2020版高考數(shù)學一輪復習 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第3節(jié) 三角函數(shù)的圖像與性質教學案 理（含解析）北師大版

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1、第三節(jié)　三角函數(shù)的圖像與性質 [考綱傳真]　1.能畫出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的圖像，了解三角函數(shù)的周期性.2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]上的性質(如單調性、最大值和最小值、圖像與x軸的交點等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間內的單調性． 1．用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖 正弦函數(shù)y＝sin x，x∈[0,2π]圖像的五個關鍵點是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． 余弦函數(shù)y＝cos x，x∈[0,2π]圖像的五個關鍵點是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質 函數(shù) y＝sin x y

2、＝cos x y＝tan x 圖像 定義域 R R xx≠kπ＋， k∈Z 值域 [－1,1] [－1,1] R 遞增 區(qū)間 ， k∈Z [2kπ－π，2kπ]， k∈Z kπ－， kπ＋，k∈Z 遞減 區(qū)間 ， k∈Z [2kπ，2kπ＋π]， k∈Z 無 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 對稱 中心 (kπ，0)，k∈Z ，k∈Z ，k∈Z 對稱軸 方程 x＝kπ＋(k∈Z) x＝kπ(k∈Z) 無 周期性 2π 2π π 　若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則： (1)

3、f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ＝＋kπ(k∈Z)； (2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ＝kπ(k∈Z)． [基礎自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)函數(shù)y＝sin x的圖像關于點(kπ，0)(k∈Z)中心對稱． (　　) (2)正切函數(shù)y＝tan x在定義域內是增函數(shù)． (　　) (3)已知y＝ksin x＋1，x∈R，則y的最大值為k＋1. (　　) (4)y＝sin |x|與y＝|sin x|都是周期函數(shù)． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．下列函數(shù)中，周期為的是(　　) A．y＝cos

4、4x　　　　　 B．y＝sin 2x C．y＝cos D．y＝sin A　[由T＝可知，ω＝＝4，檢驗可知選項A正確，故選A.] 3．若函數(shù)y＝sin(φ－x)是奇函數(shù)，則φ的值可能是(　　) A. B． C. D．π D　[由y＝sin(φ－x)是奇函數(shù)可知，φ＝kπ，k∈Z，故選D．] 4．函數(shù)y＝tan 2x的定義域是(　　) A. B． C. D． D　[由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z， ∴y＝tan 2x的定義域為.] 5．y＝sin的減區(qū)間是________． (k∈Z)　[由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z得 ＋kπ≤x

5、≤＋kπ，k∈Z.] 三角函數(shù)的定義域和值域 1．函數(shù)f(x)＝3sin在區(qū)間上的值域為(　　) A.　　　　　　 B． C. D． B　[因為x∈， 所以2x－∈， 所以sin∈， 所以3sin∈， 所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域是.] 2.(2016·全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值為(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 B　[∵f(x)＝cos 2x＋6cos＝cos 2x＋6sin x ＝1－2sin2x＋6sin x＝－22＋， 又sin x∈[－1,1]，∴當sin x＝1時，f(x)取得最大值5.故選B．

6、] 3．函數(shù)y＝lg sin x＋的定義域為________． (k∈Z)　[要使函數(shù)有意義，則有 即 解得(k∈Z)， ∴2kπ＜x≤＋2kπ，k∈Z. ∴函數(shù)的定義域為 .] 4．函數(shù)y＝sin x－cos x＋sin x cos x，x∈[0，π]的值域為________． [－1,1]　[設t＝sin x－cos x， 則t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x， 即sin xcos x＝，且－1≤t≤. ∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1. 當t＝1時，ymax＝1； 當t＝－1時，ymin＝－1. ∴函數(shù)的值域為[－1,1]．] [規(guī)律方

7、法]　1.三角函數(shù)定義域的求法 求三角函數(shù)定義域實際上是構造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖像來求解． 2．求三角函數(shù)最值或值域的常用方法 (1)直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解． (2)化一法：把所給三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函數(shù)單調性寫出函數(shù)的值域． (3)換元法：把sin x，cos x，sin xcos x或sin x±cos x換成t，轉化為二次函數(shù)求解． 三角函數(shù)的單調性 【例1】　(1)(2018·全國卷Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[0，a] 是減函數(shù)，則a的最大值是(　　) A.

8、 B． C. D．π (2)函數(shù)f(x)＝sin的減區(qū)間為________． (1)C　(2)(k∈Z)　[(1)f(x)＝cos x－sin x＝－sin， 當x－∈，即x∈時， sin遞增，－sin 遞減， ∴是f(x)在原點附近的遞減區(qū)間， 結合條件得[0，a]?， ∴a≤，即amax＝，故選C. (2)由已知，得函數(shù)為y＝－sin，欲求函數(shù)的減區(qū)間，只需求y＝sin的單調增區(qū)間即可． 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 故所求函數(shù)的減區(qū)間為(k∈Z)．] [規(guī)律方法]　1.求三角函數(shù)單調區(qū)間的兩種方法 (1)代換法：求

9、形如y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的單調區(qū)間時，要視“ωx＋φ”為一個整體，通過解不等式求解．若ω＜0，應先用誘導公式化x的系數(shù)為正數(shù)，以防止把單調性弄錯． (2)圖像法：畫出三角函數(shù)的圖像，利用圖像求它的單調區(qū)間． 2．已知三角函數(shù)的單調區(qū)間求參數(shù)，先求出函數(shù)的單調區(qū)間，然后利用集合間的關系求解． (1)(2019·珠海模擬)已知ω＞0，函數(shù)f(x)＝sin在上遞減，則ω的取值范圍是(　　) A．(0,2] B． C. D． (2)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均為正的常數(shù))的最小正周期為π，當x＝時，函數(shù)f(x)取得最小值，則下列結論正確的是(

10、　　) A．f(2)＜f(－2)＜f(0) B．f(0)＜f(2)＜f(－2) C．f(－2)＜f(0)＜f(2) D．f(2)＜f(0)＜f(－2) (1)D　(2)A　[(1)由2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋，得＋≤x≤＋，k∈Z，因為f(x)＝sin在上遞減，所以解得因為k∈Z，ω＞0，所以k＝0， 所以≤ω≤，即ω的取值范圍為.故選D． (2)因為T＝π，所以ω＝2.所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ的一個正值為，所以y＝Asin. 由函數(shù)圖像及2，－2,0與最近的最高值的距離，距離越大值越小，可判斷f(2)＜f(－2)＜f(0)．故選A.] 三角函數(shù)的奇偶性、周期

11、性及對稱性 ?考法1　三角函數(shù)的周期性 【例2】　(1)函數(shù)y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期為(　　) A. B． C．π D．2π (2)若函數(shù)f(x)＝2tan的最小正周期T滿足1＜T＜2，則自然數(shù)k的值為________． (1)C　(2)2或3　[(1)因為y＝sin 2x＋cos 2x＝2＝2sin，所以其最小正周期T＝＝π.故選C. (2)由題意知1＜＜2，即k＜π＜2k. 又k∈Z，所以k＝2或k＝3.] ?考法2　三角函數(shù)的奇偶性 【例3】　已知函數(shù)f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)，θ∈是偶函數(shù)，則θ的值為(　　) A．0

12、 B． C. D． B　[∵f(x)＝2sin， ∴要使f(x)為偶函數(shù)，只需θ＋＝kπ＋，k∈Z. ∴θ＝kπ＋，k∈Z. 又θ∈，∴當k＝0時， θ＝.] ?考法3　三角函數(shù)圖像的對稱性 【例4】　(1)(2018·陜西二模)已知函數(shù)f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期為π，則該函數(shù)的圖像(　　) A．關于點對稱 B．關于點對稱 C．關于直線x＝對稱 D．關于直線x＝對稱 (2)(2019·武漢模擬)若函數(shù)y＝cos(ω∈N*)圖像的一個對稱中心是，則ω的最小值為________． (1)C　(2)2　[(1)由題意，得T＝＝π，所以ω＝2，所以f(x)

13、＝sin.由2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，所以函數(shù)f(x)關于點(k∈Z)對稱，故A，B不正確；由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，所以函數(shù)f(x)關于直線x＝對稱，故C正確，D不正確，故選C. (2)由題意知π＋＝kπ＋(k∈Z)， ∴ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N* ， ∴ωmin＝2.] [規(guī)律方法]　1.對于函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，其對稱軸一定經過圖像的最高點或最低點，對稱中心的橫坐標一定是函數(shù)的零點． 2．求三角函數(shù)周期的方法 (1)利用周期函數(shù)的定義． (2)利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為，

14、y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期為. (1)在函數(shù)①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期為π的所有函數(shù)為(　　) A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③ (2)(2019·山師大附中模擬)設函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)在x＝時取得最大值，則函數(shù)g(x)＝cos(2x＋φ)的圖像(　　) A．關于點對稱 B．關于點對稱 C．關于直線x＝對稱 D．關于直線x＝對稱 (3)(2018·濟南一模)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期為π，且f＝f(x)，則(　　) A．f

15、(x)在上遞減 B．f(x)在上遞增 C．f(x)在上遞增 D．f(x)在上遞減 (1)A　(2)A　(3)D　[(1)①y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期為π； ②由圖像知y＝|cos x|的最小正周期為π； ③y＝cos的最小正周期T＝＝π； ④y＝tan的最小正周期T＝，故選A. (2)因為x＝時，f(x)＝sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)取得最大值， 所以φ＝，即g(x)＝cos， 所以對稱中心，對稱軸x＝－，故選A. (3)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝2sin，因為其最小正周期為π，所以＝π，ω＝2，則f(x)＝2sin，又因為f

16、＝f(x)，所以x＝為函數(shù)f(x)圖像的一條對稱軸，則2×＋φ＋＝＋kπ，k∈Z，解得φ＝－＋kπ，k∈Z，又因為|φ|＜，所以φ＝－，則f(x)＝2sin＝2sin，令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，令k＝0，得函數(shù)f(x)在上遞減，故選D．] 1．(2017·全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝sin的最小正周期為(　　) A．4π　　　　　　　　　 B．2π C．π D． C　[函數(shù)f(x)＝sin的最小正周期T＝＝π.故選C.] 2.(2017·全國卷Ⅲ)設函數(shù)f(x)＝cos，則下列結論錯誤的是(　　) A．f(x)的一個周期為－2π B．

17、y＝f(x)的圖像關于直線x＝對稱 C．f(x＋π)的一個零點為x＝ D．f(x)在遞減 D　[A項，因為f(x)＝cos的周期為2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一個周期為－2π，A項正確． B項，因為f(x)＝cos圖像的對稱軸為直線x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的圖像關于直線x＝對稱，B項正確． C項，f(x＋π)＝cos.令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－π，當k＝1時，x＝，所以f(x＋π)的一個零點為x＝，C項正確． D項，因為f(x)＝cos的遞減區(qū)間為(k∈Z)，遞增區(qū)間為(k∈Z)，所以是減區(qū)間，是增區(qū)間，D項錯誤． 故選D．] 3.(2018·全國卷Ⅲ)函數(shù)f(x)＝cos在[0，π]的零點個數(shù)為________． 3　[由題意知，cos＝0，所以3x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z.當k＝0時，x＝；當k＝1時，x＝；當k＝2時，x＝，均滿足題意，所以函數(shù)f(x)在[0，π]的零點個數(shù)為3.] 4．(2017·全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________． 1　[f(x)＝1－cos2x＋cos x－＝－2＋1. ∵x∈，∴cos x∈[0,1]， ∴當cos x＝時，f(x)取得最大值，最大值為1.] - 11 -