2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第4節(jié) 離散型隨機變量及其分布列教學(xué)案 理（含解析）北師大版

第四節(jié)離散型隨機變量及其分布列考綱傳真1.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性.2.理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能進行簡單的應(yīng)用1離散型隨機變量的分布列(1)將隨機現(xiàn)象中試驗(或觀測)的每一個可能的結(jié)果都對應(yīng)于一個數(shù)，這種對應(yīng)稱為一個隨機變量(2)離散型隨機變量：隨機變量的取值能夠一一列舉出來，這樣的隨機變量稱為離散型隨機變量(3)設(shè)離散型隨機變量X的取值為a1，a2，隨機變量X取ai的概率為pi(i1,2，)，記作：P(Xai)pi(i1,2，)，或把上式列表：Xaia1a2P(Xai)p1p2稱為離散型隨機變量X的分布列(4)性質(zhì)：pi0，i1,2，；p1p21.2超幾何分布一般地，設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M(MN)件次品從中任取n(nN)件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么P(Xk)(其中k為非負整數(shù))如果一個隨機變量的分布列由上式確定，則稱X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)離散型隨機變量的分布列中，各個概率之和可以小于1.()(2)離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的()(3)如果隨機變量X的分布列由下表給出，則它服從兩點分布()X25P0.30.7(4)從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布()答案(1)×(2)(3)×(4)2投擲甲、乙兩顆骰子，所得點數(shù)之和為X，那么X4表示的事件是()A一顆是3點，一顆是1點B兩顆都是2點C甲是3點，乙是1點或甲是1點，乙是3點或兩顆都是2點D以上答案都不對C甲是3點，乙是1點與甲是1點，乙是3點是試驗的兩個不同結(jié)果，故選C.3設(shè)隨機變量X的分布列如下：X12345Pp則p為()A.BC. DC由分布列的性質(zhì)知，p1，p1.4設(shè)隨機變量X等可能取值1,2,3，n，如果P(X4)0.3，那么n_.10由于隨機變量X等可能取1,2,3，n，取到每個數(shù)的概率均為，P(X4)P(X1)P(X2)P(X3)0.3，n10.5在含有3件次品的10件產(chǎn)品中任取4件，則取到次品數(shù)X的分布列為_P(Xk)，k0,1,2,3由題意知，X服從超幾何分布，其中N10，M3，n4，所以分布列為P(Xk)，k0,1,2,3.離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)1隨機變量X的分布列如下：X101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|1)_.由題意知所以2bb1，則b，因此ac.所以P(|X|1)P(X1)P(X1)ac.2設(shè)隨機變量X的分布列為Pak(k1,2,3,4,5)(1)求a；(2)求P；(3)求P.解(1)由分布列的性質(zhì)，得PPPPP(X1)a2a3a4a5a1，所以a.(2)PPPP(X1)3×4×5×.(3)PPPP.規(guī)律方法(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時要注意檢驗，以保證每個概率值均為非負數(shù)(2)求隨機變量在某個范圍內(nèi)的概率時，根據(jù)分布列，將所求范圍內(nèi)各隨機變量對應(yīng)的概率相加即可，其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式求離散型隨機變量的分布列【例1】已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或檢測出3件正品時檢測結(jié)束(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；(2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位：元)，求X的分布列解(1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A，P(A).(2)X的可能取值為200,300,400.P(X200)，P(X300)，P(X400)1P(X200)P(X300)1.故X的分布列為X200300400P規(guī)律方法求離散型隨機變量分布列的步驟(1)找出隨機變量X的所有可能取值xi(i1,2,3，n)；(2)求出各取值的概率P(Xxi)pi；(3)列成表格并用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確提醒：求離散型隨機變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機變量所有取值對應(yīng)的概率，在求解時，要注意應(yīng)用計數(shù)原理、古典概型等知識 一個盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號分別為1,2,3,4；白色卡片3張，編號分別為2,3,4.從盒子中任取4張卡片(假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同)(1)求取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片的概率；(2)在取出的4張卡片中，紅色卡片編號的最大值設(shè)為X，求隨機變量X的分布列解(1)由題意知，在7張卡片中，編號為3的卡片有2張，故所求概率為P11.(2)由題意知，X的可能取值為1,2,3,4，且P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).所以隨機變量X的分布列是X1234P超幾何分布【例2】PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于2.5微米的可入肺顆粒物根據(jù)現(xiàn)行國家標(biāo)準(zhǔn)GB30952012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克/立方米75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)從某自然保護區(qū)2017年全年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值頻數(shù)如下表所示 ：PM2.5日均值(微克/立方米)25，35)35，45)45，55)55，65)65，75)75，85頻數(shù)311113(1)從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出3天，求恰有一天空氣質(zhì)量達到一級的概率；(2)從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記表示抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求的分布列解(1)記“從10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出3天，恰有一天空氣質(zhì)量達到一級”為事件A，則P(A).(2)依據(jù)條件知，服從超幾何分布，其中N10，M3，n3，且隨機變量的可能取值為0,1,2,3.P(k)(k0,1,2,3)P(0)，P(1)，P(2)，P(3).故的分布列為0123P規(guī)律方法求超幾何分布的分布列的步驟 某外語學(xué)校的一個社團中有7名同學(xué)，其中2人只會法語，2人只會英語，3人既會法語又會英語，現(xiàn)選派3人到法國的學(xué)校交流訪問求：(1)在選派的3人中恰有2人會法語的概率；(2)在選派的3人中既會法語又會英語的人數(shù)X的分布列解(1)設(shè)事件A：選派的3人中恰有2人會法語，則P(A).(2)依題意知，X服從超幾何分布，X的可能取值為0,1,2,3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，X的分布列為X0123P- 7 -