2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 不等式、推理與證明 第3節(jié) 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題教學(xué)案 理（含解析）北師大版

第三節(jié)二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題考綱傳真1.會從實際情境中抽象出二元一次不等式組.2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.3.會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決1二元一次不等式表示的平面區(qū)域一般地，直線l：axbyc0把直角坐標(biāo)平面分成了三個部分：(1)直線l上的點(x，y)的坐標(biāo)滿足axbyc0；(2)直線l一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(x，y)的坐標(biāo)滿足axbyc0；(3)直線l另一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(x，y)的坐標(biāo)滿足axbyc0.所以，只需在直線l的某一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)，任取一特殊點(x0，y0)，從ax0by0c值的正負，即可判斷不等式表示的平面區(qū)域2線性規(guī)劃中的相關(guān)概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的不等式(組)線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的函數(shù)解析式，如z2x3y等線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解二元線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題1點P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直線AxByC0的兩側(cè)的充要條件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0；位于直線AxByC0同側(cè)的充要條件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0.2常見目標(biāo)函數(shù)的幾何意義(1)zaxby：z表示直線yx在y軸上的截距的b倍；(2)z：z表示可行域內(nèi)的點(x，y)和點(a，b)連線的斜率；(3)z(xa)2(yb)2：z表示可行域內(nèi)的點(x，y)和點(a，b)間的距離的平方基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)不等式AxByC>0表示的平面區(qū)域一定在直線AxByC0的上方()(2)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解可能不唯一()(3)任何一個二元一次不等式組都表示平面上的一個區(qū)域()(4)線性目標(biāo)函數(shù)取得最值的點一定在可行域的頂點或邊界上()答案(1)×(2)(3)×(4)2下列各點中，不在xy10表示的平面區(qū)域內(nèi)的是()A(0,0)B(1,1)C(1,3) D(2，3)C1310，點(1,3)不在xy10表示的平面區(qū)域內(nèi)，故選C.3不等式組表示的平面區(qū)域是() A B CDC把點(0,0)代入不等式組可知，點(0,0)不在x3y60表示的平面區(qū)域內(nèi)，點(0,0)在xy20表示的平面區(qū)域內(nèi)，故選C.4設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)zxy的最大值為()A.B1 C.D3D不等式組表示的可行域如圖所示由圖可知，當(dāng)過點A時，目標(biāo)函數(shù)zxy取得最大值又A(0,3)，故z033.故選D5在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是_1不等式組表示的區(qū)域如圖中的陰影部分所示，由x1，xy0得A(1，1)，由x1，xy40得B(1，3)，由xy0，xy40得C(2，2)，|AB|2，SABC×2×11.二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域1不等式(x2y1)(xy3)0在坐標(biāo)平面內(nèi)表示的區(qū)域(用陰影部分表示)大致是() AB CDC(x2y1)(xy3)0，即或與選項C符合故選C.2已知不等式組所表示的平面區(qū)域為D，若直線ykx3與平面區(qū)域D有公共點，則k的取值范圍為()A3,3BC(，33，)DC滿足約束條件的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示因為直線ykx3過定點(0，3)，所以當(dāng)ykx3過點C(1,0)時，k3；當(dāng)ykx3過點B(1,0)時，k3，所以當(dāng)k3或k3時，直線ykx3與平面區(qū)域D有公共點故選C.3若不等式組表示的平面區(qū)域為三角形，且其面積等于，則m的值為()A3B1C.D3B如圖，要使不等式組表示的平面區(qū)域為三角形，則2m2，即m1，所圍成的區(qū)域為ABC，SABCSADCSBDC.點A的縱坐標(biāo)為1m，點B的縱坐標(biāo)為(1m)，C，D兩點的橫坐標(biāo)分別為2，2m，所以SABC(22m)(1m)(22m)(1m)(1m)2，解得m3(舍去)或m1.規(guī)律方法(1)求平面區(qū)域的面積對平面區(qū)域進行分析，若為三角形應(yīng)確定底與高，若為規(guī)則的四邊形(如平行四邊形或梯形)，可利用面積公式直接求解，若為不規(guī)則四邊形，可分割成幾個三角形，分別求解再求和即可(2)利用幾何意義求解的平面區(qū)域問題，也應(yīng)作出平面圖形，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解求目標(biāo)函數(shù)的最值考法1求線性目標(biāo)函數(shù)的最值【例1】(2019·濟南模擬)設(shè)變量x，y滿足約束條件則z2xy的取值范圍為()A1,3B1,6C1,5 D5,6B畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分(含邊界)所示，由圖知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z2xy經(jīng)過點A(3,0)時取得最大值2×306，經(jīng)過點B(0,1)時取得最小值2×011，所以z的取值范圍為1,6，故選B考法2求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值【例2】(1)若變量x，y滿足則x2y2的最大值是()A4 B9C10 D12(2)若x，y滿足約束條件則z的最大值為_(1)C(2)3(1)如圖，作出不等式組所表示的可行域(陰影部分)，設(shè)可行域內(nèi)任一點P(x，y)，則x2y2的幾何意義為|OP|2.顯然，當(dāng)點P與點A重合時，取得最大值由解得A(3，1)所以x2y2的最大值為32(1)210.故選C.(2)由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立解得A.z的幾何意義為可行域內(nèi)的動點與原點連線的斜率，則z的最大值為3.考法3求參數(shù)的值或取值范圍【例3】已知a0，x，y滿足約束條件若z2xy的最小值為1，則a()A. BC1 D2A約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域是以點(1，2a)，(1,2)和(3,0)為頂點的三角形及其內(nèi)部，當(dāng)y2xz經(jīng)過點(1，2a)時，z取得最小值1，則22a1，a，故選A.規(guī)律方法1.求目標(biāo)函數(shù)最值的解題步驟(1)作圖畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平行直線系中過原點的那一條直線；(2)平移將直線平行移動，以確定最優(yōu)解的對應(yīng)點的位置；最優(yōu)解一般在封閉圖形的邊界或頂點處取得(3)求值解方程組求出對應(yīng)點坐標(biāo)(即最優(yōu)解)，代入目標(biāo)函數(shù)，即可求出最值2常見的三類目標(biāo)函數(shù)(1)截距型：形如zaxby.求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)zaxby轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：yx，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值(2)距離型：形如z(xa)2(yb)2.(3)斜率型：形如z.易錯警示：注意轉(zhuǎn)化的等價性及幾何意義 (1)(2018·浙江高考)若x，y滿足約束條件則zx3y的最小值是_，最大值是_(2)已知變量x，y滿足約束條件且有無窮多個點(x，y)使目標(biāo)函數(shù)zxmy取得最小值，則m_.(1)28(2)1(1)由題可得，該約束條件表示的平面區(qū)域是以(2,2)，(1,1)，(4，2)為頂點的三角形及其內(nèi)部區(qū)域(圖略)由線性規(guī)劃的知識可知，目標(biāo)函數(shù)zx3y在點(2,2)處取得最大值，在點(4，2)處取得最小值，則最小值zmin462，最大值zmax268.(2)作出線性約束條件表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示若m0，則zx，目標(biāo)函數(shù)zxmy取得最小值的最優(yōu)解只有一個，不符合題意若m0，則目標(biāo)函數(shù)zxmy可看作斜率為的動直線yx，若m0，則0，數(shù)形結(jié)合知使目標(biāo)函數(shù)zxmy取得最小值的最優(yōu)解不可能有無窮多個；若m0，則0，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)動直線與直線AB重合時，有無窮多個點(x，y)在線段AB上，使目標(biāo)函數(shù)zxmy取得最小值，即1，則m1.綜上可知，m1.線性規(guī)劃的實際應(yīng)用【例4】某化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，需要A，B，C三種主要原料生產(chǎn)1車皮甲種肥料和生產(chǎn)1車皮乙種肥料所需三種原料的噸數(shù)如下表所示：原料肥料ABC甲483乙5510現(xiàn)有A種原料200噸，B種原料360噸，C種原料300噸，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)甲、乙兩種肥料已知生產(chǎn)1車皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤為2萬元；生產(chǎn)1車皮乙種肥料，產(chǎn)生的利潤為3萬元分別用x，y表示計劃生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車皮數(shù)(1)用x，y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；(2)問分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤？并求出此最大利潤解(1)由已知，x，y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖(1)中的陰影部分圖(1)(2)設(shè)利潤為z萬元，則目標(biāo)函數(shù)為z2x3y.考慮z2x3y，將它變形為yx，它的圖像是斜率為，隨z變化的一族平行直線，為直線在y軸上的截距，當(dāng)取最大值時，z的值最大又因為x，y滿足約束條件，所以由圖(2)可知，當(dāng)直線z2x3y經(jīng)過可行域上的點M時，截距最大，即z最大圖(2)解方程組得點M的坐標(biāo)為(20,24)，所以zmax2×203×24112.答：生產(chǎn)甲種肥料20車皮、乙種肥料24車皮時利潤最大，且最大利潤為112萬元規(guī)律方法解線性規(guī)劃應(yīng)用題的步驟(1)設(shè)變量；(2)列約束條件；(3)建目標(biāo)函數(shù)；(4)畫可行域；(5)求最優(yōu)解；(6)作答 某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料，已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為()甲乙原料限額A(噸)3212B(噸)128A.12萬元 B16萬元C17萬元 D18萬元D設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品分別為x噸、y噸，每天所獲利潤為z萬元，則有z3x4y，作出可行域如圖陰影部分所示，由圖形可知，當(dāng)直線z3x4y經(jīng)過點A(2,3)時，z取最大值，最大值為3×24×318.1(2018·全國卷)若x，y滿足約束條件則z3x2y的最大值為_6作出可行域為如圖所示的ABC所表示的陰影區(qū)域，作出直線3x2y0，并平移該直線，當(dāng)直線過點A(2,0)時，目標(biāo)函數(shù)z3x2y取得最大值，且zmax3×22×06.2.(2017·全國卷)設(shè)x，y滿足約束條件則z3x2y的最小值為_5作出可行域如圖陰影部分所示由z3x2y，得yx.作出直線l0：yx，并平移l0，知當(dāng)直線yx過點A時，z取得最小值由得A(1,1)，zmin3×(1)2×15.3(2015·全國卷)若x，y滿足約束條件則的最大值為_3畫出可行域如圖陰影所示，表示過點(x，y)與原點(0,0)的直線的斜率，點(x，y)在點A處時最大由得A(1,3)的最大值為3.4(2016·全國卷)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個工時生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為_元216 000設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品A x件，產(chǎn)品B y件，則目標(biāo)函數(shù)z2 100x900y.作出可行域為圖中的陰影部分(包括邊界)內(nèi)的整數(shù)點，圖中陰影四邊形的頂點坐標(biāo)分別為(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)當(dāng)直線z2 100x900y經(jīng)過點(60,100)時，z取得最大值，zmax2 100×60900×100216 000(元)- 10 -