2017-2018版高中數(shù)學 第三章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入習題課學案 新人教B版選修1-2

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1、 第三章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入章末習題課 明目標、知重點　1.鞏固復數(shù)的概念和幾何意義.2.理解并能進行復數(shù)的四則運算并認識復數(shù)加減法的幾何意義. 1.復數(shù)的四則運算，若兩個復數(shù)z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R) (1)加法：z1＋z2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i； (2)減法：z1－z2＝(a1－a2)＋(b1－b2)i； (3)乘法：z1·z2＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i； (4)除法：＝＋i(z2≠0)； (5)實數(shù)四則運算的交換律、結(jié)合律、分配律都適合于復數(shù)的情況； (6)特殊復數(shù)的運算：in(n為正

2、整數(shù))的周期性運算； (1±i)2＝±2i；若ω＝－±i，則ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0. 2.共軛復數(shù)與復數(shù)的模 (1)若z＝a＋bi，則＝a－bi，z＋為實數(shù)，z－為純虛數(shù)(b≠0). (2)復數(shù)z＝a＋bi的模，|z|＝， 且z·＝|z|2＝a2＋b2. 3.復數(shù)加、減法的幾何意義 (1)復數(shù)加法的幾何意義 若復數(shù)z1、z2對應的向量、不共線，則復數(shù)z1＋z2是以、為兩鄰邊的平行四邊形的對角線所對應的復數(shù). (2)復數(shù)減法的幾何意義 復數(shù)z1－z2是連接向量、的終點，并指向Z1的向量所對應的復數(shù). 題型一　復數(shù)的四則運算 例1　(1)計算：＋2 012＋ ；

3、 (2)已知z＝1＋i，求的模. 解　(1)原式＝＋1 006＋ ＝i＋(－i)1 006＋0＝－1＋i. (2)＝＝＝1－i， ∴的模為. 反思與感悟　復數(shù)的除法運算是復數(shù)運算中的難點，如果遇到(a＋bi)÷(c＋di)的形式，首先應該寫成分式的形式，然后再分母實數(shù)化. 跟蹤訓練1　(1)已知＝2＋i，則復數(shù)z等于(　　) A.－1＋3i B.1－3i C.3＋i D.3－i 答案　B 解析　方法一　∵＝2＋i，∴＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i－1＝1＋3i，∴z＝1－3i. 方法二　設z＝a＋bi(a，b∈R)，∴＝a－bi， ∴＝2＋i，∴，z＝1－

4、3i. (2)i為虛數(shù)單位，則2 011等于(　　) A.－i B.－1 C.i D.1 答案　A 解析　因為＝＝i， 所以2 011＝i2 011＝i4×502＋3＝i3＝－i，故選A. 題型二　復數(shù)的幾何意義 例2　已知點集D＝{z||z＋1＋i|＝1，z∈C}，試求|z|的最小值和最大值. 解　點集D的圖象為以點C(－1， －)為圓心，1為半徑的圓，圓上任一點P對應的復數(shù)為z，則||＝|z|. 由圖知，當OP過圓心C(－1，－)時，與圓交于點A、B，則|z|的最小值是|OA|＝|OC|－1＝－1＝2－1＝1，即|z|min＝1； |z|的最大值是|OB

5、|＝|OC|＋1＝2＋1＝3， 即|z|max＝3. 反思與感悟　復數(shù)和復平面內(nèi)的點，以原點為起點的向量一一對應；復數(shù)加減法符合向量運算的平行四邊形法則和三角形法則：|z1－z2|表示復數(shù)z1，z2對應的兩點Z1，Z2之間的距離. 跟蹤訓練2　已知復數(shù)z1，z2滿足|z1|＝3，|z2|＝5，|z1－z2|＝，求|z1＋z2|的值. 解　如圖所示，設z1，z2對應點分別為A，B，以，為鄰邊作?OACB，則對應的復數(shù)為z1＋z2.這里||＝3，||＝5，||＝. ∴cos ∠AOB＝ ＝＝. ∴cos ∠OBC＝－.又||＝||＝3， ∴|z1＋z2|＝|| ＝＝. 題型

6、三　兩個復數(shù)相等 例3　設復數(shù)z和它的共軛復數(shù)滿足4z＋2＝3＋i，求復數(shù)z. 解　設z＝a＋bi(a，b∈R). 因為4z＋2＝3＋i， 所以2z＋(2z＋2)＝3＋i. 2z＋2＝2(a＋bi)＋2(a－bi)＝4a，整體代入上式， 得2z＋4a＝3＋i.所以z＝＋. 根據(jù)復數(shù)相等的充要條件，得 解得所以z＝＋. 反思與感悟　兩個復數(shù)相等是解決復數(shù)問題的重要工具.“復數(shù)相等”可以得到兩個實數(shù)等式，為應用方程思想提供了條件，常用于確定系數(shù)，解復數(shù)方程等問題. 跟蹤訓練3　是z的共軛復數(shù)，若z＋＝2，(z－)i＝2(i為虛數(shù)單位)，則z等于(　　) A.1＋i B.－

7、1－i C.－1＋i D.1－i 答案　D 解析　方法一　設z＝a＋bi，a，b為實數(shù)，則＝a－bi. ∵z＋＝2a＝2，∴a＝1. 又(z－)i＝2bi2＝－2b＝2，∴b＝－1.故z＝1－i. 方法二　∵(z－)i＝2，∴z－＝＝－2i. 又z＋＝2，∴(z－)＋(z＋)＝－2i＋2， ∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i. 1.以1＋2i的虛部為實部，以3i－2的實部為虛部的新復數(shù)是(　　) A.2－2i B.2＋i C.3＋i D.2＋3i 答案　A 2.若x－2＋yi和3x－i互為共軛復數(shù)，則實數(shù)x與y的值是(　　) A.x＝3，y＝3

8、 B.x＝5，y＝1 C.x＝－1，y＝－1 D.x＝－1，y＝1 答案　D 解析　x－2＝3x，y＝－(－1)， 即x＝－1，y＝1. 3.設復數(shù)z滿足(1＋i)z＝2，其中i為虛數(shù)單位，則z等于(　　) A.1＋i B.1－i C.2＋2i D.2－2i 答案　B 解析　z＝＝＝1－i，故選B. 4.已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i為虛數(shù)單位，則a＋b等于(　　) A.－1 B.1 C.2 D.3 答案　B 解析　∵＝b＋i，∴a＋2i＝bi－1. ∴a＝－1，b＝2，∴a＋b＝1. [呈重點、現(xiàn)規(guī)律] 1.復數(shù)的四則運算按照運算法則和運算律進行運算，其中除法運算的關(guān)鍵是將分母實數(shù)化； 2.復數(shù)的幾何意義是數(shù)形結(jié)合思想在復數(shù)中的一大體現(xiàn)； 3.利用兩個復數(shù)相等可以解決求參數(shù)值(或范圍)和復數(shù)方程等問題. 5