2019屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選考部分 坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案 理

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1、坐標(biāo)系與參數(shù)方程第一節(jié)坐標(biāo)系1平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換：的作用下，點(diǎn)P(x，y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P(x，y)，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱伸縮變換2極坐標(biāo)系的概念(1)極坐標(biāo)系如圖所示，在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)O引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较?，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系(2)極坐標(biāo)極徑：設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑，記為.極角：以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點(diǎn)M的極角，記為.極坐標(biāo)：有序數(shù)對(duì)(，)叫做點(diǎn)M

2、的極坐標(biāo)，記為M(，)一般不作特殊說(shuō)明時(shí)，我們認(rèn)為0，可取任意實(shí)數(shù)3極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(，)，則它們之間的關(guān)系為：4簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程曲線極坐標(biāo)方程圓心為極點(diǎn)，半徑為r的圓r(02)圓心為(r,0)，半徑為r的圓2rcos 圓心為，半徑為r的圓2rsin (0)過(guò)極點(diǎn)，傾斜角為的直線(R)或(R)過(guò)點(diǎn)(a,0)，與極軸垂直的直線cos a過(guò)點(diǎn)，與極軸平行的直線sin a(00時(shí)，可取；當(dāng)x0，y0)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：4cos .(1)說(shuō)明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)

3、直線C3的極坐標(biāo)方程為0，其中0滿足tan 02，若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a.解：(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程為x2(y1)2a2，則C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓將xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標(biāo)方程為22sin 1a20.(2)曲線C1，C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組若0，由方程組得16cos28sin cos 1a20，由已知tan 2，可得16cos28sin cos 0，從而1a20，解得a1(舍去)或a1.當(dāng)a1時(shí)，極點(diǎn)也為C1，C2的公共點(diǎn)，且在C3上所以a1.5(2018洛陽(yáng)模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2(y

4、2)24.以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；(2)直線l的極坐標(biāo)方程是2sin5，射 線OM：與圓C的交點(diǎn)為O，P，與直線l的交點(diǎn)為Q，求線段PQ的長(zhǎng)解：(1)將xcos ，ysin 代入x2(y2)24，得圓C的極坐標(biāo)方程為4sin .(2)設(shè)P(1，1)，則由解得12，1.設(shè)Q(2，2)，則由解得25，2.所以|PQ|213.6在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系曲線C的極坐標(biāo)方程為cos1，M，N分別為C與x軸，y軸的交點(diǎn)(1)求C的直角坐標(biāo)方程，并求M，N的極坐標(biāo)；(2)設(shè)MN的中點(diǎn)為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程解：(1)由c

5、os1得1.從而C的直角坐標(biāo)方程為xy1，即xy2.當(dāng)0時(shí)，2，所以M(2,0)當(dāng)時(shí)，所以N.(2)由(1)知M點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2,0)，N點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.所以P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，則P點(diǎn)的極坐標(biāo)為，所以直線OP的極坐標(biāo)方程為(R)7(2018福建質(zhì)檢)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的普通方程為(x2)2y24，在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：2sin ，曲線C3：(0)，A(2,0)(1)把C1的普通方程化為極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)C3分別交C1，C2于點(diǎn)P，Q，求APQ的面積解：(1)因?yàn)镃1的普通方程為(x2)2y24，即x2y24x0，所以C1的極坐標(biāo)方程為24c

6、os 0，即4cos .(2)依題意，設(shè)點(diǎn)P，Q的極坐標(biāo)分別為，.將代入4cos ，得12，將代入2sin ，得21，所以|PQ|12|21.依題意，點(diǎn)A(2,0)到曲線(0)的距離d|OA|sin 1，所以SAPQ|PQ|d(21)1.8(2018貴州適應(yīng)性考試)在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C1的極坐標(biāo)方程為4cos ，曲線C2的極坐標(biāo)方程為cos2sin .(1)求曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為的射線l與曲線C1，C2分別相交于A，B兩點(diǎn)(A，B異于原點(diǎn))，求|OA|OB|的取值范圍解：(1)由曲線C2的極坐標(biāo)方程為cos2sin ，兩邊同乘以，

7、得2cos2sin ，故曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2y.(2)射線l的極坐標(biāo)方程為，把射線l的極坐標(biāo)方程代入曲線C1的極坐標(biāo)方程得|OA|4cos ，把射線l的極坐標(biāo)方程代入曲線C2的極坐標(biāo)方程得|OB|，|OA|OB|4cos 4tan .，|OA|OB|的取值范圍是.第二節(jié)參數(shù)方程1參數(shù)方程一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)：并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn)M(x，y)都在這條曲線上，那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程2直線、圓、橢圓的參數(shù)方程(1)

8、過(guò)點(diǎn)M(x0，y0)，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(2)圓心在點(diǎn)M0(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))(3)橢圓1(ab0)的參數(shù)方程為 (為參數(shù))(4)雙曲線1(a0，b0)的參數(shù)方程為 (為參數(shù))1在平面直角坐標(biāo)系中，若曲線C的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，則其普通方程為_解析：依題意，消去參數(shù)可得x2y1，即xy10.答案：xy102橢圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，過(guò)左焦點(diǎn)F1的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|min_.解析：由(為參數(shù))得，1，當(dāng)ABx軸時(shí)，|AB|有最小值所以|AB|min2.答案：3曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，則曲線C的普通方程為_解析

9、：由(為參數(shù))消去參數(shù)，得y22x2(1x1)答案：y22x2(1x1)4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，橢圓C的方程為x21，設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)為_解析：將直線l的參數(shù)方程代入x21，得21，即7t216t0，解得t10，t2，所以|AB|t1t2|.答案：考什么怎么考參數(shù)方程與普通方程的互化是每年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，常與極坐標(biāo)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系綜合考查，屬于基礎(chǔ)題1將下列參數(shù)方程化為普通方程(1)(t為參數(shù))；(2)(為參數(shù))解：(1)221，x2y21.t210，t1或t1.又x，x0.當(dāng)t1時(shí)，0x1，當(dāng)t1時(shí)，1x0)以

10、坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為cos2.(1)設(shè)P是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)a2時(shí)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值；(2)若曲線C上的所有點(diǎn)均在直線l的右下方，求a的取值范圍解：(1)由cos2，得(cos sin )2，化成直角坐標(biāo)方程，得(xy)2，即直線l的方程為xy40.依題意，設(shè)P(2cos t,2sin t)，則點(diǎn)P到直線l的距離d22cos.當(dāng)cos1時(shí)，dmin22.故點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為22.(2)曲線C上的所有點(diǎn)均在直線l的右下方，對(duì)tR，有acos t2sin t40恒成立，即cos(t)4恒成立，0，0a0，即a0，t1t2

11、，t1t2.根據(jù)參數(shù)方程的幾何意義可知|PA|2|t1|，|PB|2|t2|，又|PA|2|PB|可得2|t1|22|t2|，即t12t2或t12t2.當(dāng)t12t2時(shí)，有解得a，符合題意當(dāng)t12t2時(shí)，有解得a，符合題意綜上，實(shí)數(shù)a或a.3(2018貴陽(yáng)模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為2sin .(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；(2)若A，B分別為曲線C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)AB取最小值時(shí)AOB的面積解：(1)由(t為參數(shù))得C1的普通方程為(x4)2(y5)29，由2s

12、in ，得22sin ，將x2y22，ysin 代入上式，得C2的直角坐標(biāo)方程為x2(y1)21.(2)如圖，當(dāng)A，B，C1，C2四點(diǎn)共線，且A，B在線段C1C2上時(shí)，|AB|取得最小值，由(1)得C1(4,5)，C2(0,1)，則kC1C21，直線C1C2的方程為xy10，點(diǎn)O到直線C1C2的距離d，又|AB|C1C2|13444，SAOBd|AB|(44)2.4(2018廣州綜合測(cè)試)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C：2cos.(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)求曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最

13、大值解：(1)由(t為參數(shù))消去t得xy40，所以直線l的普通方程為xy40.由2cos22cos 2sin ，得22cos 2sin .將2x2y2，cos x，sin y代入上式，得x2y22x2y，即(x1)2(y1)22.所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x1)2(y1)22.(2)法一：設(shè)曲線C上的點(diǎn)P(1cos ，1sin )，則點(diǎn)P到直線l的距離d.當(dāng)sin1時(shí)，dmax2.所以曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值為2.法二：設(shè)與直線l平行的直線l：xyb0，當(dāng)直線l與圓C相切時(shí)，解得b0或b4(舍去)，所以直線l的方程為xy0.因?yàn)橹本€l與直線l的距離d2.所以曲線C上的點(diǎn)到直線l的距

14、離的最大值為2.5在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：(t為參數(shù)，t0)，其中0.在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：2sin ，C3：2cos .(1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(2)若C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B，求|AB|的最大值解：(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2y22y0，曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2y22x0.聯(lián)立解得或所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0)和.(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為(R，0)，其中0.因此A的極坐標(biāo)為(2sin ，)，B的極坐標(biāo)為(2cos ，)所以|AB|2sin 2cos |4.當(dāng)時(shí)，|AB|取得最大值，最大值為4.6已

15、知直線L的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線L的極坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)過(guò)曲線C上任意一點(diǎn)P作與直線L夾角為的直線l，設(shè)直線l與直線L的交點(diǎn)為A，求|PA|的最大值解：(1)由(t為參數(shù))，得L的普通方程為2xy60，令xcos ，ysin ，得直線L的極坐標(biāo)方程為2cos sin 60，由曲線C的極坐標(biāo)方程，知232cos24，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x21.(2)由(1)，知直線L的普通方程為2xy60，設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(cos ，2sin )，則點(diǎn)P到直線L的距離d.由題意得|PA|，所以當(dāng)s

16、in1時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為.7(2018石家莊一模)在平面直角坐標(biāo)系中，將曲線C1上的每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，得到曲線C2.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為2.(1)求曲線C2的參數(shù)方程；(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O且關(guān)于y軸對(duì)稱的兩條直線l1與l2分別交曲線C2于A，C和B，D，且點(diǎn)A在第一象限，當(dāng)四邊形ABCD的周長(zhǎng)最大時(shí)，求直線l1的普通方程解：(1)由2，得24，所以曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x2y24.故由題意可得曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y21.所以曲線C2的參數(shù)方程為(為參數(shù))(2)設(shè)四邊形ABCD的周長(zhǎng)為l，點(diǎn)

17、A(2cos ，sin )，則l8cos 4sin 4sin()，所以當(dāng)2k(kZ)時(shí)，l取得最大值，最大值為4，此時(shí)2k(kZ)，所以2cos 2sin ，sin cos ，此時(shí)A.所以直線l1的普通方程為x4y0.8(2018成都診斷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，過(guò)極點(diǎn)O的射線與曲線C相交于不同于極點(diǎn)的點(diǎn)A，且點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(2，)，其中.(1)求的值；(2)若射線OA與直線l相交于點(diǎn)B，求|AB|的值解：(1)由題意知，曲線C的普通方程為x2(y2)24，xcos ，ysin ，曲線C的極坐標(biāo)方程為(cos )2(sin 2)24，即4sin .由2，得sin ，.(2)易知直線l的普通方程為xy40，直線l的極坐標(biāo)方程為cos sin 40.又射線OA的極坐標(biāo)方程為(0)，聯(lián)立解得4.點(diǎn)B的極坐標(biāo)為，|AB|BA|422.23