2019屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選考部分 坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案 理

坐標(biāo)系與參數(shù)方程第一節(jié)坐標(biāo)系1平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換：的作用下，點(diǎn)P(x，y)對應(yīng)到點(diǎn)P(x，y)，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換2極坐標(biāo)系的概念(1)極坐標(biāo)系如圖所示，在平面內(nèi)取一個定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)O引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標(biāo)系(2)極坐標(biāo)極徑：設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑，記為.極角：以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點(diǎn)M的極角，記為.極坐標(biāo)：有序數(shù)對(，)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記為M(，)一般不作特殊說明時，我們認(rèn)為0，可取任意實(shí)數(shù)3極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(，)，則它們之間的關(guān)系為：4簡單曲線的極坐標(biāo)方程曲線極坐標(biāo)方程圓心為極點(diǎn)，半徑為r的圓r(0<2)圓心為(r,0)，半徑為r的圓2rcos 圓心為，半徑為r的圓2rsin (0<)過極點(diǎn)，傾斜角為的直線(R)或(R)過點(diǎn)(a,0)，與極軸垂直的直線cos a過點(diǎn)，與極軸平行的直線sin a(0<<)1若點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(3，)，則點(diǎn)P的極坐標(biāo)為_解析：因為點(diǎn)P(3，)在第四象限，與原點(diǎn)的距離為2，且OP與x軸所成的角為，所以點(diǎn)P的極坐標(biāo)為.答案：2圓5cos 5sin 的圓心的極坐標(biāo)為_解析：將方程 5cos 5sin 兩邊都乘以，得25cos 5sin ，化成直角坐標(biāo)方程為x2y25x5y0.圓心坐標(biāo)為，化成極坐標(biāo)為.答案：(答案不唯一)3在極坐標(biāo)系中A，B兩點(diǎn)間的距離為_解析：法一：(數(shù)形結(jié)合)在極坐標(biāo)系中，A，B兩點(diǎn)如圖所示，|AB|OA|OB|6.法二：A，B的直角坐標(biāo)為A(1，)，B(2,2)|AB|6.答案：64在極坐標(biāo)系中，圓4sin 的圓心到直線(R)的距離是_解析：設(shè)圓心到直線(R)的距離為d，因為圓的半徑為2, d2·sin1.答案：1考什么·怎么考1求橢圓y21經(jīng)過伸縮變換后的曲線方程解：由得到將代入y21，得y21，即x2y21.因此橢圓y21經(jīng)伸縮變換后得到的曲線方程是x2y21.2求雙曲線C：x21經(jīng)過：變換后所得曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)解：設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x，y)，由上述可知，將代入x21，得1，化簡得1，即1為曲線C的方程，可見仍是雙曲線，則焦點(diǎn)(5,0)，(5,0)為所求3將圓x2y21變換為橢圓1的一個伸縮變換公式為：求a，b的值解：由得代入x2y21中得1，所以a29，b24，即a3，b2.怎樣快解·準(zhǔn)解伸縮變換公式應(yīng)用時的2個注意點(diǎn)(1)曲線的伸縮變換是通過曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)的伸縮變換實(shí)現(xiàn)的，解題時一定要區(qū)分變換前的點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)與變換后的點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)，再利用伸縮變換公式建立聯(lián)系(2)已知變換后的曲線方程f(x，y)0，一般都要改寫為方程f(x，y)0，再利用換元法確定伸縮變換公式極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化是解決極坐標(biāo)問題的基礎(chǔ)，是高考?？純?nèi)容之一，既有單獨(dú)考查，也有與參數(shù)方程等內(nèi)容的綜合考查，題型為解答題，難度適中.典題領(lǐng)悟在極坐標(biāo)系下，已知圓O：cos sin 和直線l：sin(0,02)(1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)(0，)時，求直線l與圓O的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)思維路徑(1)由cos sin 及公式可將等式兩邊同乘以，得2cos sin ，從而可化為直角坐標(biāo)方程將sin利用兩角差的正弦公式展開，可得sin cos 1，從而可化為直角坐標(biāo)方程(2)可先求出直線l與圓O的公共點(diǎn)，然后將該公共點(diǎn)化為極坐標(biāo)解：(1)圓O：cos sin ，即2cos sin ，故圓O的直角坐標(biāo)方程為x2y2xy0，直線l：sin，即sin cos 1，則直線l的直角坐標(biāo)方程為xy10.(2)由(1)知圓O與直線l的直角坐標(biāo)方程，將兩方程聯(lián)立得解得即圓O與直線l在直角坐標(biāo)系下的公共點(diǎn)為(0,1)，將(0,1)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)為即為所求解題師說1極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化方法(1)直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程：將公式xcos 及ysin 直接代入直角坐標(biāo)方程并化簡即可(2)極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程：通過變形，構(gòu)造出形如cos ，sin ，2的形式，再應(yīng)用公式進(jìn)行代換其中方程的兩邊同乘以(或同除以)及方程兩邊平方是常用的變形技巧2極角的確定方法由tan 確定角時，應(yīng)根據(jù)點(diǎn)P所在象限取最小正角在這里要注意：當(dāng)x0時，角才能由tan 按上述方法確定當(dāng)x0時，tan 沒有意義，這時可分三種情況處理：當(dāng)x0，y0時，可取任何值；當(dāng)x0，y>0時，可??；當(dāng)x0，y<0時，可取.沖關(guān)演練已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為2，22·cos2.(1)把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程解：(1)由2知24，所以圓O1的直角坐標(biāo)方程為x2y24.因為22cos2，所以222，所以圓O2的直角坐標(biāo)方程為x2y22x2y20.(2)將兩圓的直角坐標(biāo)方程相減，得經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線方程為xy1.化為極坐標(biāo)方程為cos sin 1，即sin.曲線極坐標(biāo)方程的應(yīng)用是每年高考的重點(diǎn)，主要涉及線段長度、平面圖形的面積以及最值等問題，難度適中.典題領(lǐng)悟(2017·全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為cos 4.(1)M為曲線C1上的動點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|16，求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，點(diǎn)B在曲線C2上，求OAB面積的最大值思維路徑(1)可先求點(diǎn)P在極坐標(biāo)系中的軌跡方程，然后再化為直角坐標(biāo)方程設(shè)P(，)，則M點(diǎn)的可設(shè)為(1，)，利用|OM|·|OP|16及相關(guān)點(diǎn)可求(2)由于點(diǎn)O和點(diǎn)A都是定點(diǎn)，故AOB面積的大小取決于B點(diǎn)的位置，可設(shè)B點(diǎn)的極坐標(biāo)為(B，)，然后利用面積公式S|OA|·B·sinAOB求解即可解：(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(，)(0)，M的極坐標(biāo)為(1，)(10)由題設(shè)知|OP|，|OM|1.由|OM|·|OP|16，得C2的極坐標(biāo)方程4cos (0)因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x2)2y24(x0)(2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(B，)(B0)，由題設(shè)知|OA|2，B4cos ，于是OAB的面積S|OA|·B·sinAOB4cos ·22.當(dāng)時，S取得最大值2.所以O(shè)AB面積的最大值為2.解題師說1方法要熟求簡單曲線的極坐標(biāo)方程的方法(1)設(shè)點(diǎn)M(，)為曲線上任意一點(diǎn)，由已知條件，構(gòu)造出三角形，利用三角函數(shù)及正、余弦定理求解|OM|與的關(guān)系(2)先求出曲線的直角坐標(biāo)方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的變換公式，把直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程2技巧要會用極坐標(biāo)系解決問題時要注意題目中的幾何關(guān)系，如果幾何關(guān)系不容易通過極坐標(biāo)表示時，可以先化為直角坐標(biāo)方程，將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題加以解決沖關(guān)演練(2015·全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x2，圓C2：(x1)2(y2)21，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程； (2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為(R)，設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M，N，求C2MN的面積解：(1)因為xcos ，ysin ，所以C1的極坐標(biāo)方程為cos 2，C2的極坐標(biāo)方程為22cos 4sin 40.(2)將代入22cos 4sin 40，得2340，解得12，2.故12，即|MN|.由于C2的半徑為1，所以C2MN的面積為.1在極坐標(biāo)系中，求直線cos1與圓4sin 的交點(diǎn)的極坐標(biāo)解：cos1化為直角坐標(biāo)方程為xy2，即yx2.4sin 可化為x2y24y，把yx2代入x2y24y，得4x28x120，即(x)20，所以x，y1.所以直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(，1)，化為極坐標(biāo)為.2在極坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過點(diǎn)P，圓心為直線sin與極軸的交點(diǎn)，求圓C的極坐標(biāo)方程解：在sin中，令0，得1，所以圓C的圓心坐標(biāo)為(1,0)因為圓C經(jīng)過點(diǎn)P，所以圓C的半徑|PC| 1，于是圓C過極點(diǎn)，所以圓C的極坐標(biāo)方程為2cos .3設(shè)M，N分別是曲線2sin 0和sin上的動點(diǎn)，求M，N的最小距離解：因為M，N分別是曲線2sin 0和sin上的動點(diǎn)，即M，N分別是圓x2y22y0和直線xy10上的動點(diǎn)，要求M，N兩點(diǎn)間的最小距離，即在直線xy10上找一點(diǎn)到圓x2y22y0的距離最小，即圓心(0，1)到直線xy10的距離減去半徑，故最小值為11.4(2016·全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a>0)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：4cos .(1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)直線C3的極坐標(biāo)方程為0，其中0滿足tan 02，若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a.解：(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程為x2(y1)2a2，則C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓將xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標(biāo)方程為22sin 1a20.(2)曲線C1，C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組若0，由方程組得16cos28sin cos 1a20，由已知tan 2，可得16cos28sin cos 0，從而1a20，解得a1(舍去)或a1.當(dāng)a1時，極點(diǎn)也為C1，C2的公共點(diǎn)，且在C3上所以a1.5(2018·洛陽模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2(y2)24.以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；(2)直線l的極坐標(biāo)方程是2sin5，射 線OM：與圓C的交點(diǎn)為O，P，與直線l的交點(diǎn)為Q，求線段PQ的長解：(1)將xcos ，ysin 代入x2(y2)24，得圓C的極坐標(biāo)方程為4sin .(2)設(shè)P(1，1)，則由解得12，1.設(shè)Q(2，2)，則由解得25，2.所以|PQ|213.6在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系曲線C的極坐標(biāo)方程為cos1，M，N分別為C與x軸，y軸的交點(diǎn)(1)求C的直角坐標(biāo)方程，并求M，N的極坐標(biāo)；(2)設(shè)MN的中點(diǎn)為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程解：(1)由cos1得1.從而C的直角坐標(biāo)方程為xy1，即xy2.當(dāng)0時，2，所以M(2,0)當(dāng)時，所以N.(2)由(1)知M點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2,0)，N點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.所以P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，則P點(diǎn)的極坐標(biāo)為，所以直線OP的極坐標(biāo)方程為(R)7(2018·福建質(zhì)檢)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的普通方程為(x2)2y24，在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：2sin ，曲線C3：(>0)，A(2,0)(1)把C1的普通方程化為極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)C3分別交C1，C2于點(diǎn)P，Q，求APQ的面積解：(1)因為C1的普通方程為(x2)2y24，即x2y24x0，所以C1的極坐標(biāo)方程為24cos 0，即4cos .(2)依題意，設(shè)點(diǎn)P，Q的極坐標(biāo)分別為，.將代入4cos ，得12，將代入2sin ，得21，所以|PQ|12|21.依題意，點(diǎn)A(2,0)到曲線(>0)的距離d|OA|sin 1，所以SAPQ|PQ|·d×(21)×1.8(2018·貴州適應(yīng)性考試)在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C1的極坐標(biāo)方程為4cos ，曲線C2的極坐標(biāo)方程為cos2sin .(1)求曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)過原點(diǎn)且傾斜角為的射線l與曲線C1，C2分別相交于A，B兩點(diǎn)(A，B異于原點(diǎn))，求|OA|·|OB|的取值范圍解：(1)由曲線C2的極坐標(biāo)方程為cos2sin ，兩邊同乘以，得2cos2sin ，故曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2y.(2)射線l的極坐標(biāo)方程為，把射線l的極坐標(biāo)方程代入曲線C1的極坐標(biāo)方程得|OA|4cos ，把射線l的極坐標(biāo)方程代入曲線C2的極坐標(biāo)方程得|OB|，|OA|·|OB|4cos ·4tan .，|OA|·|OB|的取值范圍是.第二節(jié)參數(shù)方程1參數(shù)方程一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個變數(shù)t的函數(shù)：并且對于t的每一個允許值，由方程組所確定的點(diǎn)M(x，y)都在這條曲線上，那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)相對于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程2直線、圓、橢圓的參數(shù)方程(1)過點(diǎn)M(x0，y0)，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(2)圓心在點(diǎn)M0(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))(3)橢圓1(ab0)的參數(shù)方程為 (為參數(shù))(4)雙曲線1(a>0，b>0)的參數(shù)方程為 (為參數(shù))1在平面直角坐標(biāo)系中，若曲線C的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，則其普通方程為_解析：依題意，消去參數(shù)可得x2y1，即xy10.答案：xy102橢圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，過左焦點(diǎn)F1的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|min_.解析：由(為參數(shù))得，1，當(dāng)ABx軸時，|AB|有最小值所以|AB|min2×.答案：3曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，則曲線C的普通方程為_解析：由(為參數(shù))消去參數(shù)，得y22x2(1x1)答案：y22x2(1x1)4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，橢圓C的方程為x21，設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的長為_解析：將直線l的參數(shù)方程代入x21，得21，即7t216t0，解得t10，t2，所以|AB|t1t2|.答案：考什么·怎么考參數(shù)方程與普通方程的互化是每年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，常與極坐標(biāo)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系綜合考查，屬于基礎(chǔ)題1將下列參數(shù)方程化為普通方程(1)(t為參數(shù))；(2)(為參數(shù))解：(1)221，x2y21.t210，t1或t1.又x，x0.當(dāng)t1時，0<x1，當(dāng)t1時，1x<0，所求普通方程為x2y21，其中或(2)y1cos 2112sin22sin2，sin2x2，y2x4，2xy40.0sin21，0x21，2x3，所求的普通方程為2xy40(2x3)2.如圖，以過原點(diǎn)的直線的傾斜角為參數(shù)，求圓x2y2x0的參數(shù)方程解：圓的半徑為，記圓心為C，連接CP，則PCx2，故xPcos 2cos2，yPsin 2sin cos (為參數(shù))所以圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))3求直線(t為參數(shù))與曲線(為參數(shù))的交點(diǎn)個數(shù)解：將消去參數(shù)t得直線xy10；將消去參數(shù)，得圓x2y29.又圓心(0,0)到直線xy10的距離d3.因此直線與圓相交，故直線與曲線有2個交點(diǎn)怎樣快解·準(zhǔn)解將參數(shù)方程化為普通方程的方法將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒ǔＲ姷南麉⒎椒ㄓ校捍胂麉⒎ā⒓訙p消參法、平方消參法等，對于含三角函數(shù)的參數(shù)方程，常利用同角三角函數(shù)關(guān)系式消參如sin2cos21等注意將參數(shù)方程化為普通方程時，要注意兩種方程的等價性，不要增解，如第1題參數(shù)方程的應(yīng)用是每年高考的熱點(diǎn)，主要涉及直線與圓、圓錐曲線的參數(shù)方程以及直線與圓、圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，難度適中，屬于中檔題.典題領(lǐng)悟(2017·全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(1)若a1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為，求a.解：(1)曲線C的普通方程為y21.當(dāng)a1時，直線l的普通方程為x4y30，由解得或從而C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，.(2)直線l的普通方程為x4ya40，故C上的點(diǎn)(3cos ，sin )到l的距離為d.當(dāng)a4時，d的最大值為 .由題設(shè)得，解得a8；當(dāng)a4時，d的最大值為.由題設(shè)得，解得a16.綜上，a8或a16.解題師說1方法要熟(1)解決直線與圓、圓錐曲線的參數(shù)方程的應(yīng)用問題時，一般是先化為普通方程，再根據(jù)直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系來解決問題(2)對于形如(t為參數(shù))的參數(shù)方程，當(dāng)a2b21時，應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)形式后才能利用t的幾何意義解題(3)直線參數(shù)方程的應(yīng)用：直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程主要用來解決過定點(diǎn)的直線與圓錐曲線相交時的弦長或距離問題它可以避免求交點(diǎn)時解方程組的繁瑣運(yùn)算，但應(yīng)用直線的參數(shù)方程時，需先判斷是否是標(biāo)準(zhǔn)形式再考慮參數(shù)的幾何意義(4)圓、圓錐曲線的參數(shù)方程突出了其工具性作用，應(yīng)用時，把圓、圓錐曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為參數(shù)方程的形式，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，利用三角函數(shù)知識解決問題2結(jié)論要記根據(jù)直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式中t的幾何意義，有如下常用結(jié)論：過定點(diǎn)M0的直線與圓錐曲線相交，交點(diǎn)為M1，M2，所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2.(1)弦長l|t1t2|；(2)弦M1M2的中點(diǎn)t1t20；(3)|M0M1|M0M2|t1t2|.沖關(guān)演練1(2018·湖南五市十校聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與曲線C： (為參數(shù))相交于不同的兩點(diǎn)A，B.(1)若，求線段AB的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(2)若直線l的斜率為2，且過已知點(diǎn)P(3,0)，求|PA|·|PB|的值解：(1)由曲線C： (為參數(shù))，可得曲線C的普通方程是x2y21.當(dāng)時，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，代入曲線C的普通方程，得t26t160，得t1t26，所以線段AB的中點(diǎn)對應(yīng)的t3，故線段AB的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.(2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，化簡得(cos2sin2)t26cos t80，則|PA|·|PB|t1t2|，由已知得tan 2，故|PA|·|PB|.2(2018·石家莊質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為cos.(1)求圓C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線l與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是圓C上任意一點(diǎn)，求A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)和PAB面積的最小值解：(1)由消去參數(shù)t，得(x5)2(y3)22，所以圓C的普通方程為(x5)2(y3)22.由cos，得cos sin 2，所以直線l的直角坐標(biāo)方程為xy20.(2)直線l與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為A(2,0)，B(0,2)，化為極坐標(biāo)為A(2，)，B，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5cos t,3sin t)，則點(diǎn)P到直線l的距離為d.所以dmin2，又|AB|2.所以PAB面積的最小值是S×2×24.極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用是每年的必考內(nèi)容，主要涉及極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化及應(yīng)用、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化及應(yīng)用，難度適中.典題領(lǐng)悟在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系已知點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))(1)寫出點(diǎn)P的直角坐標(biāo)及曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)若Q為曲線C上的動點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線l：cos 2sin 10距離的最小值解：(1)由xcos ，ysin ，可得點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(3，)，由得x2(y)24，曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2(y)24.(2)直線l的普通方程為x2y10，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，設(shè)Q(2cos ，2sin )，則M，故點(diǎn)M到直線l的距離d1，點(diǎn)M到直線l的距離的最小值為1.解題師說處理極坐標(biāo)、參數(shù)方程綜合問題的方法(1)涉及參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解當(dāng)然，還要結(jié)合題目本身特點(diǎn)，確定選擇何種方程(2)數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，或者利用和的幾何意義，直接求解，能達(dá)到化繁為簡的解題目的沖關(guān)演練1(2017·全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù))設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P，當(dāng)k變化時，P的軌跡為曲線C.(1)寫出C的普通方程；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：(cos sin )0，M為l3與C的交點(diǎn)，求M的極徑解：(1)消去參數(shù)t，得l1的普通方程l1：yk(x2)，消去參數(shù)m，得l2的普通方程l2：y(x2)設(shè)P(x，y)，由題設(shè)得消去k得x2y24(y0)所以C的普通方程為x2y24(y0)(2)C的極坐標(biāo)方程為2(cos2sin2)4(02，)聯(lián)立得cos sin 2(cos sin )故tan ，從而cos2，sin2.代入2(cos2sin2)4得25，所以交點(diǎn)M的極徑為.2(2018·武昌調(diào)研)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a>0)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為cos2.(1)設(shè)P是曲線C上的一個動點(diǎn)，當(dāng)a2時，求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值；(2)若曲線C上的所有點(diǎn)均在直線l的右下方，求a的取值范圍解：(1)由cos2，得(cos sin )2，化成直角坐標(biāo)方程，得(xy)2，即直線l的方程為xy40.依題意，設(shè)P(2cos t,2sin t)，則點(diǎn)P到直線l的距離d22cos.當(dāng)cos1時，dmin22.故點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為22.(2)曲線C上的所有點(diǎn)均在直線l的右下方，對tR，有acos t2sin t4>0恒成立，即cos(t)>4恒成立，<4，又a>0，0<a<2.故a的取值范圍為(0,2)1已知P為半圓C：(為參數(shù)，0)上的點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M在射線OP上，線段OM與C的弧AP的長度均為.(1)以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，求點(diǎn)M的極坐標(biāo)；(2)求直線AM的參數(shù)方程解：(1)由已知，點(diǎn)M的極角為，且點(diǎn)M的極徑等于，故點(diǎn)M的極坐標(biāo)為.(2)由(1)知點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為，A(1,0)故直線AM的參數(shù)方程為(t為參數(shù))2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1過點(diǎn)P(a,1)，其參數(shù)方程為(t為參數(shù)，aR)以O(shè)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為cos24cos 0.(1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)已知曲線C1與曲線C2交于A，B兩點(diǎn)，且|PA|2|PB|，求實(shí)數(shù)a的值解：(1)曲線C1的參數(shù)方程為其普通方程為xya10.曲線C2的極坐標(biāo)方程為cos24cos 0，2cos24cos 20，x24xx2y20，即曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y24x.(2)設(shè)A，B兩點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，將曲線C1的參數(shù)方程代入曲線C2的直角坐標(biāo)方程，化簡得2t22t14a0.(2)24×2(14a)>0，即a>0，t1t2，t1·t2.根據(jù)參數(shù)方程的幾何意義可知|PA|2|t1|，|PB|2|t2|，又|PA|2|PB|可得2|t1|2×2|t2|，即t12t2或t12t2.當(dāng)t12t2時，有解得a，符合題意當(dāng)t12t2時，有解得a，符合題意綜上，實(shí)數(shù)a或a.3(2018·貴陽模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為2sin .(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；(2)若A，B分別為曲線C1，C2上的動點(diǎn)，求當(dāng)AB取最小值時AOB的面積解：(1)由(t為參數(shù))得C1的普通方程為(x4)2(y5)29，由2sin ，得22sin ，將x2y22，ysin 代入上式，得C2的直角坐標(biāo)方程為x2(y1)21.(2)如圖，當(dāng)A，B，C1，C2四點(diǎn)共線，且A，B在線段C1C2上時，|AB|取得最小值，由(1)得C1(4,5)，C2(0,1)，則kC1C21，直線C1C2的方程為xy10，點(diǎn)O到直線C1C2的距離d，又|AB|C1C2|13444，SAOBd|AB|××(44)2.4(2018·廣州綜合測試)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C：2cos.(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)求曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值解：(1)由(t為參數(shù))消去t得xy40，所以直線l的普通方程為xy40.由2cos22cos 2sin ，得22cos 2sin .將2x2y2，cos x，sin y代入上式，得x2y22x2y，即(x1)2(y1)22.所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x1)2(y1)22.(2)法一：設(shè)曲線C上的點(diǎn)P(1cos ，1sin )，則點(diǎn)P到直線l的距離d.當(dāng)sin1時，dmax2.所以曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值為2.法二：設(shè)與直線l平行的直線l：xyb0，當(dāng)直線l與圓C相切時，解得b0或b4(舍去)，所以直線l的方程為xy0.因為直線l與直線l的距離d2.所以曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值為2.5在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：(t為參數(shù)，t0)，其中0.在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：2sin ，C3：2cos .(1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(2)若C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B，求|AB|的最大值解：(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2y22y0，曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2y22x0.聯(lián)立解得或所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0)和.(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為(R，0)，其中0.因此A的極坐標(biāo)為(2sin ，)，B的極坐標(biāo)為(2cos ，)所以|AB|2sin 2cos |4.當(dāng)時，|AB|取得最大值，最大值為4.6已知直線L的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線L的極坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)過曲線C上任意一點(diǎn)P作與直線L夾角為的直線l，設(shè)直線l與直線L的交點(diǎn)為A，求|PA|的最大值解：(1)由(t為參數(shù))，得L的普通方程為2xy60，令xcos ，ysin ，得直線L的極坐標(biāo)方程為2cos sin 60，由曲線C的極坐標(biāo)方程，知232cos24，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x21.(2)由(1)，知直線L的普通方程為2xy60，設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(cos ，2sin )，則點(diǎn)P到直線L的距離d.由題意得|PA|，所以當(dāng)sin1時，|PA|取得最大值，最大值為.7(2018·石家莊一模)在平面直角坐標(biāo)系中，將曲線C1上的每一個點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)縮短為原來的，得到曲線C2.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為2.(1)求曲線C2的參數(shù)方程；(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)O且關(guān)于y軸對稱的兩條直線l1與l2分別交曲線C2于A，C和B，D，且點(diǎn)A在第一象限，當(dāng)四邊形ABCD的周長最大時，求直線l1的普通方程解：(1)由2，得24，所以曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x2y24.故由題意可得曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y21.所以曲線C2的參數(shù)方程為(為參數(shù))(2)設(shè)四邊形ABCD的周長為l，點(diǎn)A(2cos ，sin )，則l8cos 4sin 4sin()，所以當(dāng)2k(kZ)時，l取得最大值，最大值為4，此時2k(kZ)，所以2cos 2sin ，sin cos ，此時A.所以直線l1的普通方程為x4y0.8(2018·成都診斷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，過極點(diǎn)O的射線與曲線C相交于不同于極點(diǎn)的點(diǎn)A，且點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(2，)，其中.(1)求的值；(2)若射線OA與直線l相交于點(diǎn)B，求|AB|的值解：(1)由題意知，曲線C的普通方程為x2(y2)24，xcos ，ysin ，曲線C的極坐標(biāo)方程為(cos )2(sin 2)24，即4sin .由2，得sin ，.(2)易知直線l的普通方程為xy40，直線l的極坐標(biāo)方程為cos sin 40.又射線OA的極坐標(biāo)方程為(0)，聯(lián)立解得4.點(diǎn)B的極坐標(biāo)為，|AB|BA|422.23