2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第4節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù)教學(xué)案 理（含解析）新人教A版

第四節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)考綱傳真1.(1)了解冪函數(shù)的概念；(2)結(jié)合函數(shù)yx，yx2，yx3，yx，y的圖象，了解它們的變化情況.2.理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡(jiǎn)單問(wèn)題1二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)；頂點(diǎn)式：f(x)a(xh)2k(a0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h，k)；零點(diǎn)式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2為f(x)的零點(diǎn)(2)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)yax2bxc(a0)yax2bxc(a0)圖象定義域R值域單調(diào)性在上減，在上增在上增，在上減對(duì)稱性函數(shù)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱2.冪函數(shù)(1)定義：形如yx(R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，是常數(shù)(2)五種常見(jiàn)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)特征 性質(zhì)yxyx2yx3yxyx1圖象定義域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增(，0)減，(0，)增增增(，0)和(0，)減公共點(diǎn)(1,1)常用結(jié)論1冪函數(shù)yx在第一象限的兩個(gè)重要結(jié)論(1)恒過(guò)點(diǎn)(1,1)；(2)當(dāng)x(0,1)時(shí)，越大，函數(shù)值越小；當(dāng)x(1，)時(shí)，越大，函數(shù)值越大2研究二次函數(shù)yax2bxc(a0)在區(qū)間m，n(mn)上的單調(diào)性與值域時(shí)，分類討論與m或n的大小3二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸的判斷方法(1)對(duì)于二次函數(shù)yf(x)對(duì)定義域內(nèi)所有x，都有f(x1)f(x2)，那么函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于x對(duì)稱(2)對(duì)于二次函數(shù)yf(x)對(duì)定義域內(nèi)所有x，都有f(ax)f(ax)成立的充要條件是函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱(a為常數(shù))基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)二次函數(shù)yax2bxc，xR不可能是偶函數(shù)()(2)二次函數(shù)yax2bxc，xa，b的最值一定是.()(3)冪函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)和點(diǎn)(0,0)()(4)當(dāng)0時(shí)，冪函數(shù)yx在(0，)上是增函數(shù)()答案(1)×(2)×(3)×(4)2(教材改編)已知冪函數(shù)f(x)k·x的圖象過(guò)點(diǎn)，則k等于()A.B1C. D2Cf(x)k·x是冪函數(shù)，k1，又f，k1.3.如圖是yxa；yxb；yxc在第一象限的圖象，則a，b，c的大小關(guān)系為()Aabc BabcCbca DacbD結(jié)合冪函數(shù)的圖象可知bca.4(教材改編)已知函數(shù)yx2ax6在內(nèi)是增函數(shù)，則a的取值范圍為()Aa5 Ba5Ca5 Da5C由題意可得，即a5.5(教材改編)函數(shù)g(x)x22x(x0,3)的值域是_1,3g(x)x22x(x1)21，x0,3，當(dāng)x1時(shí)，g(x)ming(1)1，又g(0)0，g(3)963，g(x)max3，即g(x)的值域?yàn)?,3冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)1冪函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，)，則f(x)是()A偶函數(shù)，且在(0，)上是增函數(shù)B偶函數(shù)，且在(0，)上是減函數(shù)C奇函數(shù)，且在(0，)上是減函數(shù)D非奇非偶函數(shù)，且在(0，)上是增函數(shù)D設(shè)冪函數(shù)f(x)x，則f(3)3，解得，則f(x)x，是非奇非偶函數(shù)，且在(0，)上是增函數(shù)2.冪函數(shù)yxm24m(mZ)的圖象如圖所示，則m的值為()A0B1C2 D3C由圖象可知yxm24m是偶函數(shù)，且m24m0，0m4，又mZ，m1,2,3，經(jīng)檢驗(yàn)m2符合題意3若(a1) (32a) ，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_易知函數(shù)yx的定義域?yàn)?，)，在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以解之得1a.規(guī)律方法(1)求解與冪函數(shù)圖象有關(guān)的問(wèn)題，應(yīng)根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的函數(shù)圖象特征，結(jié)合其奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)研究.(2)利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較冪值大小的技巧：結(jié)合冪值的特點(diǎn)利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化成同指數(shù)冪，選擇適當(dāng)?shù)膬绾瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較.求二次函數(shù)的解析式【例1】(1)已知二次函數(shù)f(x)x2bxc滿足f(0)3，對(duì)xR，都有f(1x)f(1x)成立，則f(x)的解析式為_(kāi)(2)若函數(shù)f(x)(xa)(bx2a)(a，bR)是偶函數(shù)，且它的值域?yàn)?，4，則該函數(shù)的解析式f(x)_.(1)f(x)x22x3(2)2x24(1)f(0)3，c3.又f(1x)f(1x)，f(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，1，b2.f(x)x22x3.(2)f(x)(xa)(bx2a)bx2(2aab)x2a2，又f(x)為偶函數(shù)，且值域?yàn)?，4，f(x)2x24.規(guī)律方法求二次函數(shù)解析式的方法 已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，試確定該二次函數(shù)的解析式解法一(利用一般式)：設(shè)f(x)ax2bxc(a0)由題意得解得所求二次函數(shù)為f(x)4x24x7.法二(利用頂點(diǎn)式)：設(shè)f(x)a(xm)2n.f(2)f(1)，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x.m.又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8，n8.yf(x)a28.f(2)1，a281，解得a4，f(x)4284x24x7.法三(利用零點(diǎn)式)：由已知f(x)10的兩根為x12，x21，故可設(shè)f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.又函數(shù)的最大值是8，即8，解得a4，所求函數(shù)的解析式為f(x)4x24x7.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)考法1二次函數(shù)的單調(diào)性【例2】函數(shù)f(x)ax2(a3)x1在區(qū)間1，)上是遞減的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A3,0) B(，3C2,0 D3,0D當(dāng)a0時(shí)，f(x)3x1在1，)上遞減，滿足題意當(dāng)a0時(shí)，f(x)的對(duì)稱軸為x，由f(x)在1，)上遞減知解得3a0.綜上，a的取值范圍為3,0母題探究若函數(shù)f(x)ax2(a3)x1的單調(diào)減區(qū)間是1，)，則a_.3由題意知f(x)必為二次函數(shù)且a0，又1，a3.考法2二次函數(shù)的最值【例3】求函數(shù)f(x)x22ax1在區(qū)間1,2上的最大值解f(x)(xa)21a2，f(x)的圖象是開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱軸為xa.(1)當(dāng)a，即a時(shí)，f(x)maxf(2)4a5；(2)當(dāng)a，即a時(shí)，f(x)maxf(1)22a.綜上，f(x)max考法3二次函數(shù)中的恒成立問(wèn)題【例4】(1)已知函數(shù)f(x)ax22x2，若對(duì)一切x，f(x)0都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A. B.C4，) D(4，)(2)已知函數(shù)f(x)x2mx1，若對(duì)于任意xm，m1，都有f(x)0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_(1)B(2)(1)因?yàn)閷?duì)一切x，f(x)0都成立，所以當(dāng)x時(shí)，a22，又22，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)x2mx1的圖象是開(kāi)口向上的拋物線，要使對(duì)于任意xm，m1，都有f(x)0，則有即解得m0.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.規(guī)律方法1.二次函數(shù)最值問(wèn)題的解法：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對(duì)稱軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想即可完成.2.由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵(1)一般有兩個(gè)解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù).(2)兩種思路都是將問(wèn)題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離.這兩個(gè)思路的依據(jù)是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min. 已知二次函數(shù)f(x)ax2bx1(a，bR)，xR.(1)若函數(shù)f(x)的最小值為f(1)0，求f(x)的解析式，并寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間；(2)在(1)的條件下，f(x)xk在區(qū)間3，1上恒成立，試求k的取值范圍解(1)由題意知解得所以f(x)x22x1，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為1，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(，1(2)由題意知，x22x1xk在區(qū)間3，1上恒成立，即kx2x1在區(qū)間3，1上恒成立，令g(x)x2x1，x3，1g(x)在區(qū)間3，1上是減函數(shù)，則g(x)ming(1)1，所以k1，故k的取值范圍是(，1)- 7 -