2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第1章 集合與常用邏輯用語 第2節(jié) 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件教學(xué)案 理（含解析）北師大版

第二節(jié)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件考綱傳真1.理解命題的概念.2.了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系.3.理解必要條件、充分條件與充要條件的含義1命題用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題，其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題2四種命題及其相互關(guān)系(1)四種命題間的相互關(guān)系(2)四種命題的真假關(guān)系兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關(guān)系3充分條件與必要條件(1)若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；(2)若pq，且q/p，則p是q的充分不必要條件；(3)若p/q且qp，則p是q的必要不充分條件；(4)若pq，則p是q的充要條件；(5)若p/q且q/p，則p是q的既不充分也不必要條件1在四種形式的命題中，真命題的個數(shù)只能為0,2,4.2p是q的充分不必要條件，等價于綈q是綈p的充分不必要條件其他情況依次類推3集合與充要條件：設(shè)p，q成立的對象構(gòu)成的集合分別為A，B，p是q的充分不必要條件AB；p是q的必要不充分條件AB；p是q的充要條件AB.基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)“x22x3<0”是命題 ()(2)命題“若p，則q”的否命題是“若p，則綈q”()(3)當(dāng)q是p的必要條件時，p是q的充分條件()(4)“若p不成立，則q不成立”等價于“若q成立，則p成立”()答案(1)×(2)×(3)(4)2(教材改編)命題“若，則sin ”的逆否命題是()A若，則sin B若，則sin C若sin ，則D若sin ，則C“若p，則q”的逆否命題是“若綈q，則 綈p”，顯然綈q：sin ，綈p：，所以該命題的逆否命題是“若，則”3“x1”是“(x1)(x2)0”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件A若x1，則(x1)(x2)0顯然成立，但反之不一定成立，即若(x1)(x2)0，則x1或2.4(教材改編)下列命題是真命題的是()A矩形的對角線相等B若ab，cd，則acbdC若整數(shù)a是素數(shù)，則a是奇數(shù)D命題“若x20, 則x1”的逆否命題A令ac0，bd1，則acbd，故B錯誤；當(dāng)a2時，a是素數(shù)但不是奇數(shù)，故C錯誤；取x1，則x20，但x1，故D錯誤5已知命題“若x1，則2x3x”，則在它的逆命題、否命題、逆否命題中，正確命題的個數(shù)是()A0 B1C2 D3B原命題“若x1，則2x3x”，則它的逆命題：若2x3x，則x1，若x1時也滿足2x3x，所以逆命題是假命題；否命題：若x1，則2x3x，由逆命題與否命題真假性相同知，否命題是假命題；逆否命題：若2x3x，則x1，為真命題故選B.四種命題的關(guān)系及其真假的判斷1某食品的廣告詞為“幸福的人們都擁有”，這句話的等價命題是()A不擁有的人們會幸福B幸福的人們不都擁有C擁有的人們不幸福 D不擁有的人們不幸福D原命題與其逆否命題等價，故選D.2若命題A的逆命題為B，命題A的否命題為C，則B是C的()A逆命題 B否命題C逆否命題 D都不對C根據(jù)題意，設(shè)命題A為“若p，則q”，則命題B為“若q，則p”，命題C為“若綈p，則綈q”；顯然，B與C是互為逆否命題故選C.3下列命題中的真命題是()“若x2y20，則x，y不全為零”的否命題；“正多邊形都相似”的逆命題；“若m0，則x2xm0有實根”的逆否命題；“若x3，則x是無理數(shù)”的逆否命題A BC DB“若x2y20，則x，y不全為零”的否命題為“若x2y20，則x，y全為零”，是真命題；“正多邊形都相似”的逆命題是“相似的多邊形是正多邊形”，為假命題；“若m0，則x2xm0有實根”是真命題，故其逆否命題也是真命題；“若x3，則x是無理數(shù)”是真命題，故其逆否命題也是真命題故選B.規(guī)律方法(1)寫一個命題的其他三種命題時，需注意： 對于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫；若命題有大前提，寫其他三種命題時需保留大前提.(2)判斷一個命題為真命題，要給出推理證明；判斷一個命題是假命題，只需舉出反例即可.(3)根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個命題直接判斷不易進行時，可轉(zhuǎn)化為判斷其等價命題的真假.充分條件、必要條件的判定【例1】(1)(2018·天津高考)設(shè)xR，則“”是“x31”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件(2)(2019·西安八校聯(lián)考)在ABC中，“·0”是“ABC是鈍角三角形”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件(1)A(2)A(1)由得0x1，則x31成立；取x1，則(1)31，但.故選A.(2)由·0，得·0，即cos B0，所以B90°，ABC是鈍角三角形；當(dāng)ABC為鈍角三角形時，B不一定是鈍角所以“·0”是“ABC是鈍角三角形”的充分不必要條件，故選A.規(guī)律方法充分條件、必要條件的三種判斷方法(1)定義法：根據(jù)pq，qp進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題(2)集合法：根據(jù)p，q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進行判斷，適用于命題中涉及字母的范圍的推斷問題(3)等價轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性，把判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進行判斷，適用于條件和結(jié)論帶有否定性詞語的命題 (1)(2019·湘東五校聯(lián)考)“不等式x2xm0在R上恒成立”的一個必要不充分條件是()Am B0m1Cm0 Dm1(2)給定兩個命題p，q.若綈p是q的必要不充分條件，則p是綈q的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件(1)C(2)A(1)若不等式x2xm0在R上恒成立，則(1)24m0，解得m，因此當(dāng)不等式x2xm0在R上恒成立時，必有m0，但當(dāng)m0時，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分條件可以是m0.(2)因為綈p是q的必要不充分條件，所以q綈p，但綈pD/q，其等價于p綈q，但綈qD/p，故選A.充分條件、必要條件的應(yīng)用【例2】已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m若xP是xS的必要條件，則m的取值范圍為_0,3由x28x200得2x10，Px|2x10，由xP是xS的必要條件，知SP.則0m3.即所求m的取值范圍是0,3母題探究把本例中的“必要條件”改為“充分條件”，求m的取值范圍解由xP是xS的充分條件，知PS，則解得m9，即所求m的取值范圍是9，)規(guī)律方法根據(jù)充要條件求解參數(shù)范圍的方法,解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解.易錯警示：求解參數(shù)范圍時，要注意區(qū)間端點值的檢驗. (1)已知條件p：x22axa210，條件q：x2，且q是p的充分而不必要條件，則a的取值范圍是()A1，) B(，1C3，) D(，3(2)已知命題p：x22x30；命題q：xa，且綈q的一個充分不必要條件是綈p，則a的取值范圍是()A1，) B(，1C1，) D(，3(1)B(2)A(1)由x22axa210得(xa1)(xa1)0，解得xa1或xa1，故p：xa1或xa1.又q：x2，且q是p的充分而不必要條件，所以a12，解得a1，故選B.(2)由x22x30，得x3或x1，由綈q的一個充分不必要條件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要條件，等價于q是p的充分不必要條件故a1.故選A.1(2017·全國卷)設(shè)有下面四個命題p1：若復(fù)數(shù)z滿足R，則zR；p2：若復(fù)數(shù)z滿足z2R，則zR；p3：若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1z2R，則z12；p4：若復(fù)數(shù)zR，則R.其中的真命題為()Ap1，p3Bp1，p4Cp2，p3 Dp2，p4B設(shè)zabi(a，bR)，z1a1b1i(a1，b1R)，z2a2b2i(a2，b2R)對于p1，若R，即R，則b0zabiaR，所以p1為真命題對于p2，若z2R，即(abi)2a22abib2R，則ab0.當(dāng)a0，b0時，zabibiR，所以p2為假命題對于p3，若z1z2R，即(a1b1i)(a2b2i)(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)iR，則a1b2a2b10.而z12，即a1b1ia2b2ia1a2，b1b2.因為a1b2a2b10D/a1a2，b1b2，所以p3為假命題對于p4，若zR，即abiR，則b0abiaR，所以p4為真命題故選B.2(2014·全國卷)函數(shù)f(x)在xx0處導(dǎo)數(shù)存在若p：f(x0)0；q：xx0是f(x)的極值點，則()Ap是q的充分必要條件Bp是q的充分條件，但不是q的必要條件Cp是q的必要條件，但不是q的充分條件Dp既不是q的充分條件，也不是q的必要條件C當(dāng)f(x0)0時，xx0不一定是f(x)的極值點，比如，yx3在x0時，f(0)0，但在x0的左右兩側(cè)f(x)的符號相同，因而x0不是yx3的極值點由極值的定義知，xx0是f(x)的極值點必有f(x0)0.綜上知，p是q的必要條件，但不是充分條件- 7 -