2019-2020學年高中數(shù)學 第3章 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入章末復(fù)習課學案 新人教A版選修2-2

第3章 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 復(fù)數(shù)的概念 【例1】　當實數(shù)a為何值時，z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i， (1)為實數(shù)； (2)為純虛數(shù)； (3)對應(yīng)的點在第一象限內(nèi)； (4)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在直線x－y＝0上． [解]　(1)z∈R?a2－3a＋2＝0，解得a＝1或a＝2. (2)z為純虛數(shù)， 即故a＝0. (3)z對應(yīng)的點在第一象限，則 ∴∴a＜0，或a＞2. ∴a的取值范圍是(－∞，0)∪(2，＋∞)． (4)依題設(shè)(a2－2a)－(a2－3a＋2)＝0， ∴a＝2. 處理復(fù)數(shù)概念問題的兩個注意點 (1)當復(fù)數(shù)不是a＋bi(a，b∈R)的形式時，要通過變形化為a＋bi的形式，以便確定其實部和虛部． (2)求解時，要注意實部和虛部本身對變量的要求，否則容易產(chǎn)生增根． 1．(1)若復(fù)數(shù)z＝1＋i(i為虛數(shù)單位)，是z的共軛復(fù)數(shù)，則z2＋2的虛部為(　　) A．0　　　　　　 B．－1 C．1 D．－2 (2)設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)a－(a∈R)是純虛數(shù)，則a的值為(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 (1)A　(2)D　[(1)因為z＝1＋i，所以＝1－i，所以z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0.故選A. (2)因為a－＝a－＝a－＝(a－3)－i，由純虛數(shù)的定義，知a－3＝0，所以a＝3.] 復(fù)數(shù)的幾何意義 【例2】　(1)(2019·全國卷Ⅱ)設(shè)z＝－3＋2i，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)已知復(fù)數(shù)z1＝2＋3i，z2＝a＋bi，z3＝1－4i，它們在復(fù)平面上所對應(yīng)的點分別為A，B，C.若＝2＋，則a＝________，b＝________. (1)C　(2)－3　－10　[(2)∵＝2＋， ∴1－4i＝2(2＋3i)＋(a＋bi)， 即∴] 2．若i為虛數(shù)單位，如圖所示的復(fù)平面內(nèi)點Z表示復(fù)數(shù)z，則表示復(fù)數(shù)的點是(　　) A．E B．F C．G　　 　D．H D　[∵點Z(3,1)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z， ∴z＝3＋i，＝＝＝＝2－i， 該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標是(2，－1)，即H點．] 復(fù)數(shù)的四則運算 【例3】　(1)已知是z的共軛復(fù)數(shù)，若z·i＋2＝2z，則z＝(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i (2)已知復(fù)數(shù)z1＝2－3i，z2＝，則等于(　　) A．－4＋3i B．3＋4i C．3－4i D．4－3i (1)A　(2)D　　[(1)設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi，代入z·i＋2＝2z中得，(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，∴2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi， 由復(fù)數(shù)相等的條件得， ∴ ∴z＝1＋i，故選A. (2)＝＝ ＝＝4－3i.] 1．(變結(jié)論)本例題(1)中已知條件不變，則＝__________. i　[由例題解析知z＝1＋i，所以＝1－i. ＝＝i.] 2．(變結(jié)論)本例題(2)中已知條件不變，則z1z2＝__________. －i　[z1z2＝ ＝＝＝＝－i.] (1)復(fù)數(shù)的乘法運算與多項式的乘法運算類似. (2)復(fù)數(shù)的除法運算，將分子、分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，最后整理成a＋bi(a，b∈R)的結(jié)構(gòu)形式. (3)利用復(fù)數(shù)相等，可實現(xiàn)復(fù)數(shù)問題的實數(shù)化. 轉(zhuǎn)化與化歸思想 【例4】　已知z是復(fù)數(shù)，z＋2i，均為實數(shù)，且(z＋ai)2的對應(yīng)點在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍． [解]　設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)， 則z＋2i＝x＋(y＋2)i為實數(shù)，∴y＝－2. 又＝＝(x－2i)(2＋i) ＝(2x＋2)＋(x－4)i為實數(shù)， ∴x＝4.∴z＝4－2i，又∵(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i在第一象限． ∴解得2<a<6. ∴實數(shù)a的取值范圍是(2,6)． 一般設(shè)出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，即z＝x＋yi(x，y∈R)，則涉及復(fù)數(shù)的分類、幾何意義、模的運算、四則運算、共軛復(fù)數(shù)等問題，都可以轉(zhuǎn)化為實數(shù)x，y應(yīng)滿足的條件，即復(fù)數(shù)問題實數(shù)化的思想是本章的主要思想方法. 3．已知x，y為共軛復(fù)數(shù)，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y. [解]　設(shè)x＝a＋bi(a，b∈R)，則y＝a－bi. 又(x＋y)2－3xyi＝4－6i，∴4a2－3(a2＋b2)i＝4－6i， ∴∴，或 或或∴ 或或或 - 5 -