2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 平面解析幾何初步章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教B版必修2

第二章 平面解析幾何初步學(xué)習(xí)目標(biāo)1.熟練掌握直線方程的四種形式，并會(huì)判斷兩直線的位置關(guān)系.2.會(huì)運(yùn)用兩點(diǎn)間距離、點(diǎn)到直線的距離及兩平行線間的距離公式解決一些實(shí)際問(wèn)題.3.理解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系的相關(guān)應(yīng)用1直線傾斜角的范圍直線傾斜角的范圍是0°180°.2寫出直線的斜率公式(1)直線l的傾斜角滿足a90°，則直線斜率k_.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直線l上兩點(diǎn)，且x1x2，則直線l的斜率為k_.3直線方程的幾種形式(1)點(diǎn)斜式：_.(2)斜截式：_.(3)兩點(diǎn)式：_(x1x2，y1y2)(4)截距式：_(a0，b0)(5)一般式：_.4兩直線平行與垂直的條件直線方程l1：yk1xb1，l2：yk2xb2l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20平行的等價(jià)條件l1l2k1k2且b1b2l1l2垂直的等價(jià)條件l1l2k1k21l1l2A1A2B1B20由兩直線的方程判斷兩條直線是否平行或垂直時(shí)，要注意條件的限制；同時(shí)已知平行或垂直關(guān)系求直線的方程或確定方程的系數(shù)關(guān)系時(shí)，要根據(jù)題目條件設(shè)出合理的直線方程5距離問(wèn)題類型已知條件公式兩點(diǎn)間的距離A(x1，y1)，B(x2，y2)d點(diǎn)到直線的距離P(x0，y0)l：AxByC0d兩條平行直線間的距離l1：AxByC10，l2：AxByC20(A，B不同時(shí)為0)d6.平行直線系和垂直直線系(1)與直線AxByC0平行的直線方程為AxBym0(mC)(2)與直線AxByC0垂直的直線方程為BxAyn0.7圓的方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：_.(2)圓的一般方程：_.8直線與圓的位置關(guān)系設(shè)直線l與圓C的圓心之間的距離為d，圓的半徑為r，則(1)l與圓C相離_.(2)l與圓C相切_.(3)l與圓C相交_.9圓與圓的位置關(guān)系設(shè)O1的半徑為r1，O2的半徑為r2，兩圓的圓心距為d.當(dāng)|r1r2|dr1r2時(shí)，兩圓相交；當(dāng)r1r2d時(shí)，兩圓外切；當(dāng)|r1r2|d時(shí)，兩圓內(nèi)切；當(dāng)r1r2d時(shí)，兩圓外離；當(dāng)|r1r2|d，兩圓內(nèi)含10空間直角坐標(biāo)系空間兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)空間兩點(diǎn)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，兩點(diǎn)的距離公式是d(A，B)|AB|_.特別提醒：(1)計(jì)算直線被圓截得的弦長(zhǎng)的常用方法幾何方法運(yùn)用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長(zhǎng)的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計(jì)算代數(shù)方法運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式|AB|xAxB|.注：圓的弦長(zhǎng)、弦心距的計(jì)算常用幾何方法(2)對(duì)稱問(wèn)題點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱：求點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)Q的問(wèn)題，主要依據(jù)M是線段PQ的中點(diǎn)，即xPxQ2a，yPyQ2b.直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱：求直線l關(guān)于點(diǎn)M(m，n)的對(duì)稱直線l的問(wèn)題，主要依據(jù)l上的任一點(diǎn)T(x，y)關(guān)于M(m，n)的對(duì)稱點(diǎn)T(2mx,2ny)必在l上點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱：求已知點(diǎn)A(m，n)關(guān)于已知直線l：ykxb的對(duì)稱點(diǎn)A(x0，y0)的一般方法是依據(jù)l是線段AA的垂直平分線，列出關(guān)于x0，y0的方程組，由“垂直”得一方程，由“平分”得一方程，即直線關(guān)于直線的對(duì)稱：求直線l關(guān)于直線g的對(duì)稱直線l，主要依據(jù)l上任一點(diǎn)M關(guān)于直線g的對(duì)稱點(diǎn)必在l上類型一兩直線的位置關(guān)系例1已知兩條直線l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求滿足下列條件的a，b的值(1)l1l2，且l1過(guò)點(diǎn)(3，1)；(2)l1l2，且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等反思與感悟已知兩直線l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20(1)對(duì)于l1l2的問(wèn)題，先由A1B2A2B10解出其中的字母值，然后代回原方程檢驗(yàn)這時(shí)的l1和l2是否重合，若重合，舍去(2)對(duì)于l1l2的問(wèn)題，由A1A2B1B20解出字母的值即可跟蹤訓(xùn)練1已知直線l1：ax2y60和直線l2：x(a1)ya210.(1)試判斷l(xiāng)1與l2是否平行；(2)當(dāng)l1l2時(shí)，求a的值類型二直線的方程例2過(guò)點(diǎn)P(1,0)、Q(0,2)分別作兩條互相平行的直線，使它們?cè)趚軸上截距之差的絕對(duì)值為1，求這兩條直線的方程反思與感悟求直線方程時(shí)，要根據(jù)給定條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆匠?，常用以下兩種方法求解：(1)直接法：直接選取適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，寫出結(jié)果；(2)待定系數(shù)法：先以直線滿足的某個(gè)條件為基礎(chǔ)設(shè)出直線方程，再由直線滿足的另一個(gè)條件求出待定系數(shù)，從而求得方程跟蹤訓(xùn)練2已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,0)和點(diǎn)B(1,3a)的直線l1與經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0，1)和點(diǎn)Q(a，2a)的直線l2互相垂直，求實(shí)數(shù)a的值類型三圓的方程例3已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，1)，圓心在直線2xy0上，且與直線xy10相切，求圓的方程反思與感悟(1)求圓的方程的方法求圓的方程主要是聯(lián)想圓系方程、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，利用待定系數(shù)法解題(2)采用待定系數(shù)法求圓的方程的一般步驟選擇圓的方程的某一形式由題意得a，b，r(或D，E，F(xiàn))的方程(組)解出a，b，r(或D，E，F(xiàn))代入圓的方程跟蹤訓(xùn)練3在平面直角坐標(biāo)系中，已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(3,0)，B(2,0)，C(0，4)，經(jīng)過(guò)這三個(gè)點(diǎn)的圓記為M.(1)求BC邊的中線AD所在直線的一般式方程；(2)求圓M的方程類型四直線與圓的位置關(guān)系例4已知點(diǎn)M(3,1)，直線axy40及圓(x1)2(y2)24.(1)求過(guò)點(diǎn)M的圓的切線方程；(2)若直線axy40與圓相切，求a的值；(3)若直線axy40與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的長(zhǎng)為2，求a的值反思與感悟直線與圓位置關(guān)系的判斷方法主要有代數(shù)法和幾何法一般常用幾何法，而不用代數(shù)法因?yàn)榇鷶?shù)法計(jì)算復(fù)雜，書寫量大，易出錯(cuò)，而幾何法較簡(jiǎn)單跟蹤訓(xùn)練4與直線xy20和曲線x2y212x12y540都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_類型五數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用例5設(shè)點(diǎn)P(x，y)在圓x2(y1)21上(1)求的最小值；(2)求的最小值反思與感悟(1)形如形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題(2)形如taxby形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問(wèn)題跟蹤訓(xùn)練5當(dāng)曲線y1與直線yk(x2)4有兩個(gè)相異交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A. B.C. D.1經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(2,1)，B(1，m2)的直線l的傾斜角為銳角，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()Am1 Bm1C1m1 Dm1或m12以點(diǎn)(3,4)為圓心，且與x軸相切的圓的方程是()A(x3)2(y4)216B(x3)2(y4)216C(x3)2(y4)29D(x3)2(y4)293直線l：xy10關(guān)于y軸對(duì)稱的直線方程為()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy104若直線mx(m2)y20與3xmy10互相垂直，則點(diǎn)(m,1)到y(tǒng)軸的距離為_5已知直線xmy30和圓x2y26x50.(1)當(dāng)直線與圓相切時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值；(2)當(dāng)直線與圓相交，且所得弦長(zhǎng)為時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值1求直線的方程時(shí)需要充分利用平面幾何知識(shí)，主要求解方法有數(shù)形結(jié)合法、待定系數(shù)法、軌跡法等在求解時(shí)，一定要注意直線方程的各種形式的局限性平行與垂直是平面內(nèi)兩條直線特殊的位置關(guān)系高考一般考查平行或垂直的判斷、平行或垂直條件的應(yīng)用2在求解圓的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常使用幾何法常使用的圓的幾何性質(zhì)如下：(1)圓的切線的性質(zhì)：圓心到切線的距離等于半徑；切點(diǎn)與圓心的連線垂直于切線；切線在切點(diǎn)處的垂線一定經(jīng)過(guò)圓心；圓心、圓外一點(diǎn)及該點(diǎn)所引切線的切點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)等等(2)直線與圓相交的弦的有關(guān)性質(zhì)：相交弦的中點(diǎn)與圓心的連線垂直于弦所在直線；弦的垂直平分線(中垂線)一定經(jīng)過(guò)圓心；弦心距、半徑、弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成直角三角形的三邊，滿足勾股定理(3)與直徑有關(guān)的幾何性質(zhì)：直徑是圓最長(zhǎng)的弦；圓的對(duì)稱軸一定經(jīng)過(guò)圓心；直徑所對(duì)的圓周角是直角答案精析知識(shí)梳理2(1)tan (2)3(1)yy0k(xx0)(2)ykxb(3)(4)1(5)AxByC07(1)(xa)2(yb)2r2(2)x2y2DxEyF0(D2E24F0)8(1)dr(2)dr(3)dr10.題型探究例1解(1)l1l2，a(a1)b0.又l1過(guò)點(diǎn)(3，1)，3ab40.由，得(2)l2的斜率存在，l1l2，直線l1的斜率也存在，k1k2，即1a.坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等，且l1l2，l1，l2在y軸上的截距互為相反數(shù)，即(b)聯(lián)立，解得或經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)的l1與l2不重合，故所求值為或跟蹤訓(xùn)練1解(1)若l1l2，則a1，當(dāng)a1時(shí)，l1l2.(2)當(dāng)直線l2的斜率不存在時(shí)，a1.則l2：x0，l1：x2y60.顯然l1與l2不垂直，當(dāng)直線l2斜率存在時(shí)，a1.則k2，k1.l1l2，k1·k2·1.a.例2解(1)當(dāng)兩條直線的斜率不存在時(shí)，兩條直線的方程分別為x1，x0，它們?cè)趚軸上截距之差的絕對(duì)值為1，符合題意；(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k，則兩條直線的方程分別為yk(x1)，y2kx.令y0，得x1，x.由題意，得|1|1，即k1.兩條直線的方程分別為yx1，yx2，即為xy10，xy20.綜上可知，所求的直線方程為x1，x0或xy10，xy20.跟蹤訓(xùn)練2解l1的斜率k1a，當(dāng)a0時(shí)，l2的斜率k2.l1l2，k1·k21，即a·1，得a1.當(dāng)a0時(shí)，P(0，1)，Q(0,0)，這時(shí)直線l2為y軸，A(2,0)、B(1,0)，這時(shí)直線l1為x軸，顯然l1l2.綜上可知，實(shí)數(shù)a的值為1或0.例3解設(shè)圓的方程為(xa)2(yb)2r2(r0)圓心在直線2xy0上，b2a，即圓心為C(a，2a)又圓與直線xy10相切，且過(guò)點(diǎn)(2，1)，r，(2a)2(12a)2r2，即(3a1)22(2a)2(12a)2，解得a1或a9，或綜上所述，所求圓的方程為(x1)2(y2)22或(x9)2(y18)2338.跟蹤訓(xùn)練3解(1)方法一由B(2,0)，C(0，4)知，BC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，2)又A(3,0)，所以直線AD的方程為，即中線AD所在直線的一般式方程為x2y30.方法二由題意，得|AB|AC|5，則ABC是等腰三角形，所以ADBC.因?yàn)橹本€BC的斜率kBC2，所以直線AD的斜率kAD，由直線的點(diǎn)斜式方程，得y0(x3)，所以直線AD的一般式方程為x2y30.(2)設(shè)圓M的方程為x2y2DxEyF0.將A(3,0)，B(2,0)，C(0，4)三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入圓的方程，得解得所以圓M的方程是x2y2xy60.例4解(1)由題意知，圓心C(1,2)，半徑為r2，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為x3.由圓心C(1,2)到直線x3的距離d312r知，此時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y1k(x3)，即kxy13k0.由題意知，2，解得k.直線方程為y1(x3)，即3x4y50.故過(guò)點(diǎn)M的圓的切線方程為x3或3x4y50.(2)由題意有2，解得a0或a.(3)圓心到直線axy40的距離為，224，解得a.跟蹤訓(xùn)練4(x2)2(y2)22解析曲線可化為(x6)2(y6)218，其圓心到直線xy20的距離為d5，根據(jù)圖示可知，所求的最小圓的圓心在直線yx上，其到直線xy20的距離為，所以圓心坐標(biāo)為(2,2)故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y2)22.例5解(1)式子的幾何意義是圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)(2,0)之間的距離因?yàn)閳A心(0,1)與定點(diǎn)(2,0)的距離是，圓的半徑是1，所以的最小值是1.(2)式子的幾何意義是點(diǎn)P(x，y)與定點(diǎn)(1，2)連線的斜率如圖，當(dāng)切線為l1時(shí)，斜率最小設(shè)k，即kxyk20，由直線與圓相切，得1，解得k.故的最小值是.跟蹤訓(xùn)練5C曲線y1是以(0,1)為圓心，2為半徑的半圓(如圖)，直線yk(x2)4是過(guò)定點(diǎn)(2,4)的直線設(shè)切線PC的斜率為k0，則切線PC的方程為yk0(x2)4，圓心(0,1)到直線PC的距離等于半徑2，即2，得k0.又直線PA的斜率為k1，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是<k.當(dāng)堂訓(xùn)練1C2.B3.A40或5解析由題意，得3mm(m2)0，解得m0或m5，點(diǎn)(m,1)到y(tǒng)軸的距離為0或5.5解(1)因?yàn)閳Ax2y26x50可化為(x3)2y24，所以圓心坐標(biāo)為(3,0)又直線xmy30與圓相切，所以2，解得m±2.(2)圓心(3,0)到直線xmy30的距離為d.由2 ，得22m220m2160，即m29.故m±3.13