2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習 第4章 平面向量、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 第4節(jié) 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入教學(xué)案 理（含解析）北師大版

第四節(jié)數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入考綱傳真1.理解復(fù)數(shù)的概念，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.2.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.3.能進行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算，了解兩個具體復(fù)數(shù)相加、減的幾何意義1復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的概念：形如abi(a，bR)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部若b0，則abi為實數(shù)，若b0，則abi為虛數(shù)，若a0且b0，則abi為純虛數(shù)(2)復(fù)數(shù)相等：abicdiac，bd(a，b，c，dR)(3)共軛復(fù)數(shù)：abi與cdi共軛ac，bd(a，b，c，dR)(4)復(fù)數(shù)的模：向量的模r叫做復(fù)數(shù)zabi的模，即|z|abi|.2復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)zabi復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)平面向量(a，b)3復(fù)數(shù)的運算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則設(shè)z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，則加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；減法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1·z2(abi)·(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：i(cdi0)(2)復(fù)數(shù)加法的運算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)1(1±i)2±2i；i；i.2i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN*)3z·|z|2|2，|z1·z2|z1|·|z2|，|zn|z|n.基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)若aC，則a20.()(2)已知zabi(a，bR)，當a0時，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)()(3)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)的虛部為bi.()(4)方程x2x10沒有解()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2(教材改編)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足i，則|z|等于()A1BC.D2Ai，則zi，|z|1.3設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限Bi1，該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(1,1)位于第二象限4(教材改編)在復(fù)平面內(nèi)，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是2i，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是13i，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A12i B12iC34i D34iD13i2i34i，故選D5(教材改編)已知(12i)43i，則z_.2i由(12i)43i得2i.z2i.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念1(2019·福州四校聯(lián)考)如果復(fù)數(shù)z，則()Az的共軛復(fù)數(shù)為1iBz的實部為1C|z|2 Dz的實部為1Dz1i，z的實部為1，故選D2(2019·江西九校聯(lián)考)設(shè)(12i)xxyi，其中x，y是實數(shù)，i為虛數(shù)單位，則()A1B C.DD由x2xixyi，x，yR，則y2x，|2i|，故選D3如果復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，那么實數(shù)m等于()A1 B0C0或1 D0或1D，因為此復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以解得m1或0，故選D規(guī)律方法解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及注意事項(1)復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可(2)解題時一定要先看復(fù)數(shù)是否為abi(a，bR)的形式，以確定實部和虛部復(fù)數(shù)的代數(shù)運算【例1】(1)(2018·全國卷)()AiBiCiDi(2)(2019·山西八校聯(lián)考)已知a，bR，i為虛數(shù)單位，若34i3，則ab等于()A9B5 C13D9(3)已知復(fù)數(shù)z滿足：(zi)(12i)i3(其中i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的虛部等于()AB C.D(1)D(2)A(3)C(1)i，故選D(2)由34i3得，34i，即(ai)(34i)2bi，(3a4)(4a3)i2bi，則解得故ab9，故選A.(3)ziiii，故選C.規(guī)律方法復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運算可以類比多項式運算，除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，注意要把i的冪寫成最簡形式 (1)(2019·湖北重點中學(xué)聯(lián)考)已知復(fù)數(shù)z滿足(zi)·(1i)2i，則·z()A1 BC. D(2)(2019·皖南八校聯(lián)考)設(shè)i是虛數(shù)單位，且i2 019，則實數(shù)k()A2 B1C0 D1(1)B(2)C(1)由已知，得ziiiii，則·z|z|222，故選B(2)因為i2 019i504×43i3i，所以i，可得kiik，k0，故選C.復(fù)數(shù)的幾何意義【例2】(1)(2018·北京高考)在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限(2)在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱的點為A，則A對應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A1i B1iC1i D1i(3)若復(fù)數(shù)(1i)(ai)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，1) B(，1)C(1，) D(1，)(1)D(2)B(3)B(1)，其共軛復(fù)數(shù)為，對應(yīng)點位于第四象限，故選D(2)因為zi(1i)1i，所以點A的坐標為(1，1)，其對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1i.(3)因為復(fù)數(shù)(1i)(ai)a1(1a)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，所以解得a1.規(guī)律方法對復(fù)數(shù)幾何意義的理解及應(yīng)用(1)復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點Z及向量相互聯(lián)系，即zabi(a，bR)Z(a，b).(2)由于復(fù)數(shù)、點、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀 (1)如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的向量分別是，則復(fù)數(shù)z1·z2對應(yīng)的點位于()A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限(2)若復(fù)數(shù)z滿足|zi|(i為虛數(shù)單位)，則z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的圖形的面積為_(1)D(2)2(1)由已知(2，1)，(0,1)，所以z12i，z2i，z1z212i，它所對應(yīng)的點為(1，2)，在第四象限(2)設(shè)zxyi(x，yR)，由|zi|得|x(y1)i|，所以，所以x2(y1)22，所以z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的圖形是以點(0,1)為圓心，以為半徑的圓及其內(nèi)部，它的面積為2.1(2018·全國卷)設(shè)z2i，則|z|()A0BC1DC因為z2i2ii2ii，所以|z|1，故選C.2(2018·全國卷)(1i)(2i)()A3i B3iC3i D3iD(1i)(2i)22iii23i.3(2017·全國卷)復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)zi(2i)的點位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限Czi(2i)12i，復(fù)數(shù)z12i所對應(yīng)的復(fù)平面內(nèi)的點為Z(1，2)，位于第三象限故選C.4(2016·全國卷)設(shè)(1i)x1yi，其中x，y是實數(shù)，則|xyi|()A1 B C. D2B(1i)x1yi，xxi1yi.又x，yR，x1，yx1.|xyi|1i|，故選B5(2016·全國卷)若z12i，則()A1 B1 Ci DiC因為z12i，則12i，所以z(12i)(12i)5，則i.故選C.6(2016·全國卷)已知z(m3)(m1)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，則實數(shù)m的取值范圍是()A(3,1) B(1,3)C(1，) D(，3)A由題意知即3m1.故實數(shù)m的取值范圍為(3,1)- 7 -