2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 突破熱點(diǎn) 分層教學(xué) 專項(xiàng)二 專題七 1 第1講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案

第1講坐標(biāo)系與參數(shù)方程年份卷別考查內(nèi)容及考題位置命題分析2018卷極坐標(biāo)及其應(yīng)用·T221.坐標(biāo)系與參數(shù)方程是高考的選考內(nèi)容之一，高考考查的重點(diǎn)主要有兩個(gè)方面：一是簡單曲線的極坐標(biāo)方程；二是參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與曲線的綜合應(yīng)用2全國課標(biāo)卷對(duì)此部分內(nèi)容的考查以解答題形式出現(xiàn)，難度中等，備考此部分內(nèi)容時(shí)應(yīng)注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.卷參數(shù)方程及其應(yīng)用·T22卷參數(shù)方程及其應(yīng)用·T222017卷參數(shù)方程與普通方程的互化、點(diǎn)到直線的距離·T22卷直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化、動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法、三角形面積的最值問題·T22卷直線的參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程、動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法·T222016卷參數(shù)方程與普通方程的互化、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化及應(yīng)用·T23卷極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化及應(yīng)用、直線與圓的位置關(guān)系·T23卷參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程及點(diǎn)到直線的距離、三角函數(shù)的最值·T23極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用(綜合型) 圓的極坐標(biāo)方程若圓心為M(0，0)，半徑為r，則圓的方程為：220cos(0)r20.幾個(gè)特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程：(1)當(dāng)圓心位于極點(diǎn)，半徑為r：r；(2)當(dāng)圓心位于M(a，0)，半徑為a：2acos ；(3)當(dāng)圓心位于M，半徑為a：2asin . 直線的極坐標(biāo)方程若直線過點(diǎn)M(0，0)，且極軸與此直線所成的角為，則它的方程為：sin()0sin(0)幾個(gè)特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程：(1)直線過極點(diǎn)：0和0；(2)直線過點(diǎn)M(a，0)且垂直于極軸：cos a；(3)直線過點(diǎn)M且平行于極軸：sin b. 典型例題 (2018·南昌模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求C的極坐標(biāo)方程；(2)若直線l1，l2的極坐標(biāo)方程分別為(R)，(R)，設(shè)直線l1，l2與曲線C的交點(diǎn)為O，M，N，求OMN的面積【解】(1)由參數(shù)方程(為參數(shù))，得普通方程為x2(y2)24，所以C的極坐標(biāo)方程為2cos22sin24sin 0，即4sin .(2)不妨設(shè)直線l1：(R)與曲線C的交點(diǎn)為O，M，則M|OM|4sin2.又直線l2：(R)與曲線C的交點(diǎn)為O，N，則N|ON|4sin2.又MON，所以SOMN|OM|ON|×2×22.(1)極坐標(biāo)方程與普通方程互化的技巧巧用極坐標(biāo)方程兩邊同乘以或同時(shí)平方技巧，將極坐標(biāo)方程構(gòu)造成含有cos ，sin ，2的形成，然后利用公式代入化簡得到普通方程巧借兩角和差公式，轉(zhuǎn)化sin(±)或cos(±)的結(jié)構(gòu)形式，進(jìn)而利用互化公式得到普通方程將直角坐標(biāo)方程中的x換成cos ，將y換成sin ，即可得到其極坐標(biāo)方程(2)求解與極坐標(biāo)有關(guān)問題的主要方法直接利用極坐標(biāo)系求解，可與數(shù)形結(jié)合思想配合使用轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系，用直角坐標(biāo)求解若結(jié)果要求的是極坐標(biāo)，還應(yīng)將直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為cos1，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點(diǎn)(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程，并求M，N的極坐極；(2)設(shè)M，N的中點(diǎn)為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程解：(1)因?yàn)閏os1，所以cos ·cossin ·sin1.又所以xy1，即曲線C的直角坐標(biāo)方程為xy20，令y0，則x2；令x0，則y.所以M(2，0)，N.所以M的極坐標(biāo)為(2，0)，N的極坐標(biāo)為.(2)因?yàn)镸，N連線的中點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為，所以P的極角為，所以直線OP的極坐標(biāo)方程為(R)2(2018·高考全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為yk|x|2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為22cos 30.(1)求C2的直角坐標(biāo)方程；(2)若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求C1的方程解：(1)由xcos ，ysin 得C2的直角坐標(biāo)方程為(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圓心為A(1，0)，半徑為2的圓由題設(shè)知，C1是過點(diǎn)B(0，2)且關(guān)于y軸對(duì)稱的兩條射線記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2.由于B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)，或l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A到l1所在直線的距離為2，所以2，故k或k0.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k0時(shí)，l1與C2沒有公共點(diǎn)；當(dāng)k時(shí)，l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A到l2所在直線的距離為2，所以2，故k0或k.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k0時(shí)，l1與 C2沒有公共點(diǎn)；當(dāng)k時(shí)，l2與C2沒有公共點(diǎn)綜上，所求C1的方程為y|x|2.參數(shù)方程及其應(yīng)用(綜合型)直線和圓錐曲線的參數(shù)方程和普通方程點(diǎn)的軌跡普通方程參數(shù)方程直線yy0tan (xx0)(t為參數(shù))圓(xx0)2(yy0)2r2(為參數(shù))橢圓1(a>b>0)(為參數(shù))雙曲線1(a>0，b>0)(為參數(shù))拋物線y22px(t為參數(shù))典型例題 (2018·武漢調(diào)研)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)(1)求|AB|的值；(2)若F為曲線C的左焦點(diǎn)，求·的值【解】(1)由(為參數(shù))，消去參數(shù)得1.由消去參數(shù)t得y2x4.將y2x4代入x24y216中，得17x264x1760.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則所以|AB|x1x2|×，所以|AB|的值為.(2)由(1)得，F(xiàn)(2，0)，則·(x12，y1)·(x22，y2)(x12)(x22)(2x14)(2x24)x1x22(x1x2)124x1x22(x1x2)125x1x26(x1x2)605×6×6044，所以·的值為44.(1)有關(guān)參數(shù)方程問題的2個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消參數(shù)，要根據(jù)參數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化利用參數(shù)方程解決問題，關(guān)鍵是選準(zhǔn)參數(shù)，理解參數(shù)的幾何意義(2)利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求解問題經(jīng)過點(diǎn)P(x0，y0)，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))若A，B為直線l上兩點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，線段AB的中點(diǎn)為M，點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t0，則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到：t0.|PM|t0|.|AB|t2t1|.|PA|·|PB|t1·t2|. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2018·高考全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，求l的斜率解：(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為1.當(dāng)cos 0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為ytan ·x2tan ，當(dāng)cos 0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為x1.(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程(13cos2)t24(2cos sin )t80.因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)(1，2)在C內(nèi)，所以有兩個(gè)解，設(shè)為t1，t2，則t1t20.又由得t1t2，故2cos sin 0，于是直線l的斜率ktan 2.2已知曲線C：1，直線l：(t為參數(shù))(1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；(2)過曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值解：(1)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))直線l的普通方程為2xy60.(2)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cos ，3sin )到l的距離為d|4cos 3sin 6|.則|PA|5sin()6|，其中為銳角，且tan .當(dāng)sin()1時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為.當(dāng)sin()1時(shí)，|PA|取得最小值，最小值為.極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合問題(綜合型)典型例題 (2018·鄭州第二次質(zhì)量檢測)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，直線l的極坐標(biāo)方程為cosa，且l過點(diǎn)A，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))(1)求曲線C1上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值；(2)過點(diǎn)B(1，1)且與直線l平行的直線l1與曲線C1交于M，N兩點(diǎn)，求|BM|·|BN|的值【解】(1)由直線l過點(diǎn)A可得cosa，故a，則易得直線l的直角坐標(biāo)方程為xy20.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得曲線C1上的點(diǎn)到直線l的距離d，其中sin ，cos ，所以dmax.即曲線C1上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值為.(2)由(1)知直線l的傾斜角為，則直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))易知曲線C1的普通方程為1.把直線l1的參數(shù)方程代入曲線C1的普通方程可得t27t50，設(shè)M，N兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，所以t1t2，根據(jù)參數(shù)t的幾何意義可知|BM|·|BN|t1t2|.解決極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程綜合問題的方法(1)對(duì)于參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程應(yīng)用不夠熟練的情況下，我們可以先化成直角坐標(biāo)的普通方程，這樣思路可能更加清晰(2)對(duì)于一些運(yùn)算比較復(fù)雜的問題，用參數(shù)方程計(jì)算會(huì)比較簡捷(3)利用極坐標(biāo)方程解決問題時(shí)，要注意題目所給的限制條件及隱含條件 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2018·貴陽模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：(為參數(shù))，在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為cos1.(1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)過點(diǎn)M(1，0)且與直線l平行的直線l1交曲線C于A，B兩點(diǎn)，求點(diǎn)M到A，B兩點(diǎn)的距離之和解：(1)曲線C的普通方程為y21，由cos1，得cos sin 2，所以直線l的直角坐標(biāo)方程為xy20.(2)直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，將其代入y21中，化簡得：2t2t20，設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t2，t1t21，所以|MA|MB|t1|t2|t1t2|.1(2018·益陽、湘潭調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為cos.直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)(1)求直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)P(1，0)，求|PA|·|PB|的值解：(1)由cos得cos cos sin sin ，又cos x，sin y，所以直線l的直角坐標(biāo)方程為xy10.(2)由(為參數(shù))得曲線C的普通方程為x24y24，因?yàn)镻(1，0)在直線l上，故可設(shè)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，將其代入x24y24得7t24t120，所以t1·t2，故|PA|·|PB|t1|·|t2|t1·t2|.2(2018·合肥第一次質(zhì)量檢測)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：(為參數(shù))，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：2cos 0.(1)求曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線C1上有一動(dòng)點(diǎn)M，曲線C2上有一動(dòng)點(diǎn)N，求|MN|的最小值解：(1)由2cos 0得22cos 0.因?yàn)?x2y2，cos x，所以x2y22x0，即曲線C2的直角坐標(biāo)方程為(x1)2y21.(2)由(1)可知，圓C2的圓心為C2(1，0)，半徑為1.設(shè)曲線C1的動(dòng)點(diǎn)M(3cos ，2sin )，由動(dòng)點(diǎn)N在圓C2上可得|MN|min|MC2|min1.因?yàn)閨MC2|，所以當(dāng)cos 時(shí)，|MC2|min，所以|MN|min|MC2|min11.3(2018·高考全國卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O的參數(shù)方程為(為參數(shù))，過點(diǎn)(0，)且傾斜角為的直線l與O交于A，B兩點(diǎn)(1)求的取值范圍；(2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程解：(1)O的直角坐標(biāo)方程為x2y21.當(dāng)時(shí)，l與O交于兩點(diǎn)當(dāng)時(shí)，記tan k，則l的方程為ykx.l與O交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)1，解得k1或k1，即或.綜上，的取值范圍是.(2)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，)設(shè)A，B，P對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，tP，則tP，且tA，tB滿足t22tsin 10.于是tAtB2sin ，tPsin .又點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是(為參數(shù)，)4(2018·昆明調(diào)研)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知傾斜角為的直線l過點(diǎn)A(2，1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系曲線C的極坐標(biāo)方程為2sin ，直線l與曲線C分別交于P，Q兩點(diǎn)(1)寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)若|PQ|2|AP|·|AQ|，求直線l的斜率k.解：(1)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2y22y.(2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，得t2(4cos )t30，由(4cos )24×3>0，得cos2>，由根與系數(shù)的關(guān)系，得t1t24cos ，t1·t23，由參數(shù)的幾何意義知，|AP|t1|，|AQ|t2|，|PQ|t1t2|，由題意知，(t1t2)2t1·t2，則(t1t2)25t1·t2，得(4cos )25×3，解得cos2，滿足cos2>，所以sin2，tan2，所以直線l的斜率ktan ±.5(一題多解)(2018·鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過點(diǎn)(1，0)，傾斜角為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是.(1)寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)若，設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求AOB的面積解：(1)由題知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))因?yàn)椋詓in28cos ，所以2sin28cos ，即y28x.(2)法一：當(dāng)時(shí)，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，代入y28x可得t28t160，設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t28，t1·t216，所以|AB|t1t2|8.又點(diǎn)O到直線AB的距離d1×sin ，所以SAOB|AB|×d×8×2.法二：當(dāng)時(shí)，直線l的方程為yx1，設(shè)M(1，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y28(y1)，即y28y80，由根與系數(shù)的關(guān)系得SAOB|OM|y1y2|×1×××42.6(2018·陜西教學(xué)質(zhì)量檢測(一)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為(t>0，為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為sin3.(1)當(dāng)t1時(shí)，求曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值；(2)若曲線C上的所有點(diǎn)都在直線l的下方，求實(shí)數(shù)t的取值范圍解：(1)由sin3得sin cos 3，把xcos ，ysin 代入得直線l的直角坐標(biāo)方程為xy30，當(dāng)t1時(shí)，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，消去參數(shù)得曲線C的普通方程為x2y21，所以曲線C為圓，且圓心為O，則點(diǎn)O到直線l的距離d，所以曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值為1.(2)因?yàn)榍€C上的所有點(diǎn)均在直線l的下方，所以對(duì)任意的R，tcos sin 3<0恒成立，即cos()<3恒成立，所以<3，又t>0，所以0<t<2.所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為(0，2)7(2018·福州模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：(為參數(shù)，t>0)在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l：cos.(1)若l與曲線C沒有公共點(diǎn)，求t的取值范圍；(2)若曲線C上存在點(diǎn)到l的距離的最大值為，求t的值解：(1)因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為cos，即cos sin 2，所以直線l的直角坐標(biāo)方程為xy2.因?yàn)榍€C的參數(shù)方程為(為參數(shù)，t>0)，所以曲線C的普通方程為y21(t>0)，由消去x得，(1t2)y24y4t20，所以164(1t2)(4t2)<0，又t>0，所以0<t<，故t的取值范圍為(0，)(2)由(1)知直線l的直角坐標(biāo)方程為xy20，故曲線C上的點(diǎn)(tcos ，sin )到l的距離d，故d的最大值為，由題設(shè)得.解得t±.又t>0，所以t.8(2018·濰坊模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為cos2sin (0，0<)(1)寫出曲線C1的極坐標(biāo)方程，并求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)；(2)射線與曲線C1，C2分別交于點(diǎn)A，B(A，B異于原點(diǎn))，求的取值范圍解：(1)由題意可得曲線C1的普通方程為x2(y2)24，把xcos ，ysin 代入，得曲線C1的極坐標(biāo)方程為4sin ，聯(lián)立得4sin cos2sin ，此時(shí)0<，當(dāng)sin 0時(shí)，0，0，得交點(diǎn)的極坐標(biāo)為(0，0)；當(dāng)sin 0時(shí)，cos2，當(dāng)cos 時(shí)，2，得交點(diǎn)的極坐標(biāo)為，當(dāng)cos 時(shí)，2，得交點(diǎn)的極坐標(biāo)為，所以C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為(0，0)，.(2)將代入C1的極坐標(biāo)方程中，得14sin ，代入C2的極坐標(biāo)方程中，得2，所以4cos2，因?yàn)椋?4cos23，所以的取值范圍為1，314