2019版高考數學一輪復習 第12章 選4系列 12.2 參數方程學案 理

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1、 12.2　參數方程 [知識梳理] 1．曲線的參數方程 一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x，y都是某個變數t的函數，并且對于t的每一個允許值，由這個方程組所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么這個方程組就叫做這條曲線的參數方程，聯系變數x，y的變數t叫做參變數，簡稱參數． 2．常見曲線的參數方程和普通方程 點的軌跡 普通方程 參數方程 直線 y－y0＝tanα(x－x0) (t為參數) 圓 x2＋y2＝r2 (θ為參數) 橢圓 ＋＝1(a>b>0) (φ為參數) 提醒：直線的參數方程中，參數t的系數的平方和

2、為1時，t才有幾何意義且?guī)缀我饬x為：|t|是直線上任一點M(x，y)到M0(x0，y0)的距離． [診斷自測] 1．概念思辨 (1)直線(t為參數)的傾斜角α為30°.(　　) (2)過M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數方程為(t為參數)．參數t的幾何意義表示：直線l上以定點M0為起點，任一點M(x，y)為終點的有向線段的數量．(　　) (3)方程表示以點(0,1)為圓心，以2為半徑的圓．(　　) (4)已知橢圓的參數方程(t為參數)，點M在橢圓上，對應參數t＝，點O為原點，則直線OM的斜率為.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．教材衍

3、化 (1)(選修A4－4P39T1)直線(t為參數)被圓x2＋y2＝9截得的弦長等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　直線的普通方程為x－2y＋3＝0. 圓的圓心為(0,0)，半徑r＝3. ∴圓心到直線的距離d＝＝. ∴弦長為2＝.故選B. (2)(選修A4－4P24例2)已知點(x，y)滿足曲線方程(θ為參數)，則的最小值是(　　) A. B. C. D．1 答案　D 解析　曲線方程(θ為參數)化為普通方程得(x－4)2＋(y－6)2＝2， ∴曲線是以C(4,6)為圓心，以為半徑的圓， ∴是原點和圓上的點的連線的斜率， 如圖，當原點

4、和圓上的點的連線是切線OA時，取最小值，設過原點的切線方程為y＝kx， 則圓心C(4,6)到切線y＝kx的距離： d＝＝，即7k2－24k＋17＝0， 解得k＝1或k＝， ∴的最小值是1.故選D. 3．小題熱身 (1)(2014·安徽高考)以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位．已知直線l的參數方程是(t為參數)，圓C的極坐標方程是ρ＝4cosθ，則直線l被圓C截得的弦長為(　　) A. B．2 C. D．2 答案　D 解析　由消去t，得x－y－4＝0， 由ρ＝4cosθ?ρ2＝4ρcosθ，∴C：x2＋y2＝4x

5、，即(x－2)2＋y2＝4，∴C(2,0)，r＝2. ∴點C到直線l的距離d＝＝， ∴所求弦長＝2＝2.故選D. (2)(2015·湖北高考)在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知直線l的極坐標方程為ρ(sinθ－3cosθ)＝0，曲線C的參數方程為(t為參數)，l與C相交于A，B兩點，則|AB|＝________. 答案　2 解析　直線l的直角坐標方程為y－3x＝0，曲線C的普通方程為y2－x2＝4. 由得x2＝，即x＝±， 則|AB|＝|xA－xB|＝×＝2. 題型1　參數方程與普通方程的互化 　　(2014·全國卷Ⅰ)已知曲線

6、C：＋＝1，直線l：(t為參數)． (1)寫出曲線C的參數方程，直線l的普通方程； (2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值． (1)用公式法，代入消參法；(2)過P作PH⊥l，垂足為H，當|PH|最長時，|PA|取最大值． 解　(1)曲線C的參數方程為(θ為參數)． 直線l的普通方程為2x＋y－6＝0. (2)曲線C上任意一點 P(2cosθ，3sinθ)到l的距離為 d＝|4cosθ＋3sinθ－6|， 則|PA|＝ ＝|5sin(θ＋α)－6|， 其中α為銳角，且tanα＝. 當sin(θ＋α)＝－1時，|PA

7、|取得最大值，最大值為. 當sin(θ＋α)＝1時，|PA|取得最小值，最小值為. 方法技巧 將參數方程化為普通方程的方法 1．將參數方程化為普通方程，需要根據參數方程的結構特征，選取適當的消參方法．常見的消參方法有：代入消參法、加減消參法、平方消參法等，對于含三角函數的參數方程，常利用同角三角函數關系式消參，如sin2θ＋cos2θ＝1等． 2．把參數方程化為普通方程時，要注意哪一個量是參數，并且要注意參數的取值對普通方程中x及y的取值范圍的影響，一定要保持同解變形． 沖關針對訓練 已知直線l的方程為y＝x＋4，圓C的參數方程為(θ為參數)，以原點為極點，x軸正

8、半軸為極軸，建立極坐標系． (1)求直線l與圓C的交點的極坐標； (2)若P為圓C上的動點，求點P到直線l的距離d的最大值． 解　(1)由題知直線l：y＝x＋4，圓C：x2＋(y－2)2＝4， 聯立 解得或 其對應的極坐標分別為，. (2)解法一：設P(2cosθ，2＋2sinθ)， 則d＝＝， 當cos＝1時，d取得最大值2＋. 解法二：圓心C(0,2)到直線l的距離為＝，圓的半徑為2，所以點P到直線l的距離d的最大值為2＋. 題型2　參數方程的應用 　　(2017·全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(θ為參數)，直線l的參數方程為(t為參數)

9、． (1)若a＝－1，求C與l的交點坐標； (2)若C上的點到l距離的最大值為，求a. (1)方程組法；(2)代入點到直線的距離公式，采用分類討論思想求解． 解　(1)曲線C的普通方程為＋y2＝1. 當a＝－1時，直線l的普通方程為x＋4y－3＝0. 由 解得或 從而C與l的交點坐標為(3,0)，. (2)直線l的普通方程為x＋4y－a－4＝0，故C上的點(3cosθ，sinθ)到l的距離為d＝. 當a≥－4時，d的最大值為. 由題設得＝，所以a＝8； 當a＜－4時，d的最大值為. 由題設得＝， 所以a＝－16. 綜上，a＝8或a＝－16. 方法技巧 直線

10、的參數方程在交點問題中的應用 1．若M1，M2是直線l上的兩個點，對應的參數分別為t1，t2，則||||＝|t1t2|，||＝|t2－t1|＝. 2．若線段M1M2的中點為M3，點M1，M2，M3對應的參數分別為t1，t2，t3，則t3＝. 3．若直線l上的線段M1M2的中點為M0(x0，y0)，則t1＋t2＝0，t1t2<0. 提醒：對于形如(t為參數)，當a2＋b2≠1時，應先化為標準形式后才能利用t的幾何意義解題． 沖關針對訓練 (2017·湘西模擬)以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位．已知直線l的參數方程為(t為參數，0

11、<α<π)，曲線C的極坐標方程為ρ·sin2θ＝2cosθ. (1)求曲線C的直角坐標方程； (2)設直線l與曲線C相交于A，B兩點，當α變化時，求|AB|的最小值． 解　(1)由ρ·sin2θ＝2cosθ，得 (ρsinθ)2＝2ρcosθ，即y2＝2x. ∴曲線C的直角坐標方程為y2＝2x. (2)將直線l的參數方程代入y2＝2x，得 t2sin2α－2tcosα－1＝0. 設A，B兩點對應的參數分別為t1，t2，則 t1＋t2＝，t1t2＝－， ∴|AB|＝|t1－t2|＝ ＝＝， 當α＝時，|AB|的最小值為2. 1．(2016·全國卷Ⅰ)在直

12、角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(t為參數，a>0)．在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ＝4cosθ. (1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標方程； (2)直線C3的極坐標方程為θ＝α0，其中α0滿足tanα0＝2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a. 解　(1)消去參數t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2，故C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓． 將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標方程為ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0. (2)曲線C1，C2的公共點的極坐標滿足方程組 若ρ≠0

13、，由方程組得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcosθ＝0，從而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1. a＝1時，極點也為C1，C2的公共點，在C3上， 所以a＝1. 2．(2017·河南洛陽一模)在直角坐標系xOy中，圓C的參數方程為(φ為參數)，以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系． (1)求圓C的普通方程； (2)直線l的極坐標方程是2ρsin＝5，射線OM：θ＝與圓C的交點為O，P，與直線l的交點為Q，求線段PQ的長． 解　(1)因為圓C的參數方程為(φ為參數)，所以圓心C的坐標為(0,2)，半

14、徑為2，圓C的普通方程為x2＋(y－2)2＝4. (2)將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋(y－2)2＝4， 得圓C的極坐標方程為ρ＝4sinθ. 設P(ρ1，θ1)，則由解得ρ1＝2，θ1＝. 設Q(ρ2，θ2)， 則由 解得ρ2＝5，θ2＝. 所以|PQ|＝3. [基礎送分 提速狂刷練] 1．(2017·山西太原一模)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(其中φ為參數)，曲線C2：x2＋y2－2y＝0，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，射線l：θ＝α(ρ≥0)與曲線C1，C2分別交于點A，B(均異于原點O)． (1)求曲線

15、C1，C2的極坐標方程； (2)當0<α<時，求|OA|2＋|OB|2的取值范圍． 解　(1)C1的普通方程為＋y2＝1，C1的極坐標方程為ρ2cos2θ＋2ρ2sin2θ－2＝0，C2的極坐標方程為ρ＝2sinθ. (2)聯立θ＝α(ρ≥0)與C1的極坐標方程得|OA|2＝， 聯立θ＝α(ρ≥0)與C2的極坐標方程得|OB|2＝4sin2α， 則|OA|2＋|OB|2＝＋4sin2α＝＋4(1＋sin2α)－4， 令t＝1＋sin2α， 則|OA|2＋|OB|2＝＋4t－4，當0<α<時，t∈(1,2)．設f(t)＝＋4t－4，易得f(t)在(1,2)上單調遞增， ∴|OA|

16、2＋|OB|2∈(2,5)． 2．(2017·遼寧模擬)以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位．已知直線l的參數方程為(t為參數，0<α<π)，曲線C的極坐標方程為ρsin2θ＝4cosθ. (1)求曲線C的直角坐標方程； (2)設點P的直角坐標為P(2,1)，直線l與曲線C相交于A，B兩點，并且|PA|·|PB|＝，求tanα的值． 解　(1)將方程ρsin2θ＝4cosθ兩邊同乘以ρ，得 ρ2sin2θ＝4ρcosθ， 由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得y2＝4x. 經檢驗，極點的直角坐標(0,0)也滿足此式． 所以曲線C的直角坐標方

17、程為y2＝4x. (2)將代入y2＝4x， 得sin2α·t2＋(2sinα－4cosα)t－7＝0， 因為P(2,1)在直線l上， 所以|t1t2|＝＝，所以sin2α＝，α＝或α＝，即tanα＝或tanα＝－. 3．(2017·湖南長郡中學六模)已知曲線C1： (t為參數)，C2：(θ為參數)． (1)化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線； (2)若C1上的點P對應的參數為t＝，Q為C2上的動點，求PQ的中點M到直線C3：(t為參數)距離的最小值． 解　(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：＋＝1， C1表示圓心是(－4,3)，半徑是1的

18、圓，C2表示中心是坐標原點，焦點在x軸上，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓． (2)當t＝時，P(－4,4)，又Q(8cosθ，3sinθ)， 故M， 又C3的普通方程為x－2y－7＝0，則M到C3的距離 d＝|4cosθ－3sinθ－13|＝|3sinθ－4cosθ＋13| ＝|5sin(θ－φ)＋13|， 所以d的最小值為. 4．(2017·宣城二模)已知極點與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，圓C的極坐標方程是ρ＝asinθ，直線l的參數方程是(t為參數)． (1)若a＝2，直線l與x軸的交點是M，N是圓C上一動點，求|MN|的最大值； (2)直線l被圓C截

19、得的弦長等于圓C的半徑的倍，求a的值． 解　(1)當a＝2時，圓C的直角坐標方程為x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1. ∴圓C的圓心坐標為C(0,1)，半徑r＝1. 令y＝t＝0得t＝0，把t＝0代入x＝－t＋2得x＝2.∴M(2,0)． ∴|MC|＝＝. ∴|MN|的最大值為|MC|＋r＝＋1. (2)由ρ＝asinθ得ρ2＝aρsinθ，∴圓C的直角坐標方程是x2＋y2＝ay，即x2＋2＝. ∴圓C的圓心為C，半徑為， 直線l的普通方程為4x＋3y－8＝0. ∵直線l被圓C截得的弦長等于圓C的半徑的倍， ∴圓心C到直線l的距離為圓C半徑的一半． ∴＝，解得a＝

20、32或a＝. 5．(2017·錦州二模)已知曲線C的極坐標方程是ρ＝4cosθ.以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數方程是(t是參數)． (1)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程； (2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點，且|AB|＝，求直線的傾斜角α的值． 解　(1)∵ρcosθ＝x，ρsinθ＝y(tǒng)，ρ2＝x2＋y2， ∴曲線C的極坐標方程是ρ＝4cosθ可化為： ρ2＝4ρcosθ， ∴x2＋y2＝4x， ∴(x－2)2＋y2＝4. (2)將代入圓的方程(x－2)2＋y2＝4得： (tcosα－1)2＋(tsinα)2＝4

21、， 化簡得t2－2tcosα－3＝0. 設A，B兩點對應的參數分別為t1，t2， 則 ∴|AB|＝|t1－t2|＝＝， ∵|AB|＝， ∴ ＝. ∴cosα＝±. ∵α∈[0，π)， ∴α＝或α＝. ∴直線的傾斜角α＝或α＝. 6．(2017·湖北模擬)在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(α為參數)，在以原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為ρsin＝. (1)求C的普通方程和l的傾斜角； (2)設點P(0,2)，l和C交于A，B兩點，求|PA|＋|PB|. 解　(1)由消去參數α得＋y2＝1， 即C的普通方程為＋y2＝1. 由ρsin＝，得ρsinθ－ρcosθ＝2，(*) 將代入(*)，化簡得y＝x＋2， 所以直線l的傾斜角為. (2)由(1)，知點P(0,2)在直線l上，可設直線l的參數方程為(t為參數)，即(t為參數)， 代入＋y2＝1并化簡，得5t2＋18t＋27＝0， Δ＝(18)2－4×5×27＝108>0， 設A，B兩點對應的參數分別為t1，t2， 則t1＋t2＝－<0，t1t2＝>0， 所以t1<0，t2<0，所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝－(t1＋t2)＝. 11