范圍(1)3結(jié)合圖形分析可知(圖略)，滿足題意的直線共有3條：直線x0，過(guò)點(diǎn)(0,1)且平行于x軸的直線以及過(guò)點(diǎn)(0,1)且與拋物線相切的直線(非直線x0)(2)解證明：點(diǎn)A(m,4)在拋物線上，16m2，m±4，又m0，m4.設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，則kABkAC0，x1x28.kBC2，直線BC的斜率為定值2.設(shè)直線BC的方程為y2xb，P(x3，y3)，Q(x4，y4)關(guān)于直線BC對(duì)稱，設(shè)PQ的中點(diǎn)為M(x0，y0)，則kPQ，x01.M(1，2b)又點(diǎn)M在拋物線內(nèi)部，2b，即b.由得x28x4b0，x3x48，x3x44b|BC|x3x4|·×.又b，|BC|10.|BC|的取值范圍為(10，)1.(2018·全國(guó)卷)設(shè)拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)(2,0)且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則·()A5B6C7 D8D過(guò)點(diǎn)(2,0)且斜率為的直線的方程為y(x2)，由得x25x40，解得x1或x4，所以或不妨設(shè)M(1,2)，N(4,4)，易知F(1,0)，所以(0,2)，(3,4)，所以·8.故選D2(2016·全國(guó)卷)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)已知|AB|4，|DE|2，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A2 B4C6 D8B設(shè)拋物線的方程為y22px(p0)，圓的方程為x2y2r2.|AB|4，|DE|2，拋物線的準(zhǔn)線方程為x，不妨設(shè)A，D.點(diǎn)A，D在圓x2y2r2上，85，p4(負(fù)值舍去)C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.3.(2018·全國(guó)卷)已知點(diǎn)M(1,1)和拋物線C：y24x，過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)若AMB90°，則k_.2由題意知拋物線的焦點(diǎn)為(1,0)，則過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線方程為yk(x1)(k0)，由消去y，得k2(x1)24x，即k2x2(2k24)xk20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x21.由消去x得y24，即y2y40，則y1y2，y1y24.由AMB90°，得·(x11，y11)·(x21，y21)x1x2x1x21y1y2(y1y2)10，將x1x2，x1x21與y1y2，y1y24代入，得k2.4.(2018·全國(guó)卷)設(shè)拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為k(k0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求過(guò)點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程解(1)由題意得F(1,0)，l的方程為yk(x1)(k0)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由題設(shè)知8，解得k1(舍去)或k1.因此l的方程為yx1.(2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)，所以AB的垂直平分線方程為y2(x3)，即yx5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)，則解得或因此所求圓的方程為(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.- 9 -