2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入習(xí)題課學(xué)案 新人教B版選修1-2
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2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入習(xí)題課學(xué)案 新人教B版選修1-2
第三章 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入章末習(xí)題課明目標、知重點1.鞏固復(fù)數(shù)的概念和幾何意義.2.理解并能進行復(fù)數(shù)的四則運算并認識復(fù)數(shù)加減法的幾何意義.1.復(fù)數(shù)的四則運算,若兩個復(fù)數(shù)z1a1b1i,z2a2b2i(a1,b1,a2,b2R)(1)加法:z1z2(a1a2)(b1b2)i;(2)減法:z1z2(a1a2)(b1b2)i;(3)乘法:z1·z2(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)i;(4)除法:i(z20);(5)實數(shù)四則運算的交換律、結(jié)合律、分配律都適合于復(fù)數(shù)的情況;(6)特殊復(fù)數(shù)的運算:in(n為正整數(shù))的周期性運算;(1±i)2±2i;若±i,則31,120.2.共軛復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的模(1)若zabi,則abi,z為實數(shù),z為純虛數(shù)(b0).(2)復(fù)數(shù)zabi的模,|z|,且z·|z|2a2b2.3.復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義(1)復(fù)數(shù)加法的幾何意義若復(fù)數(shù)z1、z2對應(yīng)的向量、不共線,則復(fù)數(shù)z1z2是以、為兩鄰邊的平行四邊形的對角線所對應(yīng)的復(fù)數(shù).(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義復(fù)數(shù)z1z2是連接向量、的終點,并指向Z1的向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù).題型一復(fù)數(shù)的四則運算例1(1)計算:2 012;(2)已知z1i,求的模.解(1)原式1 006i(i)1 00601i.(2)1i,的模為.反思與感悟復(fù)數(shù)的除法運算是復(fù)數(shù)運算中的難點,如果遇到(abi)÷(cdi)的形式,首先應(yīng)該寫成分式的形式,然后再分母實數(shù)化.跟蹤訓(xùn)練1(1)已知2i,則復(fù)數(shù)z等于()A.13i B.13iC.3i D.3i答案B解析方法一2i,(1i)(2i)23i113i,z13i.方法二設(shè)zabi(a,bR),abi,2i,z13i.(2)i為虛數(shù)單位,則2 011等于()A.i B.1C.i D.1答案A解析因為i,所以2 011i2 011i4×5023i3i,故選A.題型二復(fù)數(shù)的幾何意義例2已知點集Dz|z1i|1,zC,試求|z|的最小值和最大值.解點集D的圖象為以點C(1,)為圓心,1為半徑的圓,圓上任一點P對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z,則|z|.由圖知,當OP過圓心C(1,)時,與圓交于點A、B,則|z|的最小值是|OA|OC|11211,即|z|min1;|z|的最大值是|OB|OC|1213,即|z|max3.反思與感悟復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的點,以原點為起點的向量一一對應(yīng);復(fù)數(shù)加減法符合向量運算的平行四邊形法則和三角形法則:|z1z2|表示復(fù)數(shù)z1,z2對應(yīng)的兩點Z1,Z2之間的距離.跟蹤訓(xùn)練2已知復(fù)數(shù)z1,z2滿足|z1|3,|z2|5,|z1z2|,求|z1z2|的值.解如圖所示,設(shè)z1,z2對應(yīng)點分別為A,B,以,為鄰邊作OACB,則對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1z2.這里|3,|5,|.cos AOB.cos OBC.又|3,|z1z2|.題型三兩個復(fù)數(shù)相等例3設(shè)復(fù)數(shù)z和它的共軛復(fù)數(shù)滿足4z23i,求復(fù)數(shù)z.解設(shè)zabi(a,bR).因為4z23i,所以2z(2z2)3i.2z22(abi)2(abi)4a,整體代入上式,得2z4a3i.所以z.根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件,得解得所以z.反思與感悟兩個復(fù)數(shù)相等是解決復(fù)數(shù)問題的重要工具.“復(fù)數(shù)相等”可以得到兩個實數(shù)等式,為應(yīng)用方程思想提供了條件,常用于確定系數(shù),解復(fù)數(shù)方程等問題.跟蹤訓(xùn)練3是z的共軛復(fù)數(shù),若z2,(z)i2(i為虛數(shù)單位),則z等于()A.1i B.1iC.1i D.1i答案D解析方法一設(shè)zabi,a,b為實數(shù),則abi.z2a2,a1.又(z)i2bi22b2,b1.故z1i.方法二(z)i2,z2i.又z2,(z)(z)2i2,2z2i2,z1i.1.以12i的虛部為實部,以3i2的實部為虛部的新復(fù)數(shù)是()A.22i B.2i C.3i D.23i答案A2.若x2yi和3xi互為共軛復(fù)數(shù),則實數(shù)x與y的值是()A.x3,y3 B.x5,y1C.x1,y1 D.x1,y1答案D解析x23x,y(1),即x1,y1.3.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1i)z2,其中i為虛數(shù)單位,則z等于()A.1i B.1i C.22i D.22i答案B解析z1i,故選B.4.已知bi(a,bR),其中i為虛數(shù)單位,則ab等于()A.1 B.1 C.2 D.3答案B解析bi,a2ibi1.a1,b2,ab1.呈重點、現(xiàn)規(guī)律1.復(fù)數(shù)的四則運算按照運算法則和運算律進行運算,其中除法運算的關(guān)鍵是將分母實數(shù)化;2.復(fù)數(shù)的幾何意義是數(shù)形結(jié)合思想在復(fù)數(shù)中的一大體現(xiàn);3.利用兩個復(fù)數(shù)相等可以解決求參數(shù)值(或范圍)和復(fù)數(shù)方程等問題.5