2019版高考數(shù)學一輪復習 第五章 數(shù)列 第29講 等差數(shù)列及其前n項和學案

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1、 第29講　等差數(shù)列及其前n項和 考綱要求 考情分析 命題趨勢 1.理解等差數(shù)列的概念． 2．掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式． 3．能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關系，并能用有關知識解決相應的問題． 4．了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關系. 2016·全國卷Ⅰ，3 2016·浙江卷，6 2016·天津卷，18 1.利用公式求等差數(shù)列指定項、前n項和；利用定義、通項公式證明等差數(shù)列． 2．利用等差數(shù)列性質求等差數(shù)列指定項(或其項數(shù))、公差；利用等差數(shù)列的單調性求前n項和的最值. 分值：5～7分 1．等差數(shù)列的有關概念 (1)等差數(shù)列的定義

2、 一般地，如果一個數(shù)列從第__2__項起，每一項與它的前一項的差等于__同一個常數(shù)__，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母__d__表示，定義表達式為__an－an－1＝d(常數(shù))(n∈N*，n≥2)__或__an＋1－an＝d(常數(shù))(n∈N*)__. (2)等差中項 若三個數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項，且有A＝____. 2．等差數(shù)列的有關公式 (1)等差數(shù)列的通項公式 如果等差數(shù)列的首項為a1，公差為d，那么它的通項公式是__an＝a1＋(n－1)d__. (2)等差數(shù)列的前n項和公式 設等差數(shù)列的公差為d，其前n項和S

3、n＝__na1＋d__或Sn＝____. 3．等差數(shù)列的常用性質 (1)通項公式的推廣：an＝am＋__(n－m)d__(n，m∈N*)． (2)若為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則__ak＋al＝am＋an__. (3)若是等差數(shù)列，公差為d，則也是等差數(shù)列，公差為__2d__. (4)若，是等差數(shù)列，公差為d，則也是等差數(shù)列． (5)若是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為__md__的等差數(shù)列． (6)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列． (7)S2n－1＝(2n－1)an. (8)若n為

4、偶數(shù)，則S偶－S奇＝； 若n為奇數(shù)，則S奇－S偶＝a中(中間項)． 1．思維辨析(在括號內打“√”或“×”)． (1)若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列．(　×　) (2)數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　√　) (3)等差數(shù)列的單調性是由公差d決定的．(　√　) (4)數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù)．(　×　) (5)等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù)．(　×　) 解析 (1)錯誤．若這些常數(shù)都相等，則這個數(shù)列是等差數(shù)列；若這些常數(shù)不全相等，這個數(shù)列就不是等差數(shù)

5、列． (2)正確．如果數(shù)列{an}為等差數(shù)列，根據(jù)定義an＋2－an＋1＝an＋1－an，即2an＋1＝an＋an＋2；反之，若對任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2，則an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝…＝a2－a1，根據(jù)定義數(shù)列{an}為等差數(shù)列． (3)正確．當d>0時為遞增數(shù)列；d＝0時為常數(shù)列；d<0時為遞減數(shù)列． (4)錯誤．根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，只有當d≠0時，等差數(shù)列的通項公式才是n的一次函數(shù)，否則不是． (5)錯誤．根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式Sn＝na1＋d＝n2＋n，顯然只有公差d≠0時才是關

6、于n的常數(shù)項為0的二次函數(shù)，否則不是(甚至也不是n的一次函數(shù)，即a1＝d＝0時)． 2．已知等差數(shù)列的前n項和為Sn，且滿足－＝1，則數(shù)列的公差是(　C　) A．　　 B．1　　 C．2　　 D．3 解析 由－＝1，得－＝(a1＋d)－＝＝1，所以d＝2. 3．在等差數(shù)列中，a2＋a6＝，則sin＝(　D　) A．　　 B．　　 C．－　　 D．－ 解析 ∵a2＋a6＝，∴2a4＝. ∴sin＝sin＝－cos ＝－. 4．在等差數(shù)列中，已知a4＋a8＝16，則該數(shù)列前11項和S11＝(　B　) A．58　　 B．88　　 C．143　　 D．176 解析 S11＝＝

7、＝88. 5．在數(shù)列中，若a1＝1，an＋1＝an＋2(n≥1)，則該數(shù)列的通項an＝__2n－1__. 解析 由an＋1＝an＋2知{an}為等差數(shù)列，其公差為2. 故an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. 一　等差數(shù)列的基本量計算 (1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程組解決問題的思想． (2)數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換的作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知量和未知量是常用方法． 【例1】 (1)在等差數(shù)列中，a1＋a5＝8，a4＝7，則a5＝(　B　

8、) A．11　　 B．10　　 C．7　　 D．3 (2)設等差數(shù)列的前n項和為Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m＝__5__. 解析 (1)設數(shù)列{an}的公差為d，則有 解得所以a5＝－2＋4×3＝10. (2)由Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3， 得am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3， 所以等差數(shù)列的公差d＝am＋1－am＝3－2＝1， 由得 解得 二　等差數(shù)列的性質及應用 在等差數(shù)列中，數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差數(shù)列；也是等差數(shù)列．等差數(shù)列的性質是解題的重要工具． 【例2】 (1)設等差數(shù)列的

9、前n項和為Sn，且S3＝－12，S9＝45，則S12＝__114__. (2)已知，都是等差數(shù)列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，則a5＋b6＝__21__. 解析 (1)因為{an}是等差數(shù)列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差數(shù)列，所以2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，即2(S6＋12)＝－12＋(45－S6)，解得S6＝3；又2(S9－S6)＝(S6－S3)＋(S12－S9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S12－45)，解得S12＝114. (2)因為{an}，{bn}都是等差數(shù)列，所以2a3＝a1＋a5,2b8＝b10＋b6，所以2(a3＋b

10、8)＝(a1＋b10)＋(a5＋b6)，即2×15＝9＋(a5＋b6)，解得a5＋b6＝21. 三　等差數(shù)列的判定與證明 判定數(shù)列是等差數(shù)列的常用方法： (1)定義法：對任意n∈N*，an＋1－an是同一常數(shù)． (2)等差中項法：對任意n≥2，n∈N*，滿足2an＝an＋1＋an－1. (3)通項公式法：數(shù)列的通項公式an是n的一次函數(shù)． (4)前n項和公式法：數(shù)列的前n項和公式Sn是n的二次函數(shù)，且常數(shù)項為0. 【例3】 已知數(shù)列的前n項和為Sn，a1＝2，且滿足an＋1＝Sn＋2n＋1(n∈N*)． (1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列； (2)求S1＋S2＋…＋Sn的值．

11、解析 (1)證明：由條件可知，Sn＋1－Sn＝Sn＋2n＋1， 即Sn＋1－2Sn＝2n＋1，整理得－＝1. 因為＝＝1，所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列． (2)由(1)可知，＝1＋n－1＝n，所以Sn＝n·2n. 令Tn＝S1＋S2＋…＋Sn，則Tn＝1·2＋2·22＋…＋n·2n，① 2Tn＝1·22＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，② ①－②，得－Tn＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1， 整理得Tn＝2＋(n－1)·2n＋1. 四　等差數(shù)列前n項和的最值問題 求等差數(shù)列前n項和的最值的方法 (1)運用配方法轉化為二次函數(shù)，借助二次函數(shù)的單調性以及數(shù)形

12、結合的思想，從而使問題得解． (2)通項公式法：求使an≥0(an≤0)成立時最大的n值即可．一般地，等差數(shù)列中，若a1＞0，且Sp＝Sq(p≠q)，則： ①若p＋q為偶數(shù)，則當n＝時，Sn最大； ②若p＋q為奇數(shù)，則當n＝或n＝時，Sn最大． 【例4】 等差數(shù)列中，a1＞0，S5＝S12，當n為何值時，Sn有最大值？ 解析 設等差數(shù)列{an}的公差為d，由S5＝S12得5a1＋10d＝12a1＋66d，d＝－a1<0. 設此數(shù)列的前n項和最大，則 即解得即8≤n≤9，又n∈N*，所以當n＝8或n＝9時，Sn有最大值． 1．在等差數(shù)列中，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋

13、a2＋…＋a9，則m的值為(　A　) A．37　　 B．36　　 C．20　　 D．19 解析 ∵am＝a1＋a2＋…＋a9＝9a1＋d＝36d＝a37，∴m＝37.故選A． 2．若數(shù)列滿足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，則使ak·ak＋1＜0的k值為(　D　) A．22　　 B．21　　 C．24　　 D．23 解析 因為3an＋1＝3an－2，所以an＋1－an＝－，所以數(shù)列{an}是首項為15，公差為－的等差數(shù)列，所以an＝15－·(n－1)＝－n＋，令an＝－n＋>0，得n<23.5，所以使ak·ak＋1<0的值k為23. 3．等差數(shù)列中，a3＝，則cos(a1＋

14、a2＋a6)＝__－__. 解析 ∵a1＋a2＋a6＝3a3＝π，∴cos(a1＋a2＋a6)＝cos π＝－. 4．數(shù)列中，a1＝－23，an＋1－an－3＝0. (1)求數(shù)列的前n項和Sn； (2)求使得數(shù)列是遞增數(shù)列的n的取值范圍． 解析 (1)因為an＋1－an－3＝0，所以an＋1－an＝3， 即數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差d＝3. 又a1＝－23，所以數(shù)列{an}的前n項和為 Sn＝－23n＋n(n－1)·3，即Sn＝n2－n. (2)Sn＝n2－n的對應函數(shù)為f(x)＝x2－x，它的圖象是一條拋物線，其開口方向向上，對稱軸為x＝. 當x≥時，函數(shù)f(x)是增函

15、數(shù)． 因為8<<9，且－8<9－，所以f(8)

16、二　∵a5＝(a5＋2d)＋2a7，∴a7＋d＝0，即a8＝0. ∵d＜0，∴a1＞a2＞…＞a7＞a8＝0＞a9＞…， ∴n＝7或8時，Sn最大． 方法三　∵a5＝a7＋2a7＝a7＋a5＋a9，∴a7＋a9＝0， 于是a8＝0，∵d＜0，∴a1＞a2＞…>a7＞a8＝0＞a9＞…， ∴n＝7或8時，Sn最大． 答案 7或8 【跟蹤訓練1】 (2018·山西孝義模擬)在等差數(shù)列{an}中，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n項和，則使Sn取到最大值的n是(　B　) A．21　　 B．20　　 C．19　　 D．18 解析 因為a1＋a

17、3＋a5＝3a3＝105，a2＋a4＋a6＝3a4＝99，所以a3＝35，a4＝33.所以d＝－2，a1＝39. 由an＝a1＋(n－1)d＝39－2(n－1)＝41－2n≥0，解得n≤，所以當n＝20時，Sn達到最大值，故選B． 課時達標　第29講 [解密考綱]主要考查等差數(shù)列的通項公式，等差中項及其性質，以及前n項和公式的應用，三種題型均有涉及． 一、選擇題 1．已知等差數(shù)列{an}的前13項之和為39，則a6＋a7＋a8＝(　B　) A．6　　 B．9 C．12　　 D．18 解析 由等差數(shù)列的性質得，S13＝13a7＝39，∴a7＝3.由等差中項，得a6＋a7＋a8＝3

18、a7＝9，故選B． 2．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a5＝8，S3＝6，則a9＝(　C　) A．8　　 B．12 C．16　　 D．24 解析 由已知得a1＋4d＝8,3a1＋d＝6，解得a1＝0，d＝2. 故a9＝a1＋8d＝16，故選C． 3．設Sn是公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項和，且a1>0，若S5＝S9，則當Sn最大時，n＝(　B　) A．6　　 B．7 C．10　　 D．9 解析 由題意可得S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝0， ∴2(a7＋a8)＝0，即a7＋a8＝0.又∵a1>0，∴該等差數(shù)列的前7項為正數(shù)，從第8項開始為負數(shù)． ∴當Sn

19、最大時，n＝7. 4．等差數(shù)列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，則2a9－a10＝(　C　) A．20　　 B．22 C．24　　 D．－8 解析 在等差數(shù)列{an}中，∵a1＋3a8＋a15＝120，∴5a8＝120，∴a8＝24.2a9－a10＝a8＝24，故選C． 5．在等差數(shù)列{an}中，a9＝a12＋3，則數(shù)列{an}的前11項和S11＝(　C　) A．24　　 B．48 C．66　　 D．132 解析 設公差為d，a9＝a12＋3即a1＋8d＝(a1＋11d)＋3，整理，得a1＋5d＝6，即a6＝6. ∴S11＝＝＝66，故選C． 6．設Sn是公差為d(

20、d≠0)的無窮等差數(shù)列{an}的前n項和，則下列命題錯誤的是(　C　) A．若d<0，則數(shù)列{Sn}有最大項 B．若數(shù)列{Sn}有最大項，則d<0 C．若數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，則對任意的n∈N*，均有Sn>0 D．若對任意的n∈N*，均有Sn>0，則數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列 解析 選項C顯然是錯的，舉出反例：－1，0,1,2,3，…滿足數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，但是Sn>0不成立． 二、填空題 7．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝－3，ak＋1＝，Sk＝－12，則正整數(shù)k＝__13__. 解析 由Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝－12＋＝－，又Sk＋1＝＝＝－，解得k＝13

21、. 8．(2016·江蘇卷)已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項和．若a1＋a＝－3，S5＝10，則a9的值是__20__. 解析 設等差數(shù)列{an}的公差為d，則由題設可得解得從而a9＝a1＋8d＝20. 9．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若－1

22、項公式； (2)若數(shù)列{an}的前k項和Sk＝－35，求k的值． 解析 (1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，則an＝a1＋(n－1)d. 由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2. 從而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. (2)由(1)知an＝3－2n， 所以Sn＝＝2n－n2. 由Sk＝－35，得2k－k2＝－35，即(k＋5)(k－7)＝0， 又k∈N*，故k＝7. 11．若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝. (1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項公式． 解析 (1)證明：當n≥

23、2時，由an＋2SnSn－1＝0，得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1， 所以－＝2，又＝＝2， 故是首項為2，公差為2的等差數(shù)列． (2)由(1)得＝2n，∴Sn＝. 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－. 當n＝1時，a1＝不適合上式． 故an＝ 12．等差數(shù)列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值． 解析 (1)設等差數(shù)列{an}的公差為d. 由已知得解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2. (2)由(1)可得bn＝2n＋n， 所以b1＋b2＋b3＋…＋b10 ＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝＋ ＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101. 10