2019版高考數(shù)學大一輪復習 第八章 立體幾何初步 第2節(jié) 簡單幾何體的表面積與體積學案 北師大版

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1、 第2節(jié)　簡單幾何體的表面積與體積 最新考綱　了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式. 知 識 梳 理 1.多面體的表(側)面積 多面體的各個面都是平面，則多面體的側面積就是所有側面的面積之和，表面積是側面積與底面面積之和. 2.圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式 圓柱 圓錐 圓臺 側面 展開 圖 側面 積公 式 S圓柱側＝2πrl S圓錐側＝πrl S圓臺側＝π(r1＋r2)l 3.簡單幾何體的表面積與體積公式 　　名稱 幾何體　　　　 表面積 體積 柱　體 (棱柱和圓柱) S表面積＝S側＋2S底 V＝S

2、底h 錐　體 (棱錐和圓錐) S表面積＝S側＋S底 V＝S底h 臺　體 (棱臺和圓臺) S表面積＝S側＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 [常用結論與微點提醒] 1.正方體與球的切、接常用結論 正方體的棱長為a，球的半徑為R， (1)若球為正方體的外接球，則2R＝a； (2)若球為正方體的內切球，則2R＝a； (3)若球與正方體的各棱相切，則2R＝a. 2.長方體的共頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝. 3.正四面體的外接球與內切球的半徑之比為3∶1. 診 斷 自 測 1.思考辨析(在括號內打“√

3、”或“×”) (1)錐體的體積等于底面面積與高之積.(　　) (2)球的體積之比等于半徑比的平方.(　　) (3)臺體的體積可轉化為兩個錐體的體積之差.(　　) (4)已知球O的半徑為R，其內接正方體的邊長為a，則R＝a.(　　) 解析　(1)錐體的體積等于底面面積與高之積的三分之一，故不正確. (2)球的體積之比等于半徑比的立方，故不正確. 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2.(教材練習改編)已知圓錐的表面積等于12π cm2，其側面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為(　　) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D. cm 解析　由題意，得

4、S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r2＝4，所以r＝2(cm). 答案　B 3.(2016·全國Ⅱ卷)體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為(　　) A.12π B.π C.8π D.4π 解析　設正方體的棱長為a，則a3＝8，解得a＝2.設球的半徑為R，則2R＝a，即R＝.所以球的表面積S＝4πR2＝12π. 答案　A 4.(2017·全國Ⅲ卷)已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為(　　) A.π B. C. D. 解析　如圖畫出圓柱的軸截面ABCD，O為球心.

5、球半徑R＝OA＝1，球心到底面圓的距離為OM＝. ∴底面圓半徑r＝＝，故圓柱體積V＝π·r2·h＝π·×1＝. 答案　B 5.(2018·西安質檢)已知一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示(單位：m)，則該四棱錐的體積為________m3. 解析　根據(jù)三視圖可知該四棱錐的底面是底邊長為2 m，高為1 m的平行四邊形，四棱錐的高為3 m. 故該四棱錐的體積V＝×2×1×3＝2 (m3). 答案　2 考點一　簡單幾何體的表面積 【例1】 (1)(2016·全國Ⅱ卷)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(　　) A.20π

6、 B.24π C.28π D.32π (2)(2017·全國Ⅰ卷)某多面體的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2， 俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為(　　) A.10 B.12 C.14 D.16 解析　(1)幾何體是圓錐與圓柱的組合體，設圓柱底面圓半徑為r，周長為c，圓錐母線長為l，圓柱高為h. 由三視圖知r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4. 所以l＝＝4. 故該幾何體的表面積S表＝ πr2＋ch＋cl＝4π＋16π＋8π＝28π. (2)由三視圖可畫出直觀

7、圖，該直觀圖各面內只有兩個相同的梯形的面，S梯＝×(2＋4)×2＝6，S全梯＝6×2＝12. 答案　(1)C　(2)B 規(guī)律方法　1.由幾何體的三視圖求其表面積：(1)關鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關系及度量大小.(2)還原幾何體的直觀圖，套用相應的面積公式. 2.(1)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理. (2)旋轉體的表面積問題注意其側面展開圖的應用. 【訓練1】 (1)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于(　　) A.8＋2 B.11＋2 C.14＋2 D.15 (2)(2016·全國Ⅰ卷)如圖

8、，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是，則它的表面積是(　　) A.17π B.18π C.20π D.28π 解析　(1)由三視圖知，該幾何體是一個直四棱柱，上、下底面為直角梯形，如圖所示. 直角梯形斜腰長為＝，所以底面周長為4＋，側面積為2×(4＋)＝8＋2，兩底面的面積和為2××1×(1＋2)＝3. 所以該幾何體的表面積為8＋2＋3＝11＋2. (2)由題知，該幾何體的直觀圖如圖所示，它是一個球(被過球心O且互相垂直的三個平面)切掉球所剩的組合體， 其表面積是球面面積的和三個圓面積. 設球的半徑為R，則×πR3

9、＝，R＝2. 故幾何體的表面積S＝×4πR2＋πR2＝17π. 答案　(1)B　(2)A 考點二　簡單幾何體的體積 【例2】 (1)如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長為2，側棱長為，D為BC中點，則三棱錐A－B1DC1的體積為(　　) A.3 B. C.1 D. (2)(2016·山東卷)一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示.則該幾何體的體積為(　　) A.＋π B.＋π C.＋π D.1＋π 解析　(1)如題圖，在正△ABC中，D為BC中點，則有AD＝AB＝， 又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，AD⊥BC，AD平面

10、ABC，由面面垂直的性質定理可得AD⊥平面BB1C1C，即AD為三棱錐A－B1DC1的底面B1DC1上的高， ∴VA－B1DC1＝S△B1DC1·AD＝××2××＝1. (2)由三視圖知該四棱錐是底面邊長為1，高為1的正四棱錐，結合三視圖可得半球半徑為，從而該幾何體的體積為×12×1＋×π×＝＋π. 答案　(1)C　(2)C 規(guī)律方法　1.求三棱錐的體積：等體積轉化是常用的方法，轉換原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上. 2.求不規(guī)則幾何體的體積：常用分割或補形的思想，將不規(guī)則幾何體轉化為規(guī)則幾何體以易于求解. 3.若以三視圖的形式給出幾何體，則應先根據(jù)三視圖得到幾何體的直

11、觀圖，然后根據(jù)條件求解. 【訓練2】 (1)某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則主視圖中的x的值是(　　) A.2 B. C. D.3 (2)(2018·鄭州質檢)已知三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形，該三棱錐的主視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是________. 解析　(1)由三視圖知，該幾何體是四棱錐，底面是直角梯形，且S底＝(1＋2)×2＝3.∴V＝x·3＝3，解得x＝3. (2)由題可知，∵三棱錐每個面都是腰為2的等腰三角形，由主視圖可得如右俯視圖，且三棱錐高為h＝1， 則體積V＝Sh＝××1＝. 答案　(1)D　(2) 考點三　多

12、面體與球的切、接問題(典例遷移) 【例3】 (經典母題)(2016·全國Ⅲ卷)在封閉的直三棱柱ABC－A1B1C1內有一個體積為V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是(　　) A.4π B. C.6π D. 解析　由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10. 要使球的體積V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若球與三個側面相切，設底面△ABC的內切圓的半徑為r. 則×6×8＝×(6＋8＋10)·r，所以r＝2. 2r＝4＞3，不合題意. 球與三棱柱的上、下底面相切時，球的半徑R最大. 由2R＝3，即R＝. 故球的最大體積V＝πR3＝

13、π. 答案　B 【遷移探究】 若本例中的條件變?yōu)椤爸比庵鵄BC－A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面積. 解　將直三棱柱補形為長方體ABEC－A1B1E1C1， 則球O是長方體ABEC－A1B1E1C1的外接球. ∴體對角線BC1的長為球O的直徑. 因此2R＝＝13. 故S球＝4πR2＝169π. 規(guī)律方法　1.與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接.球與旋轉體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側棱和球心，或“切點”、“接點”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題. 2.若

14、球面上四點P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側棱兩兩垂直，可構造長方體或正方體確定直徑解決外接問題. 【訓練3】 (1)(2017·全國Ⅰ卷)已知三棱錐S－ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑.若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S－ABC的體積為9.則球O的表面積為________. (2)(2018·佛山一中月考)已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB＝90°，C為該球面上的動點.若三棱錐O－ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為(　　) A.36π B.64π C.144π D.256π 解析　(1)如圖，連

15、接OA，OB，因為SA＝AC，SB＝BC，所以OA⊥SC，OB⊥SC. 因為平面SAC⊥平面SBC，平面SAC∩平面SBC＝SC，且OA平面SAC，所以OA⊥平面SBC. 設球O的半徑為r，則OA＝OB＝r，SC＝2r， 所以VA－SBC＝×S△SBC×OA＝××2r×r×r＝r3， 所以r3＝9?r＝3，所以球O的表面積為4πr2＝36π. (2)因為△AOB的面積為定值，所以當OC垂直于平面AOB時，三棱錐O－ABC的體積取得最大值.由×R2×R＝36，得R＝6.從而球O的表面積S＝4πR2＝ 144π. 答案　(1)36π　(2)C 基礎鞏固題組 (建議用時：40

16、分鐘) 一、選擇題 1.(2015·全國Ⅰ卷)《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有(　　) A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 解析　設米堆的底面半徑為r尺，則r＝8，所以r＝. 所以米堆的體積為V＝×π·r2·5＝··5≈(立方尺). 故堆放的米約有÷1.62≈22(斛)

17、. 答案　B 2.(2018·北京燕博園研究中心)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是(　　) A.π B.2π C.3π D.8π 解析　由三視圖知，該幾何體是一個圓柱挖去一個同底的圓錐. ∴該幾何體的體積V＝3×π×12－·π×12×3＝2π. 答案　B 3. (2018·九江聯(lián)考)如右圖所示，某簡單幾何體的主視圖與左視圖相同，則此幾何體的表面積為(　　) A.6π B.π＋ C.4π D.2π＋ 解析　此幾何體為一個組合體，上為一個圓錐，下為一個半球組合而成. 表面積為S＝＋×2×2π＝4π. 答案　C 4.(2016·全國Ⅲ

18、卷)如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為(　　) A.18＋36 B.54＋18 C.90 D.81 解析　由幾何體的三視圖可知，該幾何體是底面為正方形的斜平行六面體. 由題意可知該幾何體底面邊長為3，高為6，所以側棱長為＝3.故該幾何體的表面積S＝32×2＋(3×6)×2＋(3×3)×2＝54＋18. 答案　B 5.(2018·商丘模擬)一塊硬質材料的三視圖如圖所示，主視圖和俯視圖都是邊長為10 cm的正方形，將該材料切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑最接近(　　) A.3 cm B.4

19、cm C.5 cm D.6 cm 解析　由題意，知該硬質材料為三棱柱(底面為等腰直角三角形)，所以最大球的半徑等于左視圖直角三角形內切圓的半徑，設為r cm，則10－r＋10－r＝10. ∴r＝10－5≈3. 答案　A 二、填空題 6.(2017·全國Ⅱ卷)長方體的長、寬、高分別為3，2，1，其頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為________. 解析　∵長方體的頂點都在球O的球面上， ∴長方體的體對角線的長度就是其外接球的直徑. 設球的半徑為R，則2R＝＝. ∴球O的表面積為S＝4πR2＝4π×＝14π. 答案　14π 7.現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為

20、4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個.若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個，則新的底面半徑為________. 解析　設新的底面半徑為r，由題意得πr2·4＋πr2·8＝π×52×4＋π×22×8，解得r＝. 答案　 8.(2017·江蘇卷)如圖，在圓柱O1O2內有一個球O，該球與圓柱的上、下面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是________. 解析　設球半徑為R，則圓柱底面圓半徑為R，母線長為2R. 又V1＝πR2·2R＝2πR3，V2＝πR3， 所以＝＝. 答案　 三、解答題 9.(2016

21、·江蘇卷改編)現(xiàn)需要設計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P－A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍，若AB＝6 m，PO1＝2 m，則倉庫的容積是多少？ 解　由PO1＝2 m，知O1O＝4PO1＝8 m.因為A1B1＝AB＝6 m，所以正四棱錐P－A1B1C1D1的體積V錐＝·A1B·PO1＝×62×2＝24(m3)； 正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的體積 V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)， 所以倉庫的容積V＝V錐＋V柱＝24＋288＝312(m3). 故倉庫

22、的容積是312 m3. 10.(2015·全國Ⅱ卷)如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，點E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.過點E，F(xiàn)的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形. (1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由)； (2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值. 解　(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示. (2)如圖，作EM⊥AB，垂足為M，則AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8. 因為四邊形EHGF為正方形，所以EH＝EF＝BC＝10. 于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6

23、. 故S四邊形A1EHA＝×(4＋10)×8＝56， S四邊形EB1BH＝×(12＋6)×8＝72. 因為長方體被平面α分成兩個高為10的直棱柱， 所以其體積的比值為. 能力提升題組 (建議用時：20分鐘) 11.(2018·衡水中學調研)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為(　　) A.π B.π C.4π D. 解析　由三視圖知該幾何體為四棱錐，側面PBC為左視圖，PE⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是對應邊的中點，底面ABCD是邊長是2的正方形，如圖所示. 設外接球的球心到平面ABCD的距離為h， 則h2＋2＝12＋(2－h(huán))2，∴h＝

24、，R2＝. ∴幾何體的外接球的表面積S＝4πR2＝π. 答案　B 12.圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的主視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16＋20π，則r＝________. 解析　該幾何體是一個半球與一個半圓柱的組合體，球的半徑為r，圓柱的底面半徑為r，高為2r，如圖. 則表面積 S＝×4πr2＋πr2＋(2r)2＋πr·2r＝(5π＋4)r2， 又S＝16＋20π，所以(5π＋4)r2＝16＋20π，解得r＝2. 答案　2 13.(2018·沈陽質檢)在三棱柱ABC－A1B1C1中，側面AA1C1C

25、⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝AB＝BC＝2，且點O為AC中點. (1)證明：A1O⊥平面ABC； (2)求三棱錐C1－ABC的體積. (1)證明　因為AA1＝A1C，且O為AC的中點， 所以A1O⊥AC， 又平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，且A1O平面AA1C1C， ∴A1O⊥平面ABC. (2)解　∵A1C1∥AC，A1C1平面ABC，AC平面ABC， ∴A1C1∥平面ABC，即C1到平面ABC的距離等于A1到平面ABC的距離. 由(1)知A1O⊥平面ABC且A1O＝＝， ∴VC1－ABC＝VA1－ABC＝S△ABC·A1O＝××2××＝1. 14