2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 突破熱點(diǎn) 分層教學(xué) 專項(xiàng)二 專題七 2 第2講 不等式選講學(xué)案

第2講不等式選講年份卷別考查內(nèi)容及考題位置命題分析2018卷絕對(duì)值不等式的解法、不等式的恒成立問(wèn)題·T231.不等式選講是高考的選考內(nèi)容之一，考查的重點(diǎn)是不等式的證明、絕對(duì)值不等式的解法等，命題的熱點(diǎn)是絕對(duì)值不等式的求解，以及絕對(duì)值不等式與函數(shù)的綜合問(wèn)題的求解2此部分命題形式單一、穩(wěn)定，難度中等，備考本部分內(nèi)容時(shí)應(yīng)注意分類討論思想的應(yīng)用.卷絕對(duì)值不等式的解法、不等式的恒成立問(wèn)題·T23卷含絕對(duì)值函數(shù)圖象的畫(huà)法、不等式的恒成立問(wèn)題·T232017卷含絕對(duì)值不等式的解法、求參數(shù)的取值范圍·T23卷基本不等式的應(yīng)用、一些常用的變形及證明不等式的方法·T23卷含絕對(duì)值不等式的解法、函數(shù)最值的求解·T232016卷含絕對(duì)值函數(shù)圖象的畫(huà)法、含絕對(duì)值不等式的解法·T24卷含絕對(duì)值不等式的解法、比較法證明不等式·T24卷含絕對(duì)值不等式的解法、絕對(duì)值不等式的性質(zhì)·T24絕對(duì)值不等式的解法(綜合型)含有絕對(duì)值的不等式的解法(1)|f(x)|>a(a>0)f(x)>a或f(x)<a；(2)|f(x)|<a(a>0)a<f(x)<a；(3)對(duì)形如|xa|xb|c，|xa|xb|c的不等式，可利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解 典型例題 (2018·太原模擬)已知函數(shù)f(x)|xm|2x1|.(1)當(dāng)m1時(shí)，求不等式f(x)2的解集；(2)若f(x)|2x1|的解集包含，求m的取值范圍【解】(1)當(dāng)m1時(shí)，f(x)|x1|2x1|，當(dāng)x1時(shí)，f(x)3x22，所以1x；當(dāng)<x<1時(shí)，f(x)x2，所以<x<1；當(dāng)x時(shí)，f(x)23x2，所以0x，綜上可得原不等式f(x)2的解集為.(2)由題意可知f(x)|2x1|在上恒成立，當(dāng)x時(shí)，f(x)|xm|2x1|xm|2x1|2x1|2x1，所以|xm|2，即2xm2，則2xm2x，且(2x)max，(2x)min0，因此m的取值范圍為.|xa|xb|c(或c)(c>0)，|xa|xb|c(或c)(c>0)型不等式的解法可通過(guò)零點(diǎn)分區(qū)間法或利用絕對(duì)值的幾何意義進(jìn)行求解(1)零點(diǎn)分區(qū)間法的一般步驟令每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的代數(shù)式為零，并求出相應(yīng)的根將這些根按從小到大排列，把實(shí)數(shù)集分為若干個(gè)區(qū)間由所分區(qū)間去掉絕對(duì)值符號(hào)得若干個(gè)不等式，解這些不等式，求出解集取各個(gè)不等式解集的并集就是原不等式的解集(2)利用絕對(duì)值的幾何意義由于|xa|xb|與|xa|xb|分別表示數(shù)軸上與x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到a，b對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和與距離之差，因此對(duì)形如|xa|xb|c(或c)(c>0)或|xa|xb|c(或c)(c>0)的不等式，利用絕對(duì)值的幾何意義求解更直觀 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2018·合肥第一次質(zhì)量檢測(cè))已知函數(shù)f(x)|2x1|.(1)解關(guān)于x的不等式f(x)f(x1)1；(2)若關(guān)于x的不等式f(x)<mf(x1)的解集不是空集，求m的取值范圍解：(1)f(x)f(x1)1|2x1|2x1|1，則或或解得x或x<，即x，所以原不等式的解集為.(2)由條件知，不等式|2x1|2x1|<m有解，則m>(|2x1|2x1|)min即可由于|2x1|2x1|12x|2x1|12x2x1|2，當(dāng)且僅當(dāng)(12x)(2x1)0，即x時(shí)等號(hào)成立，故m>2.所以m的取值范圍是(2，)不等式的證明(綜合型) 含有絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)|a|b|a±b|a|b|. 算術(shù)幾何平均不等式定理1：設(shè)a，bR，則a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立定理2：如果a，b為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立定理3：如果a，b，c為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立定理4：(一般形式的算術(shù)幾何平均不等式)如果a1，a2，an為n個(gè)正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時(shí)，等號(hào)成立 典型例題 (2018·長(zhǎng)春質(zhì)量檢測(cè)(一)設(shè)不等式|x1|x1|<2的解集為A.(1)求集合A；(2)若a，b，cA，求證：>1.【解】(1)由已知，令f(x)|x1|x1|由|f(x)|<2得1<x<1，即Ax|1<x<1(2)證明：要證>1，只需證|1abc|>|abc|，只需證1a2b2c2>a2b2c2，只需證1a2b2>c2(1a2b2)，只需證(1a2b2)(1c2)>0，由a，b，cA，得a2b2<1，c2<1，所以(1a2b2)(1c2)>0恒成立綜上，>1.證明不等式的方法和技巧(1)如果已知條件與待證明的結(jié)論直接聯(lián)系不明顯，可考慮用分析法；如果待證的命題以“至少”“至多”等方式給出或是否定性命題、唯一性命題，則考慮用反證法(2)在必要的情況下，可能還需要使用換元法、構(gòu)造法等技巧簡(jiǎn)化對(duì)問(wèn)題的表述和證明尤其是對(duì)含絕對(duì)值不等式的解法或證明，其簡(jiǎn)化的基本思路是化去絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的不等式(組)求解多以絕對(duì)值的幾何意義或“找零點(diǎn)、分區(qū)間、逐個(gè)解、并起來(lái)”為簡(jiǎn)化策略，而絕對(duì)值三角不等式，往往作為不等式放縮的依據(jù)對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2018·陜西教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(一)已知函數(shù)f(x)|2x1|x1|.(1)解不等式f(x)3；(2)記函數(shù)g(x)f(x)|x1|的值域?yàn)镸，若tM，證明t213t.解：(1)依題意，得f(x)所以f(x)3或或解得1x1，即不等式f(x)3的解集為x|1x1(2)證明：g(x)f(x)|x1|2x1|2x2|2x12x2|3，當(dāng)且僅當(dāng)(2x1)(2x2)0時(shí)取等號(hào)，所以M3，)t213t，因?yàn)閠M，所以t30，t21>0，所以0，所以t213t.含絕對(duì)值不等式的恒成立問(wèn)題(綜合型)典型例題 (2018·鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)f(x)|x3|，g(x)|2x1|.(1)解不等式f(x)<g(x)；(2)若2f(x)g(x)>ax4對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，求a的取值范圍【解】(1)由已知，可得|x3|<|2x1|，即|x3|2<|2x1|2，所以3x210x8>0，解得x<或x>4.故所求不等式的解集為(4，)(2)由已知，設(shè)h(x)2f(x)g(x)2|x3|2x1|當(dāng)x3時(shí)，只需4x5>ax4恒成立，即ax<4x9恒成立，因?yàn)閤3<0，所以a>4恒成立，所以a>，所以a>1；當(dāng)3<x<時(shí)，只需7>ax4恒成立，即ax3<0恒成立，只需所以所以1a6；當(dāng)x時(shí)，只需4x5>ax4恒成立，即ax<4x1恒成立因?yàn)閤>0，所以a<4恒成立因?yàn)?>4，且x時(shí)，44，所以a4.綜上，a的取值范圍是(1，4絕對(duì)值不等式的成立問(wèn)題的求解模型(1)分離參數(shù)：根據(jù)不等式將參數(shù)分離化為af(x)或af(x)形式(2)轉(zhuǎn)化最值：f(x)>a恒成立f(x)min>a；f(x)<a恒成立f(x)max<a；f(x)>a有解f(x)max>a；f(x)<a有解f(x)min<a；f(x)>a無(wú)解f(x)maxa；f(x)<a無(wú)解f(x)mina.(3)求最值：利用基本不等式或絕對(duì)值不等式求最值(4)得結(jié)論 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2018·高考全國(guó)卷)已知f(x)|x1|ax1|.(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)1的解集；(2)若x(0，1)時(shí)不等式f(x)x成立，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)|x1|x1|，即f(x)故不等式f(x)>1的解集為x|x>(2)當(dāng)x(0，1)時(shí)|x1|ax1|>x成立等價(jià)于當(dāng)x(0，1)時(shí)|ax1|<1成立若a0，則當(dāng)x(0，1)時(shí)|ax1|1；若a>0，|ax1|<1的解集為0<x<，所以1，故0<a2.綜上，a的取值范圍為(0，22(2018·洛陽(yáng)第一次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)|x12a|xa2|，aR，g(x)x22x4.(1)若f(2a21)>4|a1|，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若存在實(shí)數(shù)x，y，使f(x)g(y)0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)因?yàn)閒(2a21)>4|a1|，所以|2a22a|a21|>4|a1|，所以|a1|(2|a|a1|4)>0，所以|2a|a1|>4且a1.若a1，則2aa1>4，所以a<；若1<a<0，則2aa1>4，所以a<3，此時(shí)無(wú)解；若a0且a1，則2aa1>4，所以a>1.綜上所述，a的取值范圍為(1，)(2)因?yàn)間(x)(x1)25251，顯然可取等號(hào)，所以g(x)min1.于是，若存在實(shí)數(shù)x，y，使f(x)g(y)0，只需f(x)min1.又f(x)|x12a|xa2|(x12a)(xa2)|(a1)2，所以(a1)21，所以1a11，所以0a2，即a0，21(2018·高考全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)f(x)5|xa|x2|.(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)0的解集；(2)若f(x)1，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)可得f(x)0的解集為x|2x3(2)f(x)1等價(jià)于|xa|x2|4.而|xa|x2|a2|，且當(dāng)x2時(shí)等號(hào)成立故f(x)1等價(jià)于|a2|4.由|a2|4可得a6或a2.所以a的取值范圍是(，62，)2(2018·開(kāi)封模擬)已知函數(shù)f(x)|xm|，m<0.(1)當(dāng)m1時(shí)，求解不等式f(x)f(x)2x；(2)若不等式f(x)f(2x)<1的解集非空，求m的取值范圍解：(1)設(shè)F(x)|x1|x1|由F(x)G(x)解得x|x2或x0(2)f(x)f(2x)|xm|2xm|，m<0.設(shè)g(x)f(x)f(2x)，當(dāng)xm時(shí)，g(x)mxm2x2m3x，則g(x)m；當(dāng)m<x<時(shí)，g(x)xmm2xx，則<g(x)<m；當(dāng)x時(shí)，g(x)xm2xm3x2m，則g(x).則g(x)的值域?yàn)?，不等式f(x)f(2x)<1的解集非空，即1>，解得m>2，由于m<0，則m的取值范圍是(2，0)3(2018·石家莊質(zhì)量檢測(cè)(一)已知函數(shù)f(x)|ax1|(a2)x.(1)當(dāng)a3時(shí)，求不等式f(x)>0的解集；(2)若函數(shù)f(x)的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)當(dāng)a3時(shí)，不等式可化為|3x1|x>0，即|3x1|>x，所以3x1<x或3x1>x，即x<或x>，所以不等式f(x)>0的解集為.(2)當(dāng)a>0時(shí)，f(x)要使函數(shù)f(x)的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，只需即1a<2；當(dāng)a0時(shí)，f(x)2x1，函數(shù)f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)，不合題意；當(dāng)a<0時(shí)，f(x)要使函數(shù)f(x)的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，只需此時(shí)無(wú)解綜上可知，若函數(shù)f(x)的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為1，2)4(2018·高考全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)f(x)|2x1|x1|.(1)畫(huà)出yf(x)的圖象；(2)當(dāng)x0，)時(shí)，f(x)axb，求ab的最小值解：(1)f(x)yf(x)的圖象如圖所示(2)由(1)知，yf(x)的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，且各部分所在直線斜率的最大值為3，故當(dāng)且僅當(dāng)a3且b2時(shí)，f(x)axb在0，)成立，因此ab的最小值為5.5(2018·石家莊質(zhì)量檢測(cè)(二)已知函數(shù)f(x)|2xa|2x1|.(1)當(dāng)a1時(shí)，求f(x)2的解集；(2)若g(x)4x2ax3.當(dāng)a>1且x時(shí)，f(x)g(x)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x).當(dāng)x<時(shí)，f(x)2無(wú)解；當(dāng)x時(shí)，f(x)2的解集為；當(dāng)x>時(shí)，f(x)2無(wú)解綜上所述，f(x)2的解集為.(2)當(dāng)x時(shí)，f(x)(a2x)(2x1)a1，所以f(x)g(x)可化為a1g(x)又g(x)4x2ax3在上的最大值必為g、g之一，則，即，即a2.又a>1，所以1<a2，所以a的取值范圍為(1，26(2018·南昌模擬)已知函數(shù)f(x)|2x3a2|.(1)當(dāng)a0時(shí)，求不等式f(x)|x2|3的解集；(2)若對(duì)于任意函數(shù)x，不等式|2x1|f(x)<2a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)當(dāng)a0時(shí)，不等式可化為|2x|x2|3，得或或，解得x或x1，所以當(dāng)a0時(shí)，不等式f(x)|x2|3的解集為1，)(2)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式|2x1|f(x)<2a恒成立，即|2x1|2x3a2|<2a恒成立因?yàn)閨2x1|2x3a2|2x12x3a2|3a21|，所以要使原不等式恒成立，只需|3a21|<2a.當(dāng)a<0時(shí)，無(wú)解；當(dāng)0a時(shí)，13a2<2a，解得<a；當(dāng)a>時(shí)，3a21<2a，解得<a<1.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.7(2018·福州模擬)已知函數(shù)f(x)x2|x|1.(1)求不等式f(x)2x的解集；(2)若關(guān)于x的不等式f(x)在0，)上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)不等式f(x)2x等價(jià)于x2|x|2x10，當(dāng)x0時(shí)，式化為x23x10，解得x或0x；當(dāng)x<0時(shí)，式化為x2x10，解得x<0，綜上所述，不等式f(x)2x的解集為.(2)不等式f(x)在0，)上恒成立，等價(jià)于f(x)af(x)在0，)上恒成立，等價(jià)于x2x1ax2x1在0，)上恒成立，等價(jià)于x2x1ax2x1在0，)上恒成立，由x2x1(當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取等號(hào))，x2x1(當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取等號(hào))，所以a，綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.8(2018·武漢調(diào)研)已知函數(shù)f(x)x22，g(x)|xa|x1|，aR.(1)若a4，求不等式f(x)>g(x)的解集；(2)若對(duì)任意x1，x2R，不等式f(x1)g(x2)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)當(dāng)a4時(shí)，不等式f(x)>g(x)為x22>|x4|x1|，g(x)|x4|x1|當(dāng)x4時(shí)，x22>3恒成立，所以x4.當(dāng)1<x<4時(shí)，x22>2x5，即x22x3>0，得x>1或x<3，所以1<x<4.當(dāng)x1時(shí)，x22>3，則x>1或x<1，所以x<1.由可知不等式f(x)>g(x)的解集為x|x<1或x>1(2)當(dāng)a1時(shí)，g(x)所以g(x)的最大值為a1.要使f(x1)g(x2)，只需2a1，則a3，所以1a3.當(dāng)a<1時(shí)，g(x)所以g(x)的最大值為1a.要使f(x1)g(x2)，只需21a，則a1，所以1a<1.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是1，3.12