2020版高考數學一輪復習 第3章 三角函數、解三角形 第3節(jié) 三角函數的圖像與性質教學案 文（含解析）北師大版

第三節(jié)三角函數的圖像與性質 考綱傳真1.能畫出ysin x，ycos x，ytan x的圖像，了解三角函數的周期性.2.理解正弦函數、余弦函數在0,2上的性質(如單調性、最大值和最小值、圖像與x軸的交點等)，理解正切函數在區(qū)間內的單調性1用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖正弦函數ysin x，x0,2圖像的五個關鍵點是：(0,0)，(，0)，(2，0)余弦函數ycos x，x0,2圖像的五個關鍵點是：(0,1)，(，1)，(2，1)2正弦函數、余弦函數、正切函數的圖像與性質函數ysin xycos xytan x圖像定義域RR值域1,11,1R周期性周期為2周期為2周期為奇偶性奇函數偶函數奇函數單調性遞增區(qū)間：，kZ，遞減區(qū)間：，kZ遞增區(qū)間：2k，2k，kZ，遞減區(qū)間：2k，2k，kZ遞增區(qū)間，kZ對稱性對稱中心(k，0)，kZ對稱中心，kZ對稱中心，kZ對稱軸xk(kZ)對稱軸xk(kZ)1對稱與周期(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是個周期(2)正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半個周期2奇偶性(1)若f(x)Asin(x)(A，0)，則f(x)為偶函數的充要條件是k(kZ)；f(x)為奇函數的充要條件是k(kZ)(2)若f(x)Acos(x)(A0，0)，則f(x)為奇函數的充要條件：k，kZ；f(x)為偶函數的充要條件：k，kZ.基礎自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)正切函數ytan x在定義域內是增函數()(2)ysin |x|是偶函數()(3)函數ysin x的圖像關于點(k，0)(kZ)中心對稱()(4)已知yksin x1，xR，則y的最大值為k1.()答案(1)×(2)(3)(4)×2函數f(x)cos的最小正周期為()ABC2D2DT2，故選D3函數ytan 2x的定義域是()ABCDD由2xk，kZ，得x，kZ，ytan 2x的定義域為.4函數ysin，x2，2的遞增區(qū)間是()AB和CDC令zx，函數ysin z的遞增區(qū)間為(kZ)，由2kx2k得4kx4k，而x2，2，故其遞增區(qū)間是，故選C5(教材改編)函數f(x)42cos x的最小值是_，取得最小值時，x的取值集合為_2x|x6k，kZf(x)min422，此時，x2k(kZ)，x6k(kZ)，所以x的取值集合為x|x6k，kZ三角函數的定義域、值域【例1】(1)函數y的定義域為()A B(kZ)C(kZ) D(kZ)(2)函數f(x)3sin在區(qū)間上的值域為()ABCD(3)(2019·長沙模擬)函數f(x)cos 2x6cosx的最大值為()A4 B5 C6D7(1)B(2)B(3)B(1)由2sin x0得sin x，2kx2k(kZ)，故選B(2)因為x，所以2x，所以sin，所以3sin，所以函數f(x)在區(qū)間上的值域是，故選B(3)f(x)cos 2x6coscos 2x6sin x12sin2x6sin x2，又sin x1,1，當sin x1時，f(x)取得最大值5.故選B規(guī)律方法1.三角函數定義域的求法求三角函數定義域實際上是構造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數線或三角函數圖像來求解2三角函數值域的不同求法(1)利用sin x和cos x的值域直接求(2)把所給的三角函數式變換成yAsin(x)的形式求值域(3)把sin x或cos x看作一個整體，轉換成二次函數求值域(4)利用sin x±cos x和sin xcos x的關系轉換成二次函數求值域 (1)函數y2sin(0x9)的最大值與最小值之和為()A2B0C1D1(2)函數y的定義域為_(3)函數ysin xcos xsin xcos x的值域為_(1)A(2)(3)(1)因為0x9，所以，所以sin.所以y，2，所以ymaxymin2.(2)要使函數有意義，必須有即故函數的定義域為.(3)設tsin xcos x，則sin xcos x(t)，ytt2(t1)21，當t時，y取最大值為，當t1時，y取最小值為1.所以函數值域為.三角函數的單調性【例2】(1)函數f(x)sin的減區(qū)間為_(2)已知0，函數f(x)sin的一個遞減區(qū)間為，則_.(3)(2018·全國卷改編)若函數f(x)cos xsin x在0，a是減函數，則a的最大值是_(1)，kZ(2)2(3)(1)f(x)sinsin，函數f(x)的減區(qū)間就是函數ysin的增區(qū)間由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.故所給函數的減區(qū)間為，kZ.(2)由x得x.又函數f(x)的遞減區(qū)間為(kZ)，則kZ即，解得2.(3)f(x)cos xsin xcos，當x0，a時，xa，由題意知a，即a，故所求a的最大值為.拓展探究本例(2)中，若函數f(x)sin在上是減函數，試求的取值范圍解由x，得x，由題意，知，kZ，4k2k，kZ，當k0時，.規(guī)律方法三角函數單調性問題的解題策略(1)已知三角函數的解析式求單調區(qū)間求函數的單調區(qū)間應遵循簡單化原則，將解析式先化簡，并注意復合函數單調性規(guī)律“同增異減”；求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中0)的單調區(qū)間時，要視“x”為一個整體，通過解不等式求解但如果0，那么一定先借助誘導公式將化為正數，防止把單調性弄錯(2)已知三角函數的單調性求參數已知函數yAsin(x)的單調性求參數，可先求tx的范圍(a，b)，再根據(a，b)是函數yAsin t的單調區(qū)間的子集關系列不等式組求解 (1)函數f(x)tan的遞增區(qū)間是_(2)若函數f(x)sin x(0)在區(qū)間上是增加的，在區(qū)間上是減少的，則_.(1)(kZ)(2)(1)由k2xk(kZ)，得x(kZ)故函數的遞增區(qū)間為.(2)f(x)sin x(0)過原點，當0x，即0x時，ysin x是增函數；當x，即x時，ysin x是減函數由f(x)sin x(0)在上是增加的，在上是減少的知，此時，符合題意，故.三角函數的周期性、奇偶性、對稱性考法1三角函數的周期性【例3】(2019·大連模擬)在函數：ycos|2x|，y|cos x|，ycos2x，ytan中，最小正周期為的所有函數為()ABCDCycos|2x|cos 2x，T.由圖像知，函數的周期T.T.T.綜上可知，最小正周期為的所有函數為，故選C考法2三角函數的奇偶性【例4】函數f(x)3sin，(0，)滿足f(|x|)f(x)，則的值為_由題意知f(x)為偶函數，關于y軸對稱，f(0)3sin±3，k，kZ，又0，.考法3三角函數的對稱性【例5】(1)下列函數的最小正周期為且圖像關于直線x對稱的是()Ay2sinBy2sinCy2sinDy2sin(2)如果函數y3cos(2x)的圖像關于點中心對稱，那么|的最小值為()ABCD(1)B(2)A(1)根據函數的最小正周期為知，排除C，又當x時，2x，2x，2x，故選B(2)由題意得3cos3cos3cos0，k，kZ，k，kZ，取k0，得|的最小值為.規(guī)律方法三角函數的奇偶性、對稱性和周期性問題的解題思路(1)奇偶性的判斷方法：三角函數中奇函數一般可化為yAsin x或yAtan x的形式，而偶函數一般可化為yAcos xb的形式(2)周期的計算方法：利用函數yAsin(x)，yAcos(x)(0)的最小正周期為，函數yAtan(x)(0)的最小正周期為求解(3)對稱性的判斷：對于函數yAsin(x)，其對稱軸一定經過圖像的最高點或最低點，對稱中心的橫坐標一定是函數的零點，因此在判斷直線xx0或點(x0,0)是否是函數的對稱軸或對稱中心時，可通過檢驗f(x0)的值進行判斷 (1)(2019·石家莊模擬)設函數f(x)Asin(x)(A0，0)的最小正周期為，其圖像關于直線x對稱，則|的最小值為()ABCD(2)若函數ycos(N*)圖像的一個對稱中心是，則的最小值為()A1 B2 C4D8(1)B(2)B(1)由題意，得2，所以f(x)Asin(2x)因為函數f(x)的圖像關于直線x對稱，所以2×k(kZ)，即k(kZ)，當k0時，|取得最小值，故選B(2)由題意知k(kZ)6k2(kZ)，又N*，所以min2，故選B1(2017·全國卷)函數f(x)sin的最小正周期為()A4 B2CDC函數f(x)sin的最小正周期T.故選C2(2018·全國卷)函數f(x)的最小正周期為()ABCD2Cf(x)sin xcos xsin 2x，所以f(x)的最小正周期T.故選C3(2017·全國卷)設函數f(x)cos，則下列結論錯誤的是()Af(x)的一個周期為2Byf(x)的圖像關于直線x對稱Cf(x)的一個零點為xDf(x)在單調遞減DA項，因為f(x)cos的周期為2k(kZ)，所以f(x)的一個周期為2，A項正確B項，因為f(x)cos圖像的對稱軸為直線xk(kZ)，所以yf(x)的圖像關于直線x對稱，B項正確C項，f(x)cos.令xk(kZ)，得xk，當k1時，x，所以f(x)的一個零點為x，C項正確D項，因為f(x)cos的遞減區(qū)間為2k，2k(kZ)，遞增區(qū)間為2k，2k(kZ)，所以是減區(qū)間，是增區(qū)間，D項錯誤故選D4(2017·全國卷)函數f(x)sin2xcos x的最大值是_1f(x)1cos2xcos x21.x，cos x0,1，當cos x時，f(x)取得最大值，最大值為1.- 12 -