2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第11節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（第1課時(shí)）導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)案 理（含解析）新人教A版

第十一節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用考綱傳真1.了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).2.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次)；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).3.會利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題(生活中的優(yōu)化問題)1函數(shù)的單調(diào)性在(a，b)內(nèi)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，f(x)在(a，b)任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.f(x)0f(x)在(a，b)上為增函數(shù)f(x)0f(x)在(a，b)上為減函數(shù)2函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極小值：函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xa的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)xa附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f(a)0；而且在點(diǎn)xa附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，則點(diǎn)a叫做函數(shù)yf(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)yf(x)的極小值(2)函數(shù)的極大值：函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xb的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)xb附近的其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f(b)0；而且在點(diǎn)xb附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，則點(diǎn)b叫做函數(shù)yf(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)yf(x)的極大值極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值3函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f(x)在a，b上必有最大值與最小值(2)若函數(shù)f(x)在a，b上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在a，b上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值常用結(jié)論1可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是：對x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a，b)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零2對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f(x0)0是函數(shù)f(x)在xx0處有極值的必要不充分條件3閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值在端點(diǎn)處或極值點(diǎn)處取得基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增，那么在區(qū)間(a，b)上一定有f(x)>0.()(2)函數(shù)的極大值不一定比極小值大()(3)函數(shù)的最大值不一定是極大值，函數(shù)的最小值也不一定是極小值()(4)若實(shí)際問題中函數(shù)定義域是開區(qū)間，則不存在最優(yōu)解()答案(1)×(2)(3)(4)×2(教材改編)如圖是函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象，則下面判斷正確的是()A在區(qū)間(2,1)上，f(x)是增函數(shù)B在區(qū)間(1,3)上f(x)是減函數(shù)C在區(qū)間(4,5)上f(x)是增函數(shù)D當(dāng)x2時(shí)，f(x)取到極小值C結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系可知，當(dāng)x(4,5)時(shí)，f(x)0，yf(x)在(4,5)上是增函數(shù)，故選C.3函數(shù)f(x)cos xx在(0，)上的單調(diào)性是()A先增后減 B先減后增C增函數(shù) D減函數(shù)Df(x)sin x1，當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)0，f(x)在(0，)上是減函數(shù)4已知a是函數(shù)f(x)x312x的極小值點(diǎn)，則a()A4 B2C4 D2D由f(x)3x2120得x±2，又當(dāng)x2時(shí)，f(x)0，當(dāng)2x2時(shí)，f(x)0，當(dāng)x2時(shí)，f(x)0，x2是f(x)的極小值點(diǎn)，即a2.5函數(shù)y2x32x2在區(qū)間1,2上的最大值是_8y6x24x，令y0，得x0或x.f(1)4，f(0)0，f，f(2)8，最大值為8.第1課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例1】(1)函數(shù)yx2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為()A(1,1 B(0,1C1，) D(0，)(2)(2016·北京高考)設(shè)函數(shù)f(x)xeaxbx，曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程為y(e1)x4.求a，b的值；求f(x)的單調(diào)區(qū)間(1)Byx2ln x，x(0，)，yx.由y0可解得0x1，yx2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1，故選B.(2)解f(x)eaxxeaxb，由切線方程可得解得a2，be.f(x)xe2xex，f(x)(1x)e2xe.令g(x)(1x)e2x，則g(x)e2x(1x)e2xe2x(x2)令g(x)0得x2.當(dāng)x2時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x2時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增所以x2時(shí)，g(x)取得極小值1，也是最小值所以f(x)g(x)ee10.所以f(x)的增區(qū)間為(，)，無減區(qū)間規(guī)律方法1.掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的3個(gè)步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f(x)；(3)由f(x)0(或f(x)0)解出相應(yīng)的x的取值范圍，對應(yīng)的區(qū)間為f(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間2理清有關(guān)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的3個(gè)點(diǎn)(1)單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間，所以求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間要先求函數(shù)的定義域；(2)求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，可以直接轉(zhuǎn)化為f(x)0與f(x)0這兩個(gè)不等式的解集問題來處理；(3)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在指定區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，則應(yīng)將其轉(zhuǎn)化為f(x)0(f(x)0)來處理 (1)(2019·北京模擬)函數(shù)f(x)x22ln x的單調(diào)遞減區(qū)間是()A(0,1) B(1，)C(，1) D(1,1)(2)(2019·威海模擬)函數(shù)f(x)(x3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是_(1)A(2)(2，)(1)f(x)2x(x0)，當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)0，f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0，f(x)為增函數(shù)(2)函數(shù)f(x)(x3)ex的導(dǎo)數(shù)為f(x)(x3)exex(x3)ex(x2)ex.f(x)(x2)ex0，解得x2.利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性【例2】設(shè)函數(shù)f(x)aln x，其中a為常數(shù)(1)若a0，求曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程；(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性解(1)由題意知a0時(shí)，f(x)，x(0，)此時(shí)f(x).可得f(1)，又f(1)0，所以曲線yf(x)在(1，f(1)處的切線方程為x2y10.(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)f(x).當(dāng)a0時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增當(dāng)a0時(shí)，令g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，當(dāng)a時(shí)，0，f(x)0，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減當(dāng)a時(shí)，0，g(x)0，f(x)0，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減當(dāng)a0時(shí)，0.設(shè)x1，x2(x1x2)是函數(shù)g(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，則x1，x2.由x10，所以x(0，x1)時(shí)，g(x)0，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；x(x1，x2)時(shí)，g(x)0，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；x(x2，)時(shí)，g(x)0，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減綜上可得：當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減；當(dāng)a0時(shí)，f(x)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增規(guī)律方法研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，需注意依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進(jìn)行分類討論.(1)討論分以下四個(gè)方面,二次項(xiàng)系數(shù)討論，根的有無討論，根的大小討論，根在不在定義域內(nèi)討論.(2)討論時(shí)要根據(jù)上面四種情況，找準(zhǔn)參數(shù)討論的分類.(3)討論完必須寫綜述. 已知函數(shù)f(x)x22aln x(a2)x，當(dāng)a0時(shí)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性解函數(shù)的定義域?yàn)?0，)，f(x)xa2.當(dāng)a2，即a2時(shí)，f(x)0，f(x)在(0，)內(nèi)單調(diào)遞增當(dāng)0a2，即2a0時(shí)，0xa或x2時(shí)，f(x)0；ax2時(shí)，f(x)0，f(x)在(0，a)，(2，)內(nèi)單調(diào)遞增，在(a,2)內(nèi)單調(diào)遞減當(dāng)a2，即a2時(shí)，0x2或xa時(shí)，f(x)0；2xa時(shí)，f(x)0，f(x)在(0,2)，(a，)內(nèi)單調(diào)遞增，在(2，a)內(nèi)單調(diào)遞減綜上所述，當(dāng)a2時(shí)，f(x)在(0，)內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)2a0時(shí)，f(x)在(0，a)，(2，)內(nèi)單調(diào)遞增，在(a,2)內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)a2時(shí)，f(x)在(0,2)，(a，)內(nèi)單調(diào)遞增，在(2，a)內(nèi)單調(diào)遞減函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用考法1比較大小或解不等式【例3】(1)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在(0,2)上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f(x)f(2x)，當(dāng)0x時(shí)，若f(x)sin xf(x)cos x0，af，b0，cf，則()AabcBbcaCcba Dcab(2)(2019·山師大附中模擬)已知f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f(1)e，xR,2f(x)f(x)0，則不等式f(x)e2x1的解集為()A(，1) B(1，)C(，e) D(e，)(1)A(2)B(1)由f(x)f(2x)，得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x對稱，令g(x)f(x)cos x，則g(x)f(x)cos xf(x)sin x0，所以當(dāng)0x時(shí)，g(x)在(0，)內(nèi)遞增，所以gggg，即abc，故選A.(2)設(shè)F(x)，則F(x).因?yàn)?f(x)f(x)0，所以F(x)0，即F(x)是單調(diào)遞減函數(shù)，f(x)e2x1等價(jià)于1，即F(x)1.又因?yàn)閒(1)e，所以F(1)1，則不等式f(x)e2x1的解集是(1，)，故選B.考法2求參數(shù)的取值范圍【例4】已知函數(shù)f(x)ln x，g(x)ax22x(a0)(1)若函數(shù)h(x)f(x)g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；(2)若函數(shù)h(x)f(x)g(x)在1,4上單調(diào)遞減，求a的取值范圍解(1)h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2，由于h(x)在(0，)上存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以當(dāng)x(0，)時(shí)，ax20有解，即a有解設(shè)G(x)，所以只要aG(x)min即可而G(x)21，所以G(x)min1.所以a1，即a的取值范圍為(1，)(2)由h(x)在1,4上單調(diào)遞減得，當(dāng)x1,4時(shí)，h(x)ax20恒成立，即a恒成立所以aG(x)max，而G(x)21，因?yàn)閤1,4，所以，所以G(x)max(此時(shí)x4)，所以a，即a的取值范圍是.母題探究(1)本例(2)中，若函數(shù)h(x)f(x)g(x)在1,4上單調(diào)遞增，求a的取值范圍(2)本例(2)中，若h(x)在1,4上存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍解(1)由h(x)在1,4上單調(diào)遞增得，當(dāng)x1,4時(shí)，h(x)0恒成立，當(dāng)x1,4時(shí)，a恒成立，又當(dāng)x1,4時(shí)，min1(此時(shí)x1)，a1，即a的取值范圍是(，1(2)h(x)在1,4上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則h(x)0在1,4上有解，當(dāng)x1,4時(shí)，a有解，又當(dāng)x1,4時(shí)，min1，a1，即a的取值范圍是(1，)規(guī)律方法1.已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，應(yīng)用條件f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)恒成立，解出參數(shù)的取值范圍(一般可用不等式恒成立的理論求解)，應(yīng)注意參數(shù)的取值是f(x)不恒等于0的參數(shù)的范圍.2.若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上不單調(diào)，則轉(zhuǎn)化為f(x)0在(a，b)上有解.3.利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式的常用技巧,利用題目條件，構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小或求解不等式的問題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，再由單調(diào)性比較大小或解不等式.常見構(gòu)造的輔助函數(shù)形式有：(1)f(x)g(x)F(x)f(x)g(x)；(2)xf(x)f(x)xf(x)；(3)xf(x)f(x)；(4)f(x)f(x)exf(x)；(5)f(x)f(x).(1)(2019·武漢模擬)已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)為yf(x)，當(dāng)x0時(shí)，xf(x)f(x)0，若a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是()Aabc BbcaCacb Dcab(2)(2019·蘭州模擬)已知函數(shù)f(x)x22aln x(a2)x.當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)g(x)f(x)ax在(0，)上單調(diào)遞增？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由(1)D設(shè)g(x)，則g(x)，當(dāng)x0時(shí)，xf(x)f(x)0，g(x)0.g(x)在(0，)上是減函數(shù)由f(x)為奇函數(shù)，知g(x)為偶函數(shù)，則g(3)g(3)，又ag(e)，bg(ln 2)，cg(3)g(3)，g(3)g(e)g(ln 2)，故cab.(2)解當(dāng)a1時(shí)，f(x)x22ln x3x，則f(x)x3.當(dāng)0x1或x2時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)1x2時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1)與(2，)，單調(diào)減區(qū)間為(1,2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使g(x)f(x)ax在(0，)上是增函數(shù)，g(x)f(x)ax20恒成立即0在x(0，)上恒成立x22x2a0當(dāng)x0時(shí)恒成立，a(x22x)(x1)2恒成立又(x)(x1)2，x(0，)的最小值為.當(dāng)a時(shí)，g(x)0恒成立又當(dāng)a，g(x)當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)，g(x)0.故當(dāng)a時(shí)，g(x)f(x)ax在(0，)上單調(diào)遞增1(2016·全國卷)若函數(shù)f(x)xsin 2xasin x在(，)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()A1,1 B.C. D.C取a1，則f(x)xsin 2xsin x，f(x)1cos 2xcos x，但f(0)110，不具備在(，)單調(diào)遞增的條件，故排除A，B，D.故選C.2(2015·全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)f(x)(xR)的導(dǎo)函數(shù)，f(1)0，當(dāng)x>0時(shí)，xf(x)f(x)<0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是()A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(，1)(1,0)D(0,1)(1，)A設(shè)yg(x)(x0)，則g(x)，當(dāng)x>0時(shí)，xf(x)f(x)<0，g(x)<0，g(x)在(0，)上為減函數(shù)，且g(1)f(1)f(1)0.f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，g(x)的圖象的示意圖如圖所示當(dāng)x>0，g(x)>0時(shí)，f(x)>0,0<x<1，當(dāng)x<0，g(x)<0時(shí)，f(x)>0，x<1，使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(，1)(0,1)，故選A.- 10 -