2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.4 函數(shù)的應(yīng)用（一）教學(xué)案 新人教A版必修第一冊

3.4 函數(shù)的應(yīng)用（一）(教師獨具內(nèi)容)課程標(biāo)準(zhǔn)：1.理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語言和工具.2.在實際情境中，能夠運(yùn)用已經(jīng)學(xué)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)及冪函數(shù)建立模型，解決簡單的實際問題，體會這些函數(shù)在解決實際問題中的作用教學(xué)重點：用函數(shù)模型來解決實際問題教學(xué)難點：建立函數(shù)模型.【知識導(dǎo)學(xué)】知識點用函數(shù)模型解決實際問題的一般步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，用函數(shù)刻畫實際問題，初步選擇模型(2)建模：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型(3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論(4)還原：利用數(shù)學(xué)知識和方法得出的結(jié)論還原到實際問題中可將這些步驟用框圖表示如下：【新知拓展】常見的函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型：即直線模型，其特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值勻速增大或減小現(xiàn)實生活中很多事例可以用該模型來表示，例如：勻速直線運(yùn)動的時間和位移的關(guān)系，彈簧的伸長量與拉力的關(guān)系等(2)二次函數(shù)模型：二次函數(shù)為生活中最常見的一種數(shù)學(xué)模型，因二次函數(shù)可求其最大值(或最小值)，故最優(yōu)、最省等問題常常是二次函數(shù)的模型(3)分段函數(shù)模型：由于分段函數(shù)在不同的區(qū)間中具有不同的解析式，因此分段函數(shù)在研究條件變化的實際問題，或者在某一特定條件下的實際問題中具有廣泛的應(yīng)用1判一判(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)在用函數(shù)模型解決實際問題時，得到的數(shù)學(xué)問題的解就是實際問題的解()(2)現(xiàn)實生活中有很多問題都可以用分段函數(shù)來描述，如出租車計費(fèi)，個人所得稅等()(3)一根蠟燭長20 cm，點燃后每小時燃燒5 cm，燃燒時剩下的高度h(cm)與燃燒時間t(h)的函數(shù)關(guān)系可以用一次函數(shù)模型來刻畫()答案(1)×(2)(3)2做一做(請把正確的答案寫在橫線上)(1)某人從A地出發(fā)，開汽車以80千米/小時的速度經(jīng)2小時到達(dá)B地，在B地停留2小時，則汽車離開A地的距離y(單位：千米)是時間t(單位：小時)的函數(shù)，該函數(shù)的解析式是_(2)有200 m長的籬笆材料，如果利用已有的一面墻(假設(shè)長度夠用)作為一邊，圍成一塊矩形菜地，那么矩形的長為_ m，寬為_ m時，這塊菜地的面積最大答案(1)y(2)10050題型一 一次函數(shù)模型解決實際問題例1某服裝廠每天生產(chǎn)童裝200套或西服50套，已知每生產(chǎn)一套童裝需成本40元，可獲得利潤22元，每生產(chǎn)一套西服需成本150元，可獲得利潤80元由于資金有限，該廠每月成本支出不超過23萬元，為使贏利最大，若按每月30天計算，應(yīng)安排生產(chǎn)童裝和西服各多少天(天數(shù)為整數(shù))？并求出最大利潤解設(shè)生產(chǎn)童裝的天數(shù)為x，則生產(chǎn)西服的天數(shù)為(30x)，每月生產(chǎn)童裝和西服的套數(shù)分別為200x和50(30x)，每月生產(chǎn)童裝和西服的成本分別為40×200x元和150×50×(30x)元，每月生產(chǎn)童裝和西服的利潤分別為22×200x元和80×50×(30x)元，則總利潤為y22×200x80×50×(30x)，化簡得y400x120000.注意到每月成本不超過23萬元，則40×200x150×50×(30x)230000，從而求出x的取值范圍是0x10，且x為整數(shù)顯然當(dāng)x10時，贏利最大，最大利潤是124000元金版點睛用一次函數(shù)模型解決實際問題的解題方法(1)建立一次函數(shù)模型時應(yīng)先求出自變量的取值范圍；(2)根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系建立一次函數(shù)模型；(3)利用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行求解、檢驗?zāi)沉谢疖噺谋本┪髡鹃_往石家莊，全程277 km.火車出發(fā)10 min開出13 km后，以120 km/h勻速行駛試寫出火車行駛的總路程s與勻速行駛的時間t之間的關(guān)系，并求離開北京2 h時火車行駛的路程解因為火車勻速運(yùn)動的時間為(27713)÷120(h)，所以0t.因為火車勻速行駛t h所行駛路程為120t，所以，火車行駛總路程s與勻速行駛時間t之間的關(guān)系是s13120t.離開北京2 h時火車行駛的路程s13120×233(km).題型二 二次函數(shù)模型解決實際問題例2某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y48x8000，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸若每噸產(chǎn)品平均出廠價為40萬元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？解設(shè)可獲得總利潤為R(x)萬元，則R(x)40xy40x48x800088x8000(x220)21680(0x210)R(x)在0,210上單調(diào)遞增，x210時，R(x)max(210220)216801660(萬元)年產(chǎn)量為210噸時，可獲得最大利潤1660萬元金版點睛用二次函數(shù)模型解題的策略(1)根據(jù)實際問題建立函數(shù)解析式(即二次函數(shù)關(guān)系式)(2)利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法求函數(shù)的最值，從而解決實際問題中的最值問題(3)解答二次函數(shù)最值問題最好結(jié)合二次函數(shù)的圖象有甲、乙兩種商品，經(jīng)營銷售這兩種商品所獲得的利潤依次為Q1萬元和Q2萬元，它們與投入的資金x萬元的關(guān)系是Q1x，Q2.現(xiàn)有3萬元資金投入使用，則對甲、乙兩種商品如何投資才能獲得最大利潤？解設(shè)對甲種商品投資x萬元，則對乙種商品投資(3x)萬元，總利潤為y萬元所以Q1x，Q2.所以yx(0x3)，令t(0t)，則x3t2.所以y(3t2)t2.當(dāng)t時，ymax1.05(萬元)，即x0.75(萬元)，所以3x2.25(萬元)由此可知，為獲得最大利潤，對甲、乙兩種商品的資金投入分別為0.75萬元和2.25萬元，共獲得利潤1.05萬元.題型三 分段函數(shù)模型解決實際問題例3某廠生產(chǎn)某種零件，每個零件的成本為40元，出廠單價定為60元，該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當(dāng)一次訂購量超過100個時，每多訂購1個，訂購的全部零件的出廠單價就降低0.02元，但實際出廠單價不能低于51元(1)當(dāng)一次訂購量為多少個時，零件的實際出廠單價恰降為51元？(2)設(shè)一次訂購量為x個，零件的實際出廠單價為P元，寫出函數(shù)Pf(x)的表達(dá)式；(3)當(dāng)銷售商一次訂購500個零件時，該廠獲得的利潤是多少元？如果訂購1000個，利潤又是多少元？(工廠售出一個零件的利潤實際出廠單價成本)解(1)設(shè)每個零件的實際出廠價恰好降為51元時，一次訂購量為x0個，則x0100550(個)因此，當(dāng)一次訂購量為550個時，每個零件的實際出廠價恰好降為51元(2)當(dāng)0<x100時，P60；當(dāng)100<x550時，P600.02(x100)62；當(dāng)x>550時，P51.Pf(x)(xN)(3)設(shè)銷售商一次訂購量為x個時，工廠獲得的利潤為L元，則L(P40)x(xN)當(dāng)x500時，L6000；當(dāng)x1000時，L11000.因此，當(dāng)銷售商一次訂購500個零件時，該廠獲得的利潤是6000元；如果訂購1000個，利潤是11000元金版點睛用分段函數(shù)模型解決實際問題的解法分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)作幾個問題，將各段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段變量的范圍，特別是端點值有一新款服裝在4月份(共30天)投放某專賣店銷售，日銷售量y(單位：件)關(guān)于時間n(1n30，nN*)(單位：天)的函數(shù)圖象如圖所示，其中函數(shù)yf(n)的圖象中的點位于斜率為5和3的兩條直線上，兩直線的交點的橫坐標(biāo)為m，且第m天日銷售量最大(1)求f(n)的表達(dá)式，及前m天的銷售總量；(2)按規(guī)律，當(dāng)該服裝的銷售總量超過400件時，社會上流行該服裝，而日銷售量連續(xù)下降并低于30件時，該服裝的流行會消失試問該服裝在社會上流行的天數(shù)是否會超過10天？并說明理由解(1)由圖象知，當(dāng)1nm且nN*時，設(shè)f(n)5nb，將點(1,2)代入，得5b2，解得b3，則f(n)5n3.由f(m)57，即5m357，得m12.當(dāng)12<n30且nN*時，設(shè)f(n)3nk，將點(30,3)代入，得3×30k3，解得k93，則f(n)3n93.綜上得f(n)前12天的銷售總量為5(12312)3×12354(件)(2)第13天的銷售量為f(13)3×139354(件)，而35454>400，從第14天開始銷售總量超過400件，即該服裝開始流行設(shè)第n天的日銷售量開始低于30件(12<n30且nN*)，即f(n)3n93<30，解得n>21.從第22天開始日銷售量低于30件，即流行時間為14號至21號該服裝在社會上流行的天數(shù)不超過10天.題型四 綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決實際問題例4某商品每件成本價為80元，售價為100元，每天售出100件若售價降低x成(1成10%)，售出商品數(shù)量就增加x成要求售價不能低于成本價(1)設(shè)該商店一天的營業(yè)額為y，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)，并寫出定義域；(2)若要求該商品一天營業(yè)額至少為10260元，求x的取值范圍解(1)由題意得y100·100.因為售價不能低于成本價，所以100800，得x2.所以yf(x)20(10x)(508x)，定義域為0,2(2)由題意得20(10x)(508x)10260，化簡得8x230x130.解得x.所以x的取值范圍是.金版點睛對于此類實際應(yīng)用問題，應(yīng)先根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式，再解決數(shù)學(xué)問題，最后結(jié)合問題的實際意義作出回答.建立函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵.甲廠以x千克/小時的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1x10)，每小時可獲得的利潤是100元(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得的利潤不低于3000元，求x的取值范圍；(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求最大利潤解(1)根據(jù)題意，得2003000，整理得5x140，即5x214x30，又1x10，可解得3x10.即要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得的利潤不低于3000元，x的取值范圍是3,10(2)設(shè)利潤為y元，則y·1009×1049×104，故當(dāng)x6時，ymax457500元即甲廠以6千克/小時的生產(chǎn)速度生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品時獲得的利潤最大，最大利潤為457500元1設(shè)甲、乙兩地的距離為a(a>0)米，小王騎自行車勻速從甲地到乙地用了20分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又勻速從乙地返回到甲地用了30分鐘，則小王從出發(fā)到返回原地所走過的路程y(米)和其所用的時間x(分)的函數(shù)圖象為(如下圖所示)()答案D解析注意到y(tǒng)表示“小王從出發(fā)到返回原地所走過的路程”，而不是位移故選D.2某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選一名代表那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)yx(x表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為()Ay ByCy Dy答案B解析根據(jù)規(guī)定可知，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)分別為7,8,9時可以增選一名代表，所以最小應(yīng)該加3，因此利用取整函數(shù)可表示為y.3生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品x萬件時的生產(chǎn)成本為C(x)x22x20(萬元).1萬件售價是20萬元，若該企業(yè)生產(chǎn)的這種商品能夠全部售出，那么為獲取最大利潤，該企業(yè)一個月應(yīng)生產(chǎn)該商品的數(shù)量為()A18萬件 B20萬件 C16萬件 D8萬件答案A解析利潤L(x)20xC(x)(x18)2142，當(dāng)x18時，L(x)有最大值故選A.4某同學(xué)將父母給的零用錢按每月相等的數(shù)額存放在儲蓄盒內(nèi)，準(zhǔn)備捐給希望工程，盒內(nèi)原有60元，2個月后盒內(nèi)有80元則盒內(nèi)錢數(shù)y(元)與存錢月數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式為_答案y10x60(x0)解析設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為ykxb.因為當(dāng)x0時，y60；當(dāng)x2時，y80，所以解得所以y10x60(x0)5心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對概念的接受能力y與提出概念所用的時間x(單位：分)之間滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)0.1x22.6x43(0x30)，y值越大，表示接受能力越強(qiáng)(1)x在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步增強(qiáng)？x在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步降低？(2)第10分鐘時，學(xué)生的接受能力是多少？(3)第幾分鐘時，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？解(1)因為y0.1x22.6x430.1(x13)259.9.所以，當(dāng)0x13時，學(xué)生的接受能力逐步增強(qiáng)；當(dāng)13x30時，學(xué)生的接受能力逐步下降(2)當(dāng)x10時，y0.1×(1013)259.959，即第10分鐘時，學(xué)生的接受能力為59.(3)當(dāng)x13時，y取最大值所以，在第13分鐘時，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)- 9 -