2019版高考數(shù)學一輪復習 第八章 解析幾何 第52講 拋物線學案

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1、 第52講　拋物線 考綱要求 考情分析 命題趨勢 1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質． 2．了解圓錐曲線的簡單應用，了解拋物線的實際背景． 3．理解數(shù)形結合思想. 2017·全國卷Ⅰ，10 2017·全國卷Ⅱ，16 2017·北京卷，18 2016·浙江卷，9 1.求解與拋物線定義有關的問題，利用拋物線的定義求軌跡方程，求拋物線的標準方程． 2．求拋物線的焦點和準線，求解與拋物線焦點有關的問題(如焦點弦、焦半徑等問題). 分值：5分 1．拋物線的定義 平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)__距離相等__的點的軌跡叫做拋

2、物線．點F叫做拋物線的__焦點__，直線l叫做拋物線的__準線__． 2．拋物線的標準方程與幾何性質 標準 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) p的幾何意義：焦點F到準線l的距離 圖形 頂點 O__(0,0)__ 對稱軸 __y＝0__ __x＝0__ 焦點 F F F F 離心率 e＝__1__ 準線 __x＝－__ __x＝__ __y＝－__ __y＝__ 范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R

3、 開口方向 向右 向左 向上 向下 焦半徑 (其中P(x0，y0)) ＝ __x0＋__ ＝ __－x0＋__ ＝ __y0＋__ ＝ __－y0＋__ 3．必會結論 拋物線焦點弦的幾個常用結論 設AB是過拋物線y2＝2px(p>0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2. (2)弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝(α為弦AB的傾斜角)． (3)以弦AB為直徑的圓與準線相切． (4)通徑：過焦點垂直于對稱軸的弦，長等于2p. 1．思維辨析(在括號內打“√”或“×”)． (1)平面內與一個定點F和一條

4、定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線．(　×　) (2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線，且其焦點坐標是，準線方程是x＝－.(　×　) (3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．(　×　) 解析 (1)錯誤．當定點在定直線上時，軌跡為過定點F與定直線l垂直的一條直線，而非拋物線； (2)錯誤．方程y＝ax2(a≠0)可化為x2＝y(tǒng)是焦點在y軸上的拋物線，且其焦點坐標是，準線方程是y＝－； (3)錯誤．拋物線是只有一條對稱軸的軸對稱圖形． 2．拋物線y＝－2x2的準線方程是(　D　) A．x＝　　 B．x＝　　 C．y＝　　 D．y＝ 解析 拋物

5、線方程為x2＝－y，∴p＝，準線方程為y＝. 3．拋物線y2＝24ax(a＞0)上有一點M，它的橫坐標是3，它到焦點的距離是5，則拋物線的方程為(　A　) A．y2＝8x　　 B．y2＝12x　　 C．y2＝16x　　 D．y2＝20x 解析 準線方程為l：x＝－6a，M到準線的距離等于它到焦點的距離，則3＋6a＝5，a＝，拋物線方程為y2＝8x. 4．若點P到直線x＝－1的距離比它到點(2,0)的距離小1，則點P的軌跡為(　D　) A．圓　　 B．橢圓　　 C．雙曲線　　 D．拋物線 解析 由題意知，點P到點(2,0)的距離與P到直線x＝－2的距離相等，由拋物線定義得點P的軌

6、跡是以(2,0)為焦點、以直線x＝－2為準線的拋物線． 5．在平面直角坐標系xOy中，有一定點A(2,1)，若線段OA的垂直平分線過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點，則該拋物線的準線方程是__x＝－__. 解析 線段OA的中垂線方程為4x＋2y－5＝0， 令y＝0得x＝， ∴焦點F，準線方程為x＝－. 一　拋物線的定義及應用 拋物線中的最值問題一般情況下都與拋物線的定義有關，實現(xiàn)由點到點的距離與點到直線的距離的轉化． (1)將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最短”，使問題得解． (2)將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離

7、，利用“與直線上所有點的連線中垂線段最短”原理解決． 【例1】 (1)已知拋物線x2＝4y上有一條長為6的動弦AB，則AB的中點到x軸的最短距離為(　D　) A．　　 B．　　 C．1　　 D．2 (2)(2017·全國卷Ⅰ)已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|＋|DE|的最小值為(　A　) A．16　　 B．14　　 C．12　　 D．10 解析 (1)由題意知，拋物線的準線l：y＝－1，過點A作AA1⊥l垂足為點A1，過點B作BB1⊥l垂足為點B1，設弦AB的中點為M，過點M

8、作MM1⊥l交l于點M1，則|MM1|＝. 因為|AB|≤|AF|＋|BF|(F為拋物線的焦點)，即|AF|＋|BF|≥6， 所以|AA1|＋|BB1|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3. 故點M到x軸的距離d≥2. (2)拋物線C：y2＝4x的焦點為F(1,0)，由題意可知l1，l2的斜率存在且不為0.不妨設直線l1的斜率為k，則l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－(x－1)，由消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝＝2＋，由拋物線的定義可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝2＋＋2＝4＋.同理得|DE|＝4＋4k2，∴|AB

9、|＋|DE|＝4＋＋4＋4k2＝8＋4≥8＋8＝16，當且僅當＝k2，即k＝±1時取等號，故|AB|＋|DE|的最小值為16，故選A． 二　拋物線的標準方程及其幾何性質 (1)求拋物線的標準方程常用待定系數(shù)法，因為未知數(shù)只有p，所以只需一個條件確定p值即可． (2)利用拋物線方程確定及應用其焦點、準線等性質時，關鍵是將拋物線方程化成標準方程． (3)涉及拋物線幾何性質的問題常結合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結合思想解題的直觀性． 【例2】 (1)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線與拋物線y2＝2px(p＞0)的準

10、線分別交于A，B兩點，O為坐標原點．若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為，則p＝(　C　) A．1　　 B．　　 C．2　　 D．3 (2)拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點為F，其準線與雙曲線－＝1相交于A，B兩點，若△ABF為等邊三角形，則p＝__6__. 解析 (1)因為雙曲線的離心率e＝＝2，所以b＝a，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x，與拋物線的準線x＝－相交于點A，點B，所以△AOB的面積為××p＝，又p＞0，所以p＝2. (2)在等邊三角形ABF中，AB邊上的高為p，＝p，所以B.又因為點B在雙曲線上，故－＝1，解得p＝6.　 三　直線與拋物線的位置關系及弦長問題

11、 (1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數(shù)的關系． (2)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式＝x1＋x2＋p；若不過焦點，則必須用弦長公式． 【例3】 已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，若過點F且斜率為1的直線與拋物線相交于M，N兩點，且＝8. (1)求拋物線C的方程； (2)設直線l為拋物線C的切線，且l∥MN，點P為l上一點，求·的最小值． 解析 (1)由題意可知F，則該直線方程為y＝x－， 代入y2＝2px(p＞0)，得x2－3px＋＝0， 設M(x1，y

12、1)，N(x2，y2)， ∵＝8，∴x1＋x2＋p＝8， 即3p＋p＝8，解得p＝2，∴拋物線的方程為y2＝4x. (2)設直線l的方程為y＝x＋b，代入y2＝4x，得x2＋(2b－4)x＋b2＝0. ∵直線l為拋物線C的切線，∴Δ＝16(1－b)＝0，解得b＝1， ∴直線l的方程為y＝x＋1.由(1)可知：x1＋x2＝6，x1x2＝1， 設P(m，m＋1)，則＝(x1－m，y1－(m＋1))， ＝(x2－m，y2－(m＋1))， ∴·＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)][y2－(m＋1)] ＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)(y1＋y2)＋

13、(m＋1)2. ∵x1＋x2＝6，x1x2＝1，∴(y1y2)2＝16x1x2＝16，y1y2＝－4. ∵y－y＝4(x1－x2)，∴y1＋y2＝4·＝4. ∴·＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2＝ 2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14. 當且僅當m＝2時，即點P的坐標為(2,3)時，·取最小值為－14. 1．若動圓的圓心在拋物線y＝x2上，且與直線y＋3＝0相切，則此圓恒過定點(　C　) A．(0,2)　　 B．(0，－3)　　　　 C．(0,3)　　 D．(0,6) 解析 直線y＋3＝0是拋物線x2＝12y的準線，由拋物線的定義知拋物線上

14、的點到直線y＝－3的距離與到焦點(0,3)的距離相等，所以此圓恒過定點(0,3)． 2．已知點P是拋物線x2＝4y上的動點，點P在x軸上的射影是點Q，點A的坐標是(8,7)，則＋的最小值為(　C　) A．7　　 B．8　　　　 C．9　　 D．10 解析 拋物線的焦點為F(0,1)，準線方程為y＝－1，根據(jù)拋物線的定義知，＝＝＋1. ∴＋＝＋－1＝＋－1≥－1＝－1＝10－1＝9， 當且僅當A，P，F(xiàn)三點共線時，等號成立，則＋的最小值為9. 3．已知點F1，F(xiàn)2分別是雙曲線3x2－y2＝3a2(a>0)的左、右焦點，點P是拋物線y2＝8ax與雙曲線的一個交點，若＋＝12，則拋

15、物線的準線方程為__x＝－2__. 解析 將雙曲線方程化為標準方程得－＝1，拋物線的準線為x＝－2a，聯(lián)立解得x＝3a，即點P的橫坐標為3a.而由，得＝6－a， ∴＝3a＋2a＝6－a，得a＝1，∴拋物線的準線方程為x＝－2. 4．(2017·北京卷)已知拋物線C：y2＝2px過點P(1,1)．過點作直線l與拋物線C交于不同的兩點M，N，過點M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點A，B，其中O為原點． (1)求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程； (2)求證：A為線段BM的中點． 解析 (1)由拋物線C：y2＝2px過點P(1,1)，得p＝.所以拋物線C的方程為y2＝x.

16、 拋物線C的焦點坐標為.準線方程為x＝－. (2)證明：由題意，設直線l的方程為y＝kx＋(k≠0)，l與拋物線C的交點為M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0. 則x1＋x2＝，x1x2＝. 因為點P的坐標為(1,1)，所以直線OP的方程為y＝x，點A的坐標為(x1，x1)． 直線ON的方程為y＝x，點B的坐標為. 因為y1＋－2x1＝ ＝ ＝ ＝＝0， 所以y1＋＝2x1.故A為線段BM的中點． 易錯點　對直線與拋物線的公共點認識不清 錯因分析：只考慮直線斜率k存在的情況而忽略k不存在以及直線l平行于拋物線對稱軸時的兩種

17、情形． 【例1】 過點(0,3)的直線l與拋物線y2＝4x只有一個公共點，求直線l的方程． 解析 當斜率k存在且k≠0時，設直線l的方程為y＝kx＋3，將其代入y2＝4x，整理得k2x2＋(6k－4)x＋9＝0，則由Δ＝0解得k＝；當k＝0時，直線l的方程為y＝3，此時l平行于對稱軸，且與拋物線只有一個交點；當k不存在時，直線l與拋物線也只有一個公共點，此時l的方程為x＝0.綜上，過點(0,3)且與拋物線y2＝4x只有一個公共點的直線l的方程為y＝x＋3；y＝3；x＝0. 【跟蹤訓練1】 設拋物線C：y2＝2px(p>0)，過點M(p,0)作直線l.證明：l與C至少有一個交點． 證明

18、(1)當直線與y軸不垂直時，設l：x＝my＋p，聯(lián)立C與l的方程，得則y2－2pmy－2p2＝0. Δ＝(2pm)2＋4·2p2＝4p2(m2＋2)>0恒成立． 故此時C與l有2個交點． (2)當直線l與y軸垂直時，l：x＝0，C與l有一個交點(0,0)． 綜上(1)，(2)知，C與l至少有一個交點． 課時達標　第52講 [解密考綱]對拋物線的定義、標準方程及幾何性質的考查是常數(shù)，通常在選擇題、填空題中單獨考查或在解答題中與圓錐曲線綜合考查． 一、選擇題 1．(2018·寧夏銀川九中月考)已知拋物線的方程為標準方程，焦點在x軸上，其上點P(－3，m)到焦點的距離為5，則拋物線方

19、程為(　B　) A．y2＝8x　　 B．y2＝－8x C．y2＝4x　　 D．y2＝－4x 解析 設拋物線方程為y2＝－2px(p>0)，則－(－3)＝5， ∴p＝4，∴拋物線方程為y2＝－8x.故選B． 2．(2018·江西九江第一次統(tǒng)考)已知拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，過拋物線上一點M(p，p)和拋物線的焦點F作直線l交拋物線于另一點N，則|NF|∶|FM|＝(　C　) A．1∶　　 B．1∶　　 C．1∶2　　 D．1∶3 解析 由題意知直線l的方程為y＝2， 聯(lián)立方程得N. 所以|NF|＝＋＝p，|MF|＝p＋＝p， 所以|NF|∶|FM|＝1∶2，故選

20、C． 3．已知拋物線C：y2＝4x，頂點為O，動直線l：y＝k(x＋1)與拋物線C交于A，B兩點，則·＝(　A　) A．5　　 B．－5　　 C．4　　 D．－4 解析 設A，B，由已知得直線l過定點E(－1,0)，因為E，A，B三點共線，所以y2＝y(tǒng)1， 即(y1－y2)＝y(tǒng)1－y2，因為y1≠y2，所以y1y2＝4， 所以·＝＋y1y2＝5. 4．(2018·吉林長春一模)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F且傾斜角為120°的直線l與拋物線在第一、四象限分別交于A、B兩點，則＝(　A　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析 設拋物線的準線為l：x＝－，|FB|

21、＝m，|FA|＝n， 過A，B兩點向準線l作垂線AC，BD， 由拋物線定義知|AC|＝|FA|＝n，|BD|＝|FB|＝m， 過B作BE⊥AC，E為垂足， 則|AE|＝|CE|－|AC|＝|BD|－|AC|＝m－n， |AB|＝|FA|＋|FB|＝n＋m. 在Rt△ABE中，∠BAE＝60°，cos 60°＝＝＝， 即m＝3n.故＝＝＝. 5．已知點A(2,1)，拋物線y2＝4x的焦點是F，若拋物線上存在一點P，使得|PA|＋|PF|最小，則點P的坐標為(　D　) A．(2,1)　　 B．(1,1) C．　　 D． 解析 由拋物線定義知，|PF|等于P到準線x＝－1的距離

22、，當PA與準線垂直時|PA|＋|PF|最小，∴P點的縱坐標為1，代入方程得x＝. 6．已知拋物線x2＝4y上有一條長為6的動弦AB，則AB的中點到x軸的最短距離為(　D　) A．　　 B． C．1　　 D．2 解析 由題意知，拋物線的準線l：y＝－1，過點A作AA1⊥l于點A1，過點B作BB1⊥l于點B1，設弦AB的中點為M，過點M作MM1⊥l于點M1，則|MM1|＝. 因為6＝|AB|≤|AF|＋|BF|， 所以|AA1|＋|BB1|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3， 故點M到x軸的距離d≥2，故選D． 二、填空題 7．(2018·福建福州質檢)過拋物線y2＝2px(

23、p>0)的焦點作傾斜角為30°的直線l與拋物線交于P，Q兩點，分別過P，Q兩點作PP1，QQ1垂直于拋物線的準線于P1，Q1，若|PQ|＝2，則四邊形PP1Q1Q的面積是__1__. 解析 由題意得四邊形PP1Q1Q為直角梯形，|PP1|＋|QQ1|＝|PQ|＝2，|P1Q1|＝|PQ|sin 30°＝1，∴S＝·|P1Q1|＝1. 8．如圖是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬__2__米． 解析 如圖，建立平面直角坐標系，設拋物線方程為x2＝－2py(p>0)． 由題意將點A(2，－2)代入x2＝－2py， 得p＝1，故x2＝－2

24、y.設B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面寬為2米． 9．(2017·全國卷Ⅱ)已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|＝__6__. 解析 依題意，拋物線C：y2＝8x的焦點F(2,0)，準線x＝－2，因為點N在y軸上，M為FN的中點，所以點M的橫坐標為1， 所以|MF|＝1－(－2)＝3，|FN|＝2|MF|＝6. 三、解答題 10．已知拋物線y2＝4px(p>0)的焦點為F，圓W：(x＋p)2＋y2＝p2的圓心到過點F的直線l的距離為p. (1)求直線l的斜率； (2)若直線l與拋物線交于A，B兩

25、點，△WAB的面積為8，求拋物線的方程． 解析 (1)易知拋物線y2＝4px(p>0)的焦點為F(p,0)，依題意設直線l的方程為x＝my＋p，因為W(－p,0)，所以點W到直線l的距離為＝p，解得m＝±，所以直線l的斜率為±. (2)由(1)知直線l的方程為x＝±y＋p，由于兩條直線關于x軸對稱，不妨取x＝y(tǒng)＋p，代入y2＝4px中， 得y2－4py－4p2＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝4p，y1y2＝－4p2， 所以|AB|＝·＝16p， 因為△WAB的面積為8，所以p×16p＝8，得p＝1， 所以拋物線的方程為y2＝4x. 11．已知拋物線y

26、2＝2px(p>0)，過點C(－2,0)的直線l交拋物線于A，B兩點，坐標原點為O，·＝12. (1)求拋物線的方程； (2)當以AB為直徑的圓與y軸相切時，求直線l的方程． 解析 (1)設l：x＝my－2，代入y2＝2px中， 得y2－2pmy＋4p＝0.(*) 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，所以x1x2＝＝4. 因為·＝12，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12， 得p＝2，拋物線的方程為y2＝4x. (2)(1)中(*)式可化為y2－4my＋8＝0. y1＋y2＝4m，y1y2＝8.設AB的中點為M， 則|

27、AB|＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4，① 又|AB|＝|y1－y2|＝，② 由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2， 解得m2＝3，m＝±. 所以直線l的方程為x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0. 12．(2017·全國卷Ⅲ)已知拋物線：C：y2＝2x，過點(2,0)的直線l交C于A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓． (1)證明：坐標原點O在圓M上； (2)設圓M過點P(4，－2)，求直線l與圓M的方程． 解析 (1)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2. 由可得y2－2my－4＝0，則y1y2＝－4. 又x1＝，

28、x2＝，故x1x2＝＝4. 因此OA的斜率與OB的斜率之積為·＝＝－1， 所以OA⊥OB.故坐標原點O在圓M上． (2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4. 故圓心M的坐標為(m2＋2，m)， 圓M的半徑r＝. 由于圓M過點P(4，－2)，因此·＝0， 即(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0， 即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0. 由(1)可得y1y2＝－4，x1x2＝4. 所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－. 當m＝1時，直線l的方程為x－y－2＝0，圓心M的坐標為(3,1)，圓M的半徑為，圓M的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝10. 當m＝－時，直線l的方程為2x＋y－4＝0， 圓心M的坐標為，圓M的半徑為， 圓M的方程為2＋2＝. 13