2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第6節(jié) 離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布教學(xué)案 理（含解析）北師大版

第六節(jié)離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布考綱傳真1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念.2.會(huì)求簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能利用離散型隨機(jī)變量的均值、方差概念解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題.3.借助直觀直方圖認(rèn)識(shí)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義1離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為P(Xai)pi(i1,2，r)(1)均值EXa1p1a2p2arpr，均值EX刻畫的是X取值的“中心位置”(2)方差DXE(XEX)2為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值EX的平均偏離程度2均值與方差的性質(zhì)(1)E(aXb)aEXb(2)D(aXb)a2DX(a，b為常數(shù))3兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差均值方差變量X服從兩點(diǎn)分布EXpDXp(1p)XB(n，p)EXnpDXnp(1p)4.正態(tài)分布(1)XN(，2)，表示X服從參數(shù)為和2的正態(tài)分布(2)正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)圖像關(guān)于直線x對(duì)稱；(0)的大小決定函數(shù)圖像的“胖”“瘦”；p(X)68.3%；p(2X2)95.4%；p(3X3)99.7%.1均值與方差的關(guān)系：DXEX2E2X.2超幾何分布的均值：若X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布，則EX.基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的()(2)若XN(，2)，則，2分別表示正態(tài)分布的均值和方差()(3)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機(jī)變量()(4)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離均值的平均程度越小. ()答案(1)(2)(3)×(4)2(教材改編)已知X的分布列為X101Pa設(shè)Y2X3，則EY的值為()A.B4C1D1A由概率分布列的性質(zhì)可知：a1，a.EX1×0×1×.EY32EX3.3已知隨機(jī)變量X8，若XB(10,0.6)，則隨機(jī)變量的均值E及方差D分別是()A6和2.4 B2和2.4C2和5.6 D6和5.6B設(shè)隨機(jī)變量X的均值及方差分別為EX，DX，因?yàn)閄B(10,0.6)，所以EX10×0.66，DX10×0.6×(10.6)2.4，故EE(8X)8EX2，DD(8X)DX2.4，故選B4已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(2，2)，且P(4)0.8，則P(04)_.0.6由P(4)0.8，得P(4)0.2.又正態(tài)曲線關(guān)于x2對(duì)稱則P(0)P(4)0.2，P(04)1P(0)P(4)0.6.5隨機(jī)變量X的分布列為P(Xk)，k1,2,3，C為常數(shù)，則P(0.5X2.5)_.由P(X1)P(X2)P(X3)1，得1，解得C.所以P(0.5X2.5)P(X1)P(X2).求離散型隨機(jī)變量的均值、方差【例1】(1)(2017·全國(guó)卷改編)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則DX()A1.96B1.98C2D2.02(2)甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都投球3次時(shí)投籃結(jié)束設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響求甲獲勝的概率；求投籃結(jié)束時(shí)甲的投球次數(shù)的分布列與期望(1)A依題意，XB(100,0.02)，所以DX100×0.02×(10.02)1.96.(2)解設(shè)Ak，Bk分別表示“甲、乙在第k次投籃投中”，則P(Ak)，P(Bk)，其中k1,2,3.記“甲獲勝”為事件C，由互斥事件與相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式知P(C)P(A1)P(A2)P(A3)P(A1)P()P()P(A2)P()P()P()P()P(A3)××2×2×.的所有可能取值為1,2,3，且P(1)P(A1)P(B1)×，P(2)P(A2)P(B2)××2×2，P(3)P()2×2.綜上知，的分布列為123P所以E1×2×3×.規(guī)律方法求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值(2)求X取每個(gè)值時(shí)的概率(3)寫出X的分布列(4)由均值的定義求EX.(5)由方差的定義求DX. 設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球，b個(gè)黃球，c個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球得2分，取出一個(gè)藍(lán)球得3分(1)當(dāng)a3，b2，c1時(shí)，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)2個(gè)球，記隨機(jī)變量為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和，求的分布列；(2)從該袋子中任取(每球取到的機(jī)會(huì)均等)1個(gè)球，記隨機(jī)變量為取出此球所得分?jǐn)?shù)若E，D，求abc.解(1)由題意得2,3,4,5,6，故P(2)，P(3)，P(4)，P(5)，P(6).所以的分布列為23456P(2)由題意知的分布列為123P所以E，D2·2·2·，化簡(jiǎn)得解得a3c，b2c，故abc321.均值與方差在決策中的應(yīng)用【例2】根據(jù)某水文觀測(cè)點(diǎn)的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，得到某河流每年最高水位X(單位：米)的頻率分布直方圖如圖：將河流最高水位落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每年河流最高水位相互獨(dú)立(1)求在未來(lái)三年里，至多有一年河流最高水位X27,31)的概率(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)；(2)該河流對(duì)沿河A企業(yè)影響如下：當(dāng)X23,27)時(shí)，不會(huì)造成影響；當(dāng)X27,31)時(shí)，損失10 000元；當(dāng)X31,35時(shí)，損失60 000元為減少損失，現(xiàn)有三種應(yīng)對(duì)方案：方案一：防御35米的最高水位，每年需要工程費(fèi)用3 800元；方案二：防御31米的最高水位，每年需要工程費(fèi)用2 000元；方案三：不采取措施試比較上述三種方案，哪種方案好，并請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)由題意得P(27X31)0.25.設(shè)在未來(lái)3年里，河流最高水位x27,31)發(fā)生的年數(shù)為Y，則YN.設(shè)事件“在未來(lái)三年里，至多有一年河流最高水位X27,31)”為事件A，則P(A)P(Y0)P(Y1)C3C2×.所以在未來(lái)三年里，至多有一年河流最高水位X27,31)的概率為.(2)方案二好，理由如下：由題意得P(23X27)0.74，P(31X35)0.01，用X1，X2，X3分別表示方案一、方案二、方案三的損失，由題意得X13 800，X2的分布列為X22 00062 000P0.990.01所以EX262 000×0.012 000×0.992 600.X3的分布列為X3010 00060 000P0.740.250.01所以EX30×0.7460 000×0.0110 000×0.253 100.因?yàn)槿N方案中方案二的平均損失最小，所以采取方案二好規(guī)律方法利用均值、方差進(jìn)行決策的兩個(gè)方略(1)當(dāng)均值不同時(shí)，兩個(gè)隨機(jī)變量取值的水平可見分歧，可對(duì)問(wèn)題作出判斷(2)若兩隨機(jī)變量均值相同或相差不大，則可通過(guò)分析兩變量的方差來(lái)研究隨機(jī)變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進(jìn)而進(jìn)行決策 某供貨商計(jì)劃將某種大型節(jié)日商品分別配送到甲、乙兩地銷售，據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲、乙兩地該商品需求量(單位：件)的頻率分布表如下：甲地需求量頻率分布表需求量/件456頻率0.50.30.2乙地需求量頻率分布表需求量/件345頻率0.60.30.1以兩地需求量的頻率估計(jì)需求量的概率(1)若此供貨商計(jì)劃將10件該商品全部配送至甲、乙兩地，為保證兩地不缺貨(配送量需求量)的概率均大于0.7，問(wèn)該商品的配送方案有哪幾種？(2)已知甲、乙兩地該商品的銷售相互獨(dú)立，該商品售出，供貨商獲利2萬(wàn)元/件；未售出的，供貨商虧損1萬(wàn)元/件在(1)的前提下，若僅考慮此供貨商所獲凈利潤(rùn)，試確定最佳配送方案解(1)由表格可知，甲地不缺貨的概率大于0.7時(shí)，至少需配貨5件；乙地不缺貨的概率大于0.7時(shí)，至少需配貨4件故共有兩種方案：方案一是甲地配5件，乙地配5件；方案二是甲地配6件，乙地配4件(2)方案一：甲地配5件，乙地配5件時(shí)，記甲地的利潤(rùn)為X1萬(wàn)元，乙地的利潤(rùn)為Y1萬(wàn)元，則X1，Y1的分布列分別為X1710P0.50.5Y14710P0.60.30.1所以選擇方案一時(shí)，此供貨商凈利潤(rùn)的期望為E(X1)E(Y1)(7×0.510×0.5)(4×0.67×0.310×0.1)8.55.514(萬(wàn)元)方案二：甲地配6件，乙地配4件時(shí)，記甲地的利潤(rùn)為X2萬(wàn)元，乙地的利潤(rùn)為Y2萬(wàn)元，則X2，Y2的分布列分別為X26912P0.50.30.2Y258P0.60.4所以選擇方案二時(shí)，此供貨商凈利潤(rùn)的期望為E(X2)E(Y2)(6×0.59×0.312×0.2)(5×0.68×0.4)8.16.214.3(萬(wàn)元)綜上，僅考慮此供貨商所獲凈利潤(rùn)，選擇方案二更佳正態(tài)分布【例3】(2017·全國(guó)卷)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸(單位：cm)根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(，2)(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(3，3)之外的零件數(shù)，求P(X1)及X的數(shù)學(xué)期望；(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(3，3)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性；下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得xi9.97，s)0.212，其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，i1,2，16.用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？剔除(3，3)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和(精確到0.01)附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(，2)，則P(3<Z3)99.74%,0.997 4160.959 2，0.09.解(1)抽取的一個(gè)零件的尺寸在(3，3)之內(nèi)的概率為0.997 4，從而零件的尺寸在(3，3)之外的概率為0.002 6，故XB(16,0.002 6)因此P(X1)1P(X0)10.997 4160.040 8.X的數(shù)學(xué)期望EX16×0.002 60.041 6.(2)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在(3，3)之外的概率只有0.002 6，一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在(3，3)之外的零件的概率只有0.040 8，發(fā)生的概率很小，因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程的方法是合理的由9.97，s0.212，得的估計(jì)值為9.97，的估計(jì)值為0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在(3，3)之外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查剔除(3，3)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為×(16×9.979.22)10.02.因此的估計(jì)值為10.02.x16×0.212216×9.9721 591.134，剔除(3，3)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為×(1 591.1349.22215×10.022)0.008，因此的估計(jì)值為0.09.規(guī)律方法正態(tài)分布下的概率計(jì)算常見的兩類問(wèn)題(1)利用正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性研究相關(guān)概率問(wèn)題，涉及的知識(shí)主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x對(duì)稱，及曲線與x軸之間的面積為1的性質(zhì)(2)利用3原則求概率問(wèn)題時(shí)，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的，進(jìn)行對(duì)比聯(lián)系，確定它們屬于(，)，(2，2)，(3，3)中的哪一個(gè) (1)在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10 000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(1,1)的密度曲線)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為()附：若XN(，2)，則P(X)68.3%，P(2X2)95.4%.A1 193 B1 355C2 718 D3 413(2)甲、乙兩廠生產(chǎn)的一批零件尺寸服從N(5,0.12)，如果零件尺寸在(3，3)以外，我們就有理由認(rèn)為生產(chǎn)中可能出現(xiàn)了異常情況現(xiàn)從甲、乙兩廠各抽取10件零件檢測(cè)，尺寸如莖葉圖所示：則以下判斷正確的是()A甲、乙兩廠生產(chǎn)都出現(xiàn)異常B甲、乙兩廠生產(chǎn)都正常C甲廠生產(chǎn)正常，乙廠出現(xiàn)異常D甲廠生產(chǎn)出現(xiàn)異常，乙廠正常(1)B(2)D(1)對(duì)于正態(tài)分布N(1,1)，1，1，正態(tài)曲線關(guān)于x1對(duì)稱，故題圖中陰影部分的面積為×P(3X1)P(2X0)×P(2X2)P(X)×(95.4%68.3%)0.135 5，所以點(diǎn)落入題圖中陰影部分的概率P0.135 5，投入10 000個(gè)點(diǎn)，落入陰影部分的個(gè)數(shù)約為10 000×0.135 51 355.(2)由甲、乙兩廠生產(chǎn)的一批零件尺寸服從N(5,0.12)，得5，0.1，區(qū)間(3，3)，即區(qū)間(4.7,5.3)，根據(jù)莖葉圖可知，甲廠生產(chǎn)的零件有1件尺寸超出上述區(qū)間，乙廠生產(chǎn)的零件尺寸均在上述區(qū)間，所以甲廠生產(chǎn)出現(xiàn)異常、乙廠生產(chǎn)正常故選D(2018·全國(guó)卷)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0p1)，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點(diǎn)p0.(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX；以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？解(1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)Cp2(1p)18.因此f(p)C2p(1p)1818p2(1p)172Cp(1p)17(110p)令f(p)0，得p0.1.當(dāng)p(0,0.1)時(shí)，f(p)0；當(dāng)p(0.1,1)時(shí)，f(p)0.所以f(p)的最大值點(diǎn)為p00.1.(2)由(1)知，p0.1.令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知YB(180,0.1)，X20×225Y，即X4025Y.所以EXE(4025Y)4025EY490.如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元由于EX400，故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)- 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