2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第6節(jié) 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)教學(xué)案 理（含解析）北師大版

第六節(jié)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)考綱傳真1.理解對數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；了解對數(shù)在簡化運(yùn)算中的作用.2.理解對數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握對數(shù)函數(shù)圖像通過的特殊點(diǎn)，會(huì)畫底數(shù)為2,10，的對數(shù)函數(shù)的圖像.3.體會(huì)對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.4.了解指數(shù)函數(shù)yax(a0，且a1)與對數(shù)函數(shù)ylogax(a0，且a1)互為反函數(shù)1對數(shù)的概念如果a(a0，a1)的b次冪等于N，即abN，那么數(shù)b叫作以a為底N的對數(shù)，記作logaNb，其中a叫作對數(shù)的底數(shù)，N叫作真數(shù)2對數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則(1)對數(shù)的運(yùn)算法則：如果a0，且a1，M0，N0，那么：loga(M·N)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)(2)對數(shù)的性質(zhì)：alogaNN；logaabb(a0，且a1)(3)對數(shù)的換底公式：logab(a，c均大于0且不等于1，b0)3對數(shù)函數(shù)的定義、圖像與性質(zhì)定義函數(shù)ylogax(a0且a1)叫作對數(shù)函數(shù)圖像a10a1性質(zhì)定義域：(0，)值域：R當(dāng)x1時(shí)，y0，即過定點(diǎn)(1,0)當(dāng)0x1時(shí)，y0；當(dāng)x1時(shí)，y0當(dāng)0x1時(shí)，y0；當(dāng)x1時(shí)，y0在(0，)上為增函數(shù)在(0，)上為減函數(shù)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)yax(a0且a1)與對數(shù)函數(shù)ylogax(a0且a1)互為反函數(shù)，它們的圖像關(guān)于直線yx對稱常用結(jié)論1換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論(1)loga b；(2)logambnloga b.其中a0且a1，b0且b1，m，nR.2對數(shù)函數(shù)的圖像與底數(shù)大小的比較如圖，作直線y1，則該直線與四個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù)，故0cd1ab.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)ylog2(x1)是對數(shù)函數(shù)()(2)log2x22log2x.()(3)函數(shù)yln與yln(1x)ln(1x)的定義域相同()(4)對數(shù)函數(shù)ylogax(a0且a1)的圖像過定點(diǎn)(1,0)，且過點(diǎn)(a,1)，函數(shù)圖像不在第二、三象限()答案(1)×(2)×(3)(4)2(log29)·(log34)()A.B.C2 D4D原式·×4.3.已知函數(shù)yloga(xc)(a，c為常數(shù)，其中a0，且a1)的圖像如圖，則下列結(jié)論成立的是()Aa1，c1Ba1,0c1C0a1，c1D0a1,0c1D由圖可知0a1，又f(0)loga c0，0c1.4函數(shù)f(x)log(x24)的遞增區(qū)間為()A(0，) B(，0)C(2，) D(，2)D由x240得x2或x2，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，f(x)log(x24)的遞增區(qū)間，即為yx24在x|x2或x2上的遞減區(qū)間，故選D.5若alog4 3，則2a2a_.alog4 3，2a2log4 32log2 ，2a，2a2a.對數(shù)的運(yùn)算1設(shè)2a5bm，且2，則m等于()A.B10C20 D100A2a5bm，alog2m，blog5m，logm2logm5logm102，m.2化簡下列各式：(1)lg lg 70lg 3；(2)log3 ·log54log2 10(3)7log7 2；(3)(log3 2log9 2)·(log4 3log8 3)解(1)原式lg lg 101|lg 31|lg 3.(2)原式log3 ·log510(3)7log7 2(log3 31)·log5(1032)·log5 5.(3)原式···.規(guī)律方法在解決對數(shù)的化簡與求值問題時(shí)(1)要理解并靈活運(yùn)用對數(shù)的定義、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對數(shù)恒等式和對數(shù)的換底公式.(2)注意化簡過程中的等價(jià)性和對數(shù)式與指數(shù)式的互化.(3)化異底為同底.對數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用【例1】(1)函數(shù)y2log4(1x)的圖像大致是() A B C D(2)當(dāng)x(1,2)時(shí)，不等式(x1)2loga x恒成立，則a的取值范圍是()A(0,1) B(1,2)C(1,2 D.(1)C(2)C(1)函數(shù)y2log4(1x)的定義域?yàn)?，1)，排除A，B；函數(shù)y2log4(1x)在定義域上遞減，排除D.故選C.(2)設(shè)f1(x)(x1)2，f2(x)logax，要使當(dāng)x(1,2)時(shí)，不等式(x1)2loga x恒成立，只需f1(x)(x1)2在區(qū)間(1,2)上的圖像在f2(x)loga x的圖像的下方即可當(dāng)0a1時(shí)，顯然不成立當(dāng)a1時(shí)，如圖所示，要使在區(qū)間(1,2)上，f1(x)(x1)2的圖像在f2(x)loga x的圖像的下方，只需f1(2)f2(2)，即(21)2loga 2，所以loga 21，即1a2.規(guī)律方法利用對數(shù)函數(shù)的圖像可求解的兩類問題(1)對一些可通過平移、對稱變換作出其圖像的對數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點(diǎn)時(shí)，常利用數(shù)形結(jié)合思想求解.(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖像問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解. (1)函數(shù)f(x)xa滿足f(2)4，那么函數(shù)g(x)|loga(x1)|的圖像大致為()A B CD(2)已知函數(shù)f(x)且關(guān)于x的方程f(x)xa0有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_(1)C(2)(1，)(1)法一：f(2)4，2a4，解得a2，g(x)|log2(x1)|當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)g(x)遞增，且g(0)0；當(dāng)1x0時(shí)，函數(shù)g(x)遞減故選C.法二：由f(2)4，即2a4得a2，g(x)|log2(x1)|，函數(shù)g(x)是由函數(shù)y|log2x|向左平移一個(gè)單位得到的，只有C項(xiàng)符合，故選C.(2)如圖，在同一坐標(biāo)系中分別作出yf(x)與yxa的圖像，其中a表示直線在y軸上截距，由圖可知，當(dāng)a1時(shí)，直線yxa與ylog2x只有一個(gè)交點(diǎn)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【例2】(1)(2018·天津高考)已知alog2 e，bln 2，clog ，則a，b，c的大小關(guān)系為()Aabc BbacCcba Dcab(2)若函數(shù)f(x)log2(x2ax3a)在區(qū)間(，2上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，4)B(4,4C(，4)2，)D4,4)(1)D(2)D因?yàn)閍log2 e1，bln 2(0,1)，clog log2 3log2 e1，所以cab，故選D.(2)由題意可知解得4a4.故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為4,4)規(guī)律方法(1)利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性時(shí)要注意真數(shù)必須為正，明確底數(shù)對單調(diào)性的影響.(2)解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，首先要確定函數(shù)的定義域，根據(jù)“同增異減”原則判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的最值解決恒成立問題. (1)設(shè)函數(shù)f(x)ln(1x)ln(1x)，則f(x)是()A奇函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)B奇函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)C偶函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)D偶函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)(2)設(shè)函數(shù)f(x)若f(a)f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(1,0)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(1，)D(，1)(0,1)(3)已知偶函數(shù)f(x)在(0，)上遞增，af，bf，cf(log32)，則下列關(guān)系式中正確的是()Aabc BacbCcab Dcba(1)A(2)C(3)D(1)由題意可知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1,1)，且f(x)ln ln，易知y1在(0,1)上為增函數(shù)，故f(x)在(0,1)上為增函數(shù)，又f(x)ln(1x)ln(1x)f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，故選A.(2)由題意得或解得a1或1a0.故選C.(3)log2 log2 3，而0log3 21log2 log2 log2 3.函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且在(0，)上遞增，f(log3 2)ff(log2 3)f(log23)f，cba，故選D.1(2018·全國卷)設(shè)alog0.20.3，blog20.3，則()Aabab0Babab0Cab0ab Dab0abB由alog0.20.3得log0.30.2，由blog20.3得log0.32，所以log0.30.2log0.32log0.30.4，所以01，得01.又a0，b0，所以ab0，所以abab0.2(2016·全國卷)若a>b>1,0<c<1，則()Aacbc BabcbacCalogbcblogac DlogaclogbcCyx，(0,1)在(0，)上是增函數(shù)，當(dāng)ab1,0c1時(shí)，acbc，選項(xiàng)A不正確yx，(1,0)在(0，)上是減函數(shù)，當(dāng)ab1,0c1，即1c10時(shí)，ac1bc1，即abcbac，選項(xiàng)B不正確ab1，lg alg b0，alg ablg b0，.又0c1，lg c0.，alogbcblogac，選項(xiàng)C正確同理可證logaclogbc，選項(xiàng)D不正確3(2018·全國卷)已知函數(shù)f(x)ln(x)1，f(a)4，則f(a)_.2由f(a)ln(a)14，得ln(a)3，所以f(a)ln(a)1ln 1ln(a)1312.- 8 -