2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 計(jì)數(shù)原理與概率 第60講 離散型隨機(jī)變量及其分布列學(xué)案

第60講離散型隨機(jī)變量及其分布列考綱要求考情分析命題趨勢1.理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性2理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用.2016·全國卷，192015·重慶卷，172015·四川卷，17利用排列、組合知識求解離散型隨機(jī)變量的分布列，運(yùn)用概率知識解決實(shí)際問題.分值：5分1隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)結(jié)果變化_而變化_的變量，常用字母X，Y，表示2離散型隨機(jī)變量所有取值可以_一一列出_的隨機(jī)變量3離散型隨機(jī)變量分布列的概率若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，xi，xn，X取每一個值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，則表Xx1x2xixnPp1p2pipn稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列，有時也用等式_P(Xxi)pi，i1,2，n_表示X的分布列4離散型概率分布列的性質(zhì)(1)_pi0(i1,2，n)_；(2)i1.5兩點(diǎn)分布若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則其分布列為X01P_1p_p其中p_P(X1)_稱為成功概率6超幾何分布在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件Xk發(fā)生的概率為：P(Xk)_(k0，1,2，m)，其中m_minM，n_，且nN，MN，n，M，NN*，如果隨機(jī)變量X的分布列具有下表形式.X01mP_則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布1思維辨析(在括號內(nèi)打“”或“×”)(1)隨機(jī)試驗(yàn)所有可能的結(jié)果是明確的，并且不止一個()(2)離散型隨機(jī)變量的所有取值有時無法一一列出(×)(3)離散型隨機(jī)變量的分布列中pi>0(i1,2，n)(×)(4)離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和()解析 (1)正確根據(jù)隨機(jī)試驗(yàn)的條件可知正確(2)錯誤離散型隨機(jī)變量的所有取值可以一一列出(3)錯誤離散型隨機(jī)變量的分布列中pi0(i1,2,3，n)(4)正確由離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)可知該命題正確2投擲甲、乙兩顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為X，那么X4表示的事件是(C)A一顆是3點(diǎn)，一顆是1點(diǎn)B兩顆都是2點(diǎn)C甲是3點(diǎn)，乙是1點(diǎn)或甲是1點(diǎn)，乙是3點(diǎn)或兩顆都是2點(diǎn)D以上答案都不對解析 甲是3點(diǎn)，乙是1點(diǎn)與甲是1點(diǎn)，乙是3點(diǎn)是試驗(yàn)的兩個不同結(jié)果，故選C3設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下.X12345Pp則p(C)ABCD解析 由p1，得p.4用X表示投擲一枚均勻的骰子獲得的點(diǎn)數(shù)，且X的分布列為P(Xi)(i1,2，6)，則擲出的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)的概率為_.解析 概率PP(X2)P(X4)P(X6).510件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，從中任取4件，則恰好取到1件次品的概率是_.解析 從10件產(chǎn)品中任取4件共有C210種不同的取法，因?yàn)?0件產(chǎn)品中有7件正品、3件次品，所以從中任取4件恰好取到1件次品共有CC105種不同的取法，故所求的概率為P.一離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時要注意檢驗(yàn)，以保證每個概率值均為非負(fù)數(shù)(2)求隨機(jī)變量在某個范圍內(nèi)的概率時，根據(jù)分布列，將所求范圍內(nèi)各隨機(jī)變量對應(yīng)的概率相加即可，其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式【例1】 設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為Pak(k1,2,3,4,5)(1)求a；(2)求P；(3)求P.解析 (1)由分布列的性質(zhì)，得PPPPP(X1)a2a3a4a5a1，所以a.(2)PPPP(X1)3×4×5×.(3)PPPP.二離散型隨機(jī)變量分布列的求法求離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟理解X的意義，寫出X可能取的全部值；求X取每個值的概率；寫出X的分布列注：求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量所取值對應(yīng)的概率，在求解時，要注意應(yīng)用計(jì)數(shù)原理、古典概型等知識【例2】 端午節(jié)包粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗設(shè)一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同從中任意選取3個(1)求三種粽子各取到1個的概率；(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽的個數(shù)，求X的分布列解析 (1)令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個”，則由古典概型的概率計(jì)算公式有P(A).(2)X能取到的所有可能值為0,1,2，且P(X0)，P(X1)，P(X2).綜上知，X的分布列為X012P【例3】 某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù).日銷售量/件0123頻數(shù)1595試銷結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變)，設(shè)某天開始營業(yè)時有該商品3件，當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率(1)求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率；(2)記X為第二天開始營業(yè)時該商品的件數(shù)，求X的分布列解析 (1)P(當(dāng)天商店不進(jìn)貨)P(當(dāng)天商品銷售量為0件)P(當(dāng)天商品銷售量為1件).(2)由題意知，X的可能取值為2,3.P(X2)P(當(dāng)天商品銷售量為1件)；P(X3)P(當(dāng)天商品銷售量為0件)P(當(dāng)天商品銷售量為2件)P(當(dāng)天商品銷售量為3件).所以X的分布列為X23P【例4】 甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率；(2)記X為比賽決出勝負(fù)時的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列解析 用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”則P(Ak)，P(Bk)，k1,2,3,4,5.(1)P(A)P(A1A2)P(B1A2A3)P(A1B2A3A4)P(A1)P(A2)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)2×2××2.(2)X的可能取值為2,3,4,5.P(X2)P(A1A2)P(B1B2)P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)，P(X3)P(B1A2A3)P(A1B2B3)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(B3)，P(X4)P(A1B2A3A4)P(B1A2B3B4)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)，P(X5)1P(X2)P(X3)P(X4).故X的分布列為X2345P三超幾何分布超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個體的個數(shù)，超幾何分布的特征是：考察對象分兩類；已知各類對象的個數(shù)；從中抽取若干個個體，考查某類個體數(shù)X的分布列超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型【例5】 一袋中裝有10個大小相同的黑球和白球，已知從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是.(1)求白球的個數(shù)；(2)從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列解析 (1)記“從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球”為事件A，設(shè)袋中白球的個數(shù)為x，則P(A)1，解得x5.故白球有5個(2)X服從超幾何分布P(Xk)，k0,1,2,3.于是可得其分布列為X0123P1設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X1的分布列；(2)|X1|的分布列解析 由分布列的性質(zhì)知：0.20.10.10.3m1，得m0.3.首先列表為X012342X113579|X1|10123從而由上表得兩個分布列為：(1)2X1的分布列2X113579P0.20.10.10.30.3(2)|X1|的分布列|X1|0123P0.10.30.30.324支圓珠筆標(biāo)價分別為10元、20元、30元、40元(1)從中任取一支，求其標(biāo)價X的分布列；(2)從中任取兩支，若以Y表示取到的圓珠筆的最高標(biāo)價，求Y的分布列解析 (1)X的可能取值分別為10,20,30,40，且取得任一支的概率相等，故X的分布列為X10203040P(2)根據(jù)題意，Y的可能取值為20,30,40，且P(Y20)，P(Y30)，P(Y40).所以Y的分布列為Y203040P3(2018·湖南益陽測試)已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；(2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費(fèi)用(單位：元)，求X的分布列解析 (1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A.P(A).(2)X的可能取值為200,300,400.P(X200)，P(X300)，P(X400)1P(X200)P(X300)1.故X的分布列為X200300400P4在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，從這10件產(chǎn)品中任取3件，求：(1)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的分布列；(2)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率解析 (1)由于從10件產(chǎn)品中任取3件的結(jié)果數(shù)為C，從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的結(jié)果數(shù)為CC，那么從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率為P(Xk)，k0，1,2,3.所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123P(2)設(shè)“取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)”為事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”為事件A1，“恰好取出2件一等品”為事件A2，“恰好取出3件一等品”為事件A3.由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且AA1A2A3，而P(A1)，P(A2)P(X2)，P(A3)P(X3).取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率為P(A)P(A1)P(A2)P(A3).易錯點(diǎn)隨機(jī)變量取值不全錯因分析：弄清隨機(jī)變量的取值，正確應(yīng)用概率公式是關(guān)鍵有時雖然弄清了隨機(jī)變量的所有取值，但對某個取值考慮不全面避免這種錯誤發(fā)生的有效方法是驗(yàn)證隨機(jī)變量的概率和是否為1.【例1】 盒子中有大小相同的球10個，其中標(biāo)號為1的球3個，標(biāo)號為2的球4個，標(biāo)號為5的球3個第一次從盒子中任取1個球，放回后第二次再任取1個球(假設(shè)取到每個球的可能性都相同)，記第一次與第二次取得球的標(biāo)號之和為，求隨機(jī)變量的可能取值及其分布列解析 由題意可得，隨機(jī)變量的可能取值是2,3,4,6,7,10.P(2)0.3×0.30.09，P(3)C×0.3×0.40.24，P(4)0.4×0.40.16，P(6)C×0.3×0.30.18，P(7)C×0.4×0.30.24，P(10)0.3×0.30.09.故隨機(jī)變量的分布列為2346710P0.090.240.160.180.240.09【跟蹤訓(xùn)練1】 (2016·全國卷)某公司計(jì)劃購買2臺機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元，在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖以這100臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機(jī)器的同時購買的易損零件數(shù)(1)求X的分布列；(2)若要求P(Xn)0.5，確定n的最小值；(3)以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n19與n20之中選其一，應(yīng)選用哪個？解析 (1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4，0.2，0.2.從而P(X16)0.2×0.20.04；P(X17)2×0.2×0.40.16；P(X18)2×0.2×0.20.4×0.40.24；P(X19)2×0.2×0.22×0.4×0.20.24；P(X20)2×0.2×0.40.2×0.20.2；P(X21)2×0.2×0.20.08；P(X22)0.2×0.20.04.所以X的分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X18)0.44，P(X19)0.68，故n的最小值為19.(3)記Y表示2臺機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用(單位：元)當(dāng)n19時，E(Y)19×200×0.68(19×200500)×0.2(19×2002×500)×0.08(19×2003×500)×0.044 040.當(dāng)n20時，E(Y)20×200×0.88(20×200500)×0.08(20×2002×500)×0.044 080.可知當(dāng)n19時所需費(fèi)用的期望值小于n20時所需費(fèi)用的期望值，故應(yīng)選n19.課時達(dá)標(biāo)第60講解密考綱離散型隨機(jī)變量及其分布列在高考中一般與排列、組合及古典概型、幾何概型、二項(xiàng)分布及超幾何分布相結(jié)合，以實(shí)際問題為背景呈現(xiàn)在三種題型中，難度中等或較大一、選擇題1設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量X去描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則P(X0)(C)A0BCD解析 設(shè)X的分布列為：X01Pp2p即“X0”表示試驗(yàn)失敗，“X1”表示試驗(yàn)成功，設(shè)失敗率為p，則成功率為2p，由p2p1，得p，故選C2一只袋內(nèi)裝有m個白球，nm個黑球，連續(xù)不放回地從袋中取球，直到取出黑球?yàn)橹?，設(shè)此時取出了X個白球，下列概率等于的是(D)AP(X3)BP(X2)CP(X3)DP(X2)解析 由超幾何分布知P(X2).3設(shè)X是一個離散型隨機(jī)變量，其分布列為X101P23qq2則q(C)A1B±CD解析 由分布列的性質(zhì)知q.4隨機(jī)變量X的概率分布為P(Xn)(n1,2,3,4)，其中a是常數(shù)，則P(D)ABCD解析 P(X1)P(X2)P(X3)P(X4)1，a，PP(X1)P(X2)××.5若隨機(jī)變量X的分布列為X210123P0.10.20.20.30.10.1則當(dāng)P(X<a)0.8時，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(C)A(，2B1,2C(1,2D(1,2)解析 由隨機(jī)變量X的分布列知：P(X<1)0.1，P(X<0)0.3，P(X<1)0.5，P(X<2)0.8，則當(dāng)P(X<a)0.8時，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,26已知隨機(jī)變量X的概率分布列如下表.X12345678910Pm則P(X10)(C)ABCD解析 由題易知：P(X1)P(X2)P(X10)1m1m11，故選C二、填空題7設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列為X1234Pm則P(|X3|1).解析 由m1，解得m，P(|X3|1)P(X2)P(X4).8由于電腦故障，使得隨機(jī)變量X的分布列中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失(以“x，y”代替)，其分布列如下.X123456P0.200.100.x50.100.1y0.20則丟失的兩個數(shù)據(jù)x，y依次為_2,5_.解析 由于0.200.10(0.1·x0.05)0.10(0.10.01·y)0.201，得10xy25，又因?yàn)閤，y為正整數(shù)，故兩個數(shù)據(jù)依次是2,5.9若離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01P9c2c38c則常數(shù)c_，P(X1)_.解析 由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可知：解得c.P(X1)38×.三、解答題10設(shè)為隨機(jī)變量，從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條：當(dāng)兩條棱相交時，0；當(dāng)兩條棱平行時，的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時，1.(1)求概率P(0)；(2)求的分布列解析 (1)若兩條棱相交，則交點(diǎn)必為正方體8個頂點(diǎn)中的1個，過任意1個頂點(diǎn)恰有3條棱，所以共有8C對相交棱，因此P(0).(2)若兩條棱平行，則它們的距離為1或，其中距離為的共有6對，于是P(1)1P(0)P()1.所以隨機(jī)變量的分布列是01P11某學(xué)校的三個學(xué)生社團(tuán)的人數(shù)分布如下表(每名學(xué)生只能參加一個社團(tuán)).圍棋社舞蹈社拳擊社男生51028女生1530m學(xué)校要對這三個社團(tuán)的活動效果進(jìn)行抽樣調(diào)查，按分層抽樣的方法從三個社團(tuán)成員中抽取18人，結(jié)果拳擊社被抽出了6人(1)求拳擊社團(tuán)被抽出6人中有5人是男生的概率；(2)設(shè)拳擊社團(tuán)有X名女生被抽出，求X的分布列解析 (1)由于按分層抽樣的方法從三個社團(tuán)成員中抽取18人，拳擊社被抽出了6人，m2.設(shè)A為“拳擊社團(tuán)被抽出的6人中有5人是男生”，則P(A).(2)由題意可知X0,1,2，P(X0)，P(X1)，P(X2)，X的分布列為X012P12某高中共派出足球、排球、籃球三個球隊(duì)參加市學(xué)校運(yùn)動會，它們獲得冠軍的概率分別為，.(1)求該高中獲得冠軍個數(shù)X的分布列；(2)若球隊(duì)獲得冠軍，則給其所在學(xué)校加5分，否則加2分，求該高中得分Y的分布列解析 (1)由題意知X的可能取值為0,1,2,3，則P(X0)××，P(X1)××××××，P(X2)××××××，P(X3)××.X的分布列為X0123P(2)得分Y5X2(3X)63X，X的可能取值為0,1,2,3，Y的可能取值為6,9,12,15，則P(Y6)P(X0)，P(Y9)P(X1)，P(Y12)P(X2)，P(Y15)P(X3).Y的分布列為Y691215P15