10、平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度
B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度
C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度
D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度
(2)(2018·湖南六校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)，其圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，那么函數(shù)y＝f(x)的圖象( )
A.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
C.關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng) D.關(guān)于直線x＝－對(duì)稱(chēng)
解析 (1)因?yàn)閥＝sin 2x＋1＝cos＋1＝cos＋1，
故只需將函數(shù)y＝cos 2x的圖象向右平移個(gè)
11、單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，即可得到函數(shù)y＝sin 2x＋1的圖象.
(2)由題意，T＝π，ω＝2.
又y＝f ＝sin的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).∴φ＋＝kπ＋，k∈Z.
由|φ|<，取φ＝－，因此f(x)＝sin，
代入檢驗(yàn)f ＝0，A正確.
答案 (1)B (2)A
探究提高 1.“五點(diǎn)法”作圖：設(shè)z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值與相應(yīng)的y的值，描點(diǎn)、連線可得.
2.在圖象變換過(guò)程中務(wù)必分清是先相位變換，還是先周期變換.變換只是相對(duì)于其中的自變量x而言的，如果x的系數(shù)不是1，就要把這個(gè)系數(shù)提取后再確定變換的單位長(zhǎng)度和方向.
考法2 由函數(shù)的圖象特征求解析式
12、
【例2－2】 (1)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式為( )
A.f(x)＝2sin B.f(x)＝2sin
C.f(x)＝2sin D.f(x)＝2sin
(2)(2018·濟(jì)南調(diào)研)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，則f(x1＋x2)＝( )
A.1 B. C. D.
解析 (1)由題意知A＝2，T＝4＝π，ω＝2，
因?yàn)楫?dāng)x＝時(shí)取得最大值2，
所以2＝2sin，
所以2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
解得φ＝2kπ－，k∈Z，
因?yàn)閨φ|
13、<，得φ＝－.
因此函數(shù)f(x)＝2sin.
(2)觀察圖象可知，A＝1，T＝π，則ω＝2.
又點(diǎn)是“五點(diǎn)法”中的始點(diǎn)，
∴2×＋φ＝0，φ＝.
則f(x)＝sin.
函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x＝＝.
又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，
所以＝，則x1＋x2＝，
因此f(x1＋x2)＝sin＝.
答案 (1)B (2)D
探究提高 已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象求解析式時(shí)，常采用待定系數(shù)法，由圖中的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或特殊點(diǎn)求A；由函數(shù)的周期確定ω；確定φ常根據(jù)“五點(diǎn)法”中的五個(gè)點(diǎn)求解，其中一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口，可以從圖象的升降找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)
14、的位置.
【訓(xùn)練2】 已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的部分圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式；
(2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，再把所得的函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最小值.
解 (1)設(shè)函數(shù)f(x)的最小正周期為T(mén)，由題圖可知
A＝1，＝－＝，
即T＝π，所以π＝，解得ω＝2，
所以f(x)＝sin(2x＋φ)，又過(guò)點(diǎn)，
由0＝sin可得＋φ＝2kπ，k∈Z，
則φ＝2kπ－，k∈Z，因?yàn)閨φ|＜，所以φ＝－，
故函數(shù)f(x)的
15、解析式為f(x)＝sin.
(2)根據(jù)條件得g(x)＝sin，
當(dāng)x∈時(shí)，4x＋∈，
所以當(dāng)x＝時(shí)，g(x)取得最小值，且g(x) min＝.
熱點(diǎn)三 三角函數(shù)的性質(zhì)
考法1 三角函數(shù)性質(zhì)
【例3－1】 (2018·合肥質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期為π.
(1)求函數(shù)y＝f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程；
(2)討論函數(shù)f(x)在上的單調(diào)性.
解 (1)∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，且T＝π，
∴ω＝2，于是f(x)＝sin.
令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z).
即函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x＝＋(
16、k∈Z).
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z).
注意到x∈，所以令k＝0，
得函數(shù)f(x)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為；
同理，其單調(diào)遞減區(qū)間為.
探究提高 1.討論三角函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的周期性、奇偶性與對(duì)稱(chēng)性，都必須首先利用輔助角公式，將函數(shù)化成一個(gè)角的一種三角函數(shù).
2.求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的單調(diào)區(qū)間，是將ωx＋φ作為一個(gè)整體代入正弦函數(shù)增區(qū)間(或減區(qū)間)，求出的區(qū)間即為y＝Asin(ωx＋φ)的增區(qū)間(或減區(qū)間)，但是當(dāng)A＞0，ω＜0時(shí)，需先利用誘導(dǎo)公式變形為y＝－Asin(－ωx－φ)，則y
17、＝Asin(－ωx－φ)的增區(qū)間即為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間即為原函數(shù)的增區(qū)間.
考法2 三角函數(shù)性質(zhì)與圖象的綜合應(yīng)用
【例3－2】 已知函數(shù)f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx－(ω>0)的最小正周期為π.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，若y＝g(x)在[0，b](b>0)上至少含有10個(gè)零點(diǎn)，求b的最小值.
解 (1)f(x)＝2sin ωxcosωx＋(2sin2ωx－1)
＝sin 2ωx－cos 2ωx＝2sin.
由最小正周期為π，得ω＝1，
所以f(x)
18、＝2sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
整理得kπ－≤x≤kx＋，k∈Z，
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，k∈Z.
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到y(tǒng)＝2sin 2x＋1的圖象；
所以g(x)＝2sin 2x＋1.
令g(x)＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)，
所以在[0，π]上恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，若y＝g(x)在[0，b]上有10個(gè)零點(diǎn)，則b不小于第10個(gè)零點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可.
所以b的最小值為4π＋＝.
探究提高 1.研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是將函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋B(或y＝Acos(ωx＋φ)＋B)
19、的形式，利用正余弦函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)求解.
2.函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝.應(yīng)特別注意y＝|Asin(ωx＋φ)|的最小正周期為T(mén)＝.
【訓(xùn)練3】 (2018·湖南師大附中質(zhì)檢)已知向量m＝(2cos ωx，－1)，n＝(sin ωx－cos ωx，2)(ω>0)，函數(shù)f(x)＝m·n＋3，若函數(shù)f(x)的圖象的兩個(gè)相鄰對(duì)稱(chēng)中心的距離為.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；
(2)若將函數(shù)f(x)的圖象先向左平移個(gè)單位，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，得到函數(shù)g(x)的圖象，當(dāng)x∈時(shí)，求函數(shù)g(x)的值域.
解 (1)f(x)＝
20、m·n＋3＝2cos ωx(sin ωx－cos ωx)－2＋3
＝sin 2ωx－cos 2ωx＝sin.
依題意知，最小正周期T＝π.
∴ω＝1，因此f(x)＝sin.
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
求得f(x)的增區(qū)間為，k∈Z.
(2)將函數(shù)f(x)的圖象先向左平移個(gè)單位，
得y＝sin＝sin的圖象.
然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，得到函數(shù)g(x)＝sin的圖象.
故g(x)＝sin，
由≤x≤，知≤4x＋≤.
∴－1≤sin≤.
故函數(shù)g(x)的值域是[－，1].
1.已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的圖象求解
21、析式
(1)A＝，B＝.
(2)由函數(shù)的周期T求ω，ω＝.
(3)利用“五點(diǎn)法”中相對(duì)應(yīng)的特殊點(diǎn)求φ.
2.運(yùn)用整體換元法求解單調(diào)區(qū)間與對(duì)稱(chēng)性
類(lèi)比y＝sin x的性質(zhì)，只需將y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”，采用整體代入求解.
(1)令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得對(duì)稱(chēng)軸方程；
(2)令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)；
(3)將ωx＋φ看作整體，可求得y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間，注意ω的符號(hào).
3.函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋B的性質(zhì)及應(yīng)用的求解思路
第一步：先借助三角恒等變換及相應(yīng)三角函數(shù)公式把待求函數(shù)
22、化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B(一角一函數(shù))的形式；
第二步：把“ωx＋φ”視為一個(gè)整體，借助復(fù)合函數(shù)性質(zhì)求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的單調(diào)性及奇偶性、最值、對(duì)稱(chēng)性等問(wèn)題.
一、選擇題
1.(2018·全國(guó)Ⅲ卷)函數(shù)f(x)＝的最小正周期為( )
A. B. C.π D.2π
解析 f(x)＝＝＝＝sin xcos x＝sin 2x，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
答案 C
2.(2017·全國(guó)Ⅲ卷)函數(shù)f(x)＝sin＋cos的最大值為( )
A. B.1 C. D.
解析 cos ＝cos＝sin，則f(x)＝sin＋sin＝sin
23、，函數(shù)的最大值為.
答案 A
3.(2018·湖南六校聯(lián)考)定義一種運(yùn)算＝ad－bc，將函數(shù)f(x)＝的圖象向左平移φ(φ>0)個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則φ的最小值是( )
A. B. C. D.
解析 f(x)＝2cos x－2sin x＝4cos，
依題意g(x)＝f(x＋φ)＝4cos是偶函數(shù)(其中φ>0).
∴＋φ＝kπ，k∈Z，則φmin＝π.
答案 C
4.偶函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分圖象如圖所示，其中△EFG是斜邊為4的等腰直角三角形(E，F(xiàn)是函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)G在圖象上)，則f(1)的值為(
24、 )
A. B. C. D.2
解析 依題設(shè)，＝|EF|＝4，T＝8，ω＝.
∵函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)，且0<φ<π.
∴φ＝，在等腰直角△EGF中，易求A＝2.
所以f(x)＝2sin＝2cosx，則f(1)＝.
答案 C
5.(2018·天津卷)將函數(shù)y＝sin的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)( )
A.在區(qū)間上單調(diào)遞增
B.在區(qū)間上單調(diào)遞減
C.在區(qū)間上單調(diào)遞增
D.在區(qū)間上單調(diào)遞減
解析 把函數(shù)y＝sin的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得函數(shù)g(x)＝sin＝sin 2x的圖象，由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)得
25、－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，令k＝1，得≤x≤，即函數(shù)g(x)＝sin 2x的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為.
答案 A
二、填空題
6.(2018·江蘇卷)已知函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng)，則φ的值是________.
解析 由函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng)，得sin＝±1.因?yàn)椋?φ<，所以<＋φ<，則＋φ＝，φ＝－.
答案?。?
7.已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，其中|PQ|＝2.則f(x)的解析式為_(kāi)_______.
解析 由題圖可知A＝2，P(x1，－2)，Q(x2，2)，所以|PQ|＝＝＝2.整理得|x1－x
26、2|＝2，所以函數(shù)f(x)的最小正周期T＝2|x1－x2|＝4，即＝4，解得ω＝.又函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(0，
－)，所以2sin φ＝－，即sin φ＝－.又|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝2sin.
答案 f(x)＝2sin
8.(2018·北京卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝cos(ω>0).若f(x)≤f 對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，則ω的最小值為_(kāi)_______.
解析 由于對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有f(x)≤f 成立，故當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)f(x)有最大值，故f ＝1，－＝2kπ(k∈Z)，∴ω＝8k＋(k∈Z).又ω>0，∴ωmin＝.
答案
三、解答題
9.已知函數(shù)f(x)＝4tan xsin·co
27、s－.
(1)求f(x)的定義域與最小正周期；
(2)討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性.
解 (1)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠＋kπ，k∈Z}，
f(x)＝4tan xcos xcos－
＝4sin xcos－
＝4sin x－
＝2sin xcos x＋2sin2x－
＝sin 2x－cos 2x
＝2sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
設(shè)A＝，B＝，易知A∩B＝.
所以當(dāng)x∈時(shí)，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.
10.(2018·西安模擬)已知函數(shù)f(x)＝s
28、insin x－cos2x＋.
(1)求f(x)的最大值及取得最大值時(shí)x的值；
(2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解為x1，x2，求cos(x1－x2)的值.
解 (1)f(x)＝cos xsin x－(2cos2x－1)
＝sin 2x－cos 2x＝sin.
當(dāng)2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝π＋kπ(k∈Z)時(shí)，函數(shù)f(x)取最大值，且最大值為1.
(2)由(1)知，函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x＝π＋kπ，k∈Z，
∴當(dāng)x∈(0，π)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為x＝π.
又方程f(x)＝在(0，π)上的解為x1，x2.
∴x1＋x2＝π，則x1＝π－x2，
∴cos(x1－x2
29、)＝cos＝sin，
又f(x2)＝sin＝，
故cos(x1－x2)＝.
11.設(shè)函數(shù)f(x)＝sin＋sin，其中0＜ω＜3，已知f＝0.
(1)求ω；
(2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將得到的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求g (x)在上的最小值.
解 (1)因?yàn)閒(x)＝sin＋sin，
所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx
＝sin ωx－cos ωx＝
＝sin.
由題設(shè)知f ＝0，
所以－＝kπ，k∈Z，故ω＝6k＋2，k∈Z.
又0＜ω＜3，所以ω＝2.
(2)由(1)得f(x)＝sin，
所以g(x)＝sin＝sin.
因?yàn)閤∈，所以x－∈，
當(dāng)x－＝－，即x＝－時(shí)，g(x)取得最小值－.
16
2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題一 三角函數(shù)與解三角形 第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案 理
