2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第1節(jié) 直線的傾斜角與斜率、直線的方程教學(xué)案 理（含解析）北師大版

第一節(jié)直線的傾斜角與斜率、直線的方程考綱傳真1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形掌握確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.3.掌握確定直線的幾何要素，掌握直線方程的三種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系1直線的傾斜角(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線l，把x軸(正方向)按逆時(shí)針方向繞著交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到和直線l重合所成的角，叫作直線l的傾斜角，當(dāng)直線l和x軸平行時(shí)，它的傾斜角為0.(2)傾斜角的范圍是0，)2斜率公式(1)直線l的傾斜角為90°，則斜率ktan_.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上，且x1x2，則l的斜率k.3直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)y0k(xx0)不含直線xx0斜截式y(tǒng)kxb不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式不含直線xx1(x1x2)和直線yy1(y1y2)截距式1不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式AxByC0(A2B20)平面內(nèi)所有直線都適用1直線的傾斜角和斜率k之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：0°0°90°90°90°180°k0k0不存在k02.當(dāng)時(shí)，越大，l的斜率越大；當(dāng)時(shí)，越大，l的斜率越大基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率()(2)直線的傾斜角越大，其斜率就越大()(3)過定點(diǎn)P0(x0，y0)的直線都可用方程yy0k(xx0)表示()(4)經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()答案(1)×(2)×(3)×(4)2(教材改編)已知兩點(diǎn)A(3，)，B(，1)，則直線AB的斜率是()A.BC. DDkAB，故選D3(教材改編)過點(diǎn)(1,2)且傾斜角為30°的直線方程為()A.x3y60Bx3y60C.x3y60Dx3y60A直線的斜率ktan 30°.由點(diǎn)斜式方程得y2(x1)，即x3y60，故選A.4如果A·C0且B·C0，那么直線AxByC0不通過()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限C法一：由AxByC0得yx.又AC0，BC0，故AB0，從而0，0，故直線不通過第三象限故選C.法二：取AB1，C1，則直線xy10，其不過第三象限，故選C.5過點(diǎn)M(3，4)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為_4x3y0或xy10若直線過原點(diǎn)，則k，所以yx，即4x3y0.若直線不過原點(diǎn)，設(shè)1，即xya，則a3(4)1，所以直線方程為xy10.直線的傾斜角與斜率的應(yīng)用【例1】(1)直線2xcos y30的傾斜角的取值范圍是()A. BC. D(2)直線l過點(diǎn)P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍為_(1)B(2)(，1，)(1)直線2xcos y30的斜率k2cos .由于，所以cos ，因此k2cos 1，設(shè)直線的傾斜角為，則有tan 1，由于0，)，所以，即傾斜角的取值范圍是.(2)如圖，kAP1，kBP，要使過點(diǎn)P的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，只需k1或k，即直線l斜率的取值范圍為(，1，)母題探究(1)若將本例(2)中P(1,0)改為P(1,0)，其他條件不變，求直線l斜率的取值范圍(2)若將本例(2)中的B點(diǎn)坐標(biāo)改為B(2，1)，其他條件不變，求直線l傾斜角的范圍解(1)P(1,0)，A(2,1)，B(0，)，kAP，kBP.如圖可知，直線l斜率的取值范圍為.(2)如圖，直線PA的傾斜角為45°，直線PB的傾斜角為135°，由圖像知l的傾斜角的范圍為0°，45°135°，180°)規(guī)律方法1.求傾斜角的取值范圍的一般步驟(1)求出斜率ktan 的取值范圍(2)利用三角函數(shù)的單調(diào)性，借助圖像，確定傾斜角的取值范圍求傾斜角時(shí)要注意斜率是否存在2斜率的求法(1)定義法：若已知直線的傾斜角或的某種三角函數(shù)值，一般根據(jù)ktan 求斜率(2)公式法：若已知直線上兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根據(jù)斜率公式k(x1x2)求斜率 (1)已知點(diǎn)(1,2)和在直線l：axy10(a0)的同側(cè)，則直線l傾斜角的取值范圍是()A. BC. D(2)設(shè)P為曲線C：yx22x3上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處的切線傾斜角的范圍為，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為()A. B1,0C0,1 D(1)D(2)A(1)由題(a21)0，即(a1)(a)0，所以a1，又直線l的斜率ka，即k1，所以傾斜角的取值范圍為，故選D(2)由題意知y2x2，設(shè)P(x0，y0)，則k2x02.因?yàn)榍€C在點(diǎn)P處的切線傾斜角的取值范圍為，所以0k1，即02x021.所以1x0.故選A.直線方程的求法【例2】已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(3,0)，B(2,1)，C(2,3)，求：(1)BC邊所在直線的方程；(2)BC邊上中線AD所在直線的方程； (3)BC邊的垂直平分線DE的方程解(1)因?yàn)橹本€BC經(jīng)過B(2,1)和C(2,3)兩點(diǎn)，得BC的方程為，即x2y40.(2)設(shè)BC邊的中點(diǎn)D(x，y)，則x0，y2.BC邊的中線AD過A(3,0)，D(0,2)兩點(diǎn)，所在直線方程為1，即2x3y60.(3)由(1)知，直線BC的斜率k1，則直線BC的垂直平分線DE的斜率k22.所求直線方程為y22(x0)，即2xy20.規(guī)律方法求直線方程應(yīng)注意以下三點(diǎn)(1)在求直線方程時(shí)，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问剑⒆⒁飧鞣N形式的適用條件.(2)對(duì)于點(diǎn)斜式、截距式方程使用時(shí)要注意分類討論思想的運(yùn)用(若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況；若采用截距式，應(yīng)判斷截距是否為零).(3)截距可正、可負(fù)、可為0，因此在解與截距有關(guān)的問題時(shí)，一定要注意“截距為0”的情況，以防漏解. (1)若直線經(jīng)過點(diǎn)A(5,2)，且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍，則該直線的方程為_(2)若直線經(jīng)過點(diǎn)A(，3)，且傾斜角為直線xy10的傾斜角的一半，則該直線的方程為_(1)x2y10或2x5y0(2)xy60(1)當(dāng)橫截距、縱截距均為零時(shí)，設(shè)所求的直線方程為ykx，將(5,2)代入ykx中，得k，此時(shí)，直線方程為yx，即2x5y0.當(dāng)橫截距、縱截距都不為零時(shí)，設(shè)所求直線方程為1，將(5,2)代入所設(shè)方程，解得a，此時(shí)，直線方程為x2y10.綜上所述，所求直線方程為x2y10或2x5y0.(2)由xy10得此直線的斜率為，所以傾斜角為120°，從而所求直線的傾斜角為60°，故所求直線的斜率為.又直線過點(diǎn)A(，3)，所以所求直線方程為y3(x)，即xy60.- 6 -