2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 函數(shù) 1 生活中的變量關(guān)系 2 對(duì)函數(shù)的進(jìn)一步認(rèn)識(shí) 2.2 函數(shù)的表示法學(xué)案 北師大版必修1

2.2函數(shù)的表示法學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.掌握函數(shù)的三種表示方法(重點(diǎn))2會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)(難點(diǎn))3了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用(重點(diǎn)、難點(diǎn))1.通過應(yīng)用函數(shù)的表示方法提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)2通過分段函數(shù)的簡單應(yīng)用提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).1函數(shù)的表示法閱讀教材P28P29“例2”以上內(nèi)容，完成下列問題函數(shù)的三種表示方法表示法定義解析法用自變量的解析表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖像法用圖像表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系列表法列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系思考1：函數(shù)的三種表示方法各有什么優(yōu)、缺點(diǎn)？提示三種表示方法的優(yōu)、缺點(diǎn)比較：優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)解析法簡明、全面地概括了變量間的關(guān)系；可以通過解析式求出任意一個(gè)自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值不夠形象、直觀列表法不通過計(jì)算就可以直接看出與自變量的值相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值一般只能表示部分自變量的函數(shù)值圖像法直觀、形象地表示出函數(shù)的變化情況，有利于通過圖形研究函數(shù)的某些性質(zhì)只能近似地求出自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，有時(shí)誤差較大思考2：任何一個(gè)函數(shù)是不是都可以用解析法、列表法、圖像法三種形式來表示提示并不是所有的函數(shù)都可以用解析式表示，例如人的心跳強(qiáng)度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系圖像法也不適用于所有函數(shù)，例如D(x)對(duì)于函數(shù)值有無限個(gè)的情況，無法用列表法表示2分段函數(shù)閱讀教材P29“例2”P31，完成下列問題在函數(shù)的定義域內(nèi)，對(duì)于自變量x的不同取值，對(duì)應(yīng)關(guān)系也不同，這樣的函數(shù)通常稱為分段函數(shù)思考3：如何求分段函數(shù)的值域？提示先求出每一段中函數(shù)值的取值范圍，再求其并集1已知函數(shù)f(x)由下表給出，則f(3)()x1x<222<x4f(x)123A.1 B2C3 D不存在C因?yàn)?(2,4，所以f(3)3.2函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，則f(x)的定義域是_，值域是_1,2)(1,1觀察圖像，得f(x)的定義域?yàn)椋?，2)值域?yàn)椋?1,13已知f(x)是一次函數(shù)，且其圖像過點(diǎn)A(2,0)，B(1,5)，則f(x)的解析式為_f(x)x設(shè)f(x)kxb，依題意，得解得所以，f(x)x.4函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出x123f(x)131x123g(x)321則f(g(2)的值為_3因?yàn)間(2)2，f(2)3，所以f(g(2)3.函數(shù)圖像的作法【例1】作出下列函數(shù)的圖像并求出其值域(1)y2x1，x0,2；(2)y，x2，)；(3)yx22x，x2,2解(1)列表：x012y12345當(dāng)x0,2時(shí)，圖像是直線的一部分，觀察圖像可知，其值域?yàn)?,5(2)列表：x2345y1當(dāng)x2，)時(shí)，圖像是反比例函數(shù)y的一部分，觀察圖像可知其值域?yàn)?0,1(3)列表：x21012y01038畫圖像，圖像是拋物線yx22x在2x2之間的部分由圖可得函數(shù)的值域是1,81作函數(shù)圖像主要有三步：列表、描點(diǎn)、連線作圖像時(shí)一般應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，再在定義域內(nèi)化簡函數(shù)解析式，再列表畫出圖像2函數(shù)的圖像可能是平滑的曲線，也可能是一群孤立的點(diǎn)，畫圖時(shí)要注意關(guān)鍵點(diǎn)，如圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、區(qū)間端點(diǎn)、二次函數(shù)的頂點(diǎn)等等，還要分清這些關(guān)鍵點(diǎn)是實(shí)心點(diǎn)還是空心點(diǎn)1作出下列函數(shù)的圖像(1)yx1(x0)；(2)yx22x(x>1，或x<1)解(1)yx1(x0)表示一條射線，圖像如圖.(2)yx22x(x1)21(x>1，或x<1)是拋物線yx22x去掉1x1之間的部分后剩余的曲線如圖.求函數(shù)的解析式【例2】(1)若f(x1)x2x，則f(x)_.(2)若f(x)是一次函數(shù)，且f(f(x)4x1，則f(x)_.(3)已知函數(shù)yf(x)滿足2f(x)f2x(xR且x0)，則f(x)_.(1)x2x(2)2x或2x1(3)x(1)因?yàn)閤R，所以令tx1R，則xt1，代入f(x1)x2x，得f(t)(t1)2(t1)t2t，tR，即f(x)x2x.(2)由f(x)是一次函數(shù)，設(shè)f(x)axb(a0)，則f(f(x)f(axb)a(axb)ba2xabb4x1，所以解得或所以f(x)2x或f(x)2x1.(3)由2f(x)f2x，將x換成，則換成x，得2ff(x)，×2，得3f(x)4x，所以f(x)x.求函數(shù)解析式的常用方法(1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型，可用待定系數(shù)法求解，即由函數(shù)類型設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件列方程(組)，通過解方程(組)求出待定系數(shù)，進(jìn)而求出函數(shù)解析式.(2)換元法(有時(shí)可用“配湊法”)：已知函數(shù)fg(x)的解析式求f(x)的解析式，可用換元法(或“配湊法”)，即令g(x)t，反解出x，然后代入fg(x)中求出f(t)，從而求出f(x).(3)消元法(或解方程組法)：在已知式子中，含有關(guān)于兩個(gè)不同變量的函數(shù)，而這兩個(gè)變量有著某種關(guān)系，這時(shí)就要依據(jù)兩個(gè)變量的關(guān)系，建立一個(gè)新的關(guān)于這兩個(gè)變量的式子，由兩個(gè)式子建立方程組，通過解方程組消去一個(gè)變量，得到目標(biāo)變量的解析式，這種方法叫做消元法(或解方程組法).2(1)設(shè)函數(shù)g(x)2x1，則g(x2)()A2x1 B2x1C2x3 D2x3(2)設(shè)f(x)2x3，g(x2)f(x)，則g(x)()A2x1 B2x3C2x7 D2x3(1)C(2)C(1)因?yàn)間(x)2x1，所以g(x2)2(x2)12x3.(2)g(x2)f(x)2x3，令tx2，則xt2.所以g(t)2(t2)32t7，即g(x)2x7.分段函數(shù)及應(yīng)用探究問題1已知函數(shù)f(x)3|x1|2.(1)把函數(shù)f(x)寫成分段的形式；(2)畫出函數(shù)f(x)的圖像；(3)觀察f(x)的圖像，它是軸對(duì)稱圖形嗎？若是，它的對(duì)稱軸是什么？(4)如何由函數(shù)g(x)3|x|的圖像得到f(x)3|x1|2的圖像？提示：(1)f(x)(2)分段畫函數(shù)圖像：(3)f(x)的圖像是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸為直線x1.(4)把函數(shù)y3|x|的圖像向右平移1個(gè)單位長度，再向下平移2個(gè)單位長度可得到函數(shù)y3|x1|2的圖像2設(shè)函數(shù)f(x)(1)求f與f；(2)若f(x0)4，求實(shí)數(shù)x0的值提示：(1)f，f2.(2)由f(x0)4，得或解得x04或2.3對(duì)于探究2中的函數(shù)，探究以下問題(1)若f(x)，求x的取值范圍；(2)求函數(shù)f(x)的值域提示：(1)由f(x)，得或解得x0，或0<x，所以，x的取值范圍是.(2)當(dāng)x0時(shí)，f(x)0；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0，所以，f(x)的值域?yàn)?，)(0，)0，)【例3】已知f(x)(1)求fff(5)的值；(2)畫出該函數(shù)的圖像；(3)根據(jù)所畫圖像，寫出函數(shù)的定義域，值域思路探究(1)從里向外依次求值，每一次求值時(shí)，應(yīng)先判斷自變量的取值屬于哪一段，再利用該段的解析式求值；(2)分段畫函數(shù)圖像；(3)觀察函數(shù)圖像寫出定義域，值域解(1)fff(5)ff(3)f(1)1.(2)(3)定義域?yàn)?，0(0,4(4，)R，值域?yàn)?，41,8(，2)R.1分段函數(shù)求值，一定要注意所給自變量的值所在的范圍，代入相應(yīng)的解析式求得2多層“f”的問題，要按照“由里到外”的順序，層層處理3已知分段函數(shù)的函數(shù)值求相對(duì)應(yīng)的自變量的值，可分段利用函數(shù)解析式求得自變量的值，但應(yīng)注意檢驗(yàn)分段解析式的適用范圍，也可先判斷每一段上的函數(shù)值的范圍，確定解析式再求解4研究分段函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，應(yīng)根據(jù)“先分后合”的原則，尤其是在作分段函數(shù)的圖像時(shí)，可先將各段的圖像分別畫出來，再將它們連在一起得到整個(gè)函數(shù)的圖像3(1)函數(shù)f(x)則f(2)()A1 B0C1 D2(2)已知f(x)若f(x)>2，求x的取值范圍(1)Af(2)f(21)f(1)121.(2)解：當(dāng)x2時(shí)，f(x)x2，由f(x)>2，得x2>2，解得x>0，故x>0；當(dāng)x<2時(shí)，f(x)x2，由f(x)>2，得x2>2，解得x<4，故x<4.綜上可得：x>0或x<4.1函數(shù)三種表示法的優(yōu)缺點(diǎn)2理解分段函數(shù)應(yīng)注意的問題(1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，其定義域是各段“定義域”的并集，其值域是各段“值域”的并集寫定義域時(shí)，區(qū)間的端點(diǎn)需不重不漏(2)求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，自變量的取值屬于哪一段，就用哪一段的解析式(3)研究分段函數(shù)時(shí)，應(yīng)根據(jù)“先分后合”的原則，尤其是作分段函數(shù)的圖像時(shí)，可先將各段的圖像分別畫出來，從而得到整個(gè)函數(shù)的圖像3求函數(shù)解析式常用的方法有：(1)待定系數(shù)法；(2)換元法；(3)配湊法；(4)消元法等.1思考辨析(1)任何一個(gè)函數(shù)都可以用解析法表示()(2)y是分段函數(shù)()(3)函數(shù)y的值域是0，)()答案(1)×(2)×(3)2已知f(x21)x4x21，則f(x)_.x2x1(x1)因?yàn)閒(x21)x4x21(x21)2(x21)1，所以f(x)x2x1(x1)3如圖，函數(shù)f(x)的圖像是曲線OAB，其中點(diǎn)O，A，B的坐標(biāo)分別為(0,0)，(1,2)，(3,1)，那么f的值等于_2由函數(shù)f(x)圖像，知f(1)2，f(3)1，ff(1)2.4已知函數(shù)y|x1|x2|.(1)作出函數(shù)的圖像；(2)寫出函數(shù)的值域；(3)判斷方程|x1|x2|4有多少個(gè)實(shí)數(shù)解？解(1)首先考慮去掉解析式中的絕對(duì)值符號(hào)，第一個(gè)絕對(duì)值的分段點(diǎn)x1，第二個(gè)絕對(duì)值的分段點(diǎn)x2，這樣數(shù)軸被分為三部分：(，2，(2,1，(1，)所以已知函數(shù)可寫成分段函數(shù)形式：y|x1|x2|在相應(yīng)的x取值范圍內(nèi)，分別作出相應(yīng)函數(shù)的圖像，如圖所示，即為所求函數(shù)的圖像(2)根據(jù)函數(shù)的圖像可知：值域?yàn)?，)(3)由于直線y4與函數(shù)y|x1|x2|的圖像有2個(gè)交點(diǎn)，所以，方程|x1|x2|4有2個(gè)實(shí)數(shù)解- 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