2019版高考數(shù)學一輪復習 第三章 三角函數(shù)、解三角形 第18講 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)學案

第18講任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)考綱要求考情分析命題趨勢1了解任意角的概念，了解弧度制的概念.2能進行弧度與角度的互化.3理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.2017·北京卷，122016·全國卷，91根據(jù)角的終邊上的點的坐標求三角函數(shù)值.2根據(jù)三角函數(shù)值求參數(shù)值.3利用三角函數(shù)的定義判斷三角函數(shù)的圖象.分值：35分1角的有關概念(1)從運動的角度看，角可分為正角、！負角#和！零角#.(2)從終邊位置來看，角可分為象限角與軸線角.(3)若與是終邊相同的角，則用表示為！2k，kZ#.2弧度與角度的互化(1)1弧度的角長度等于！半徑#的弧所對的圓心角叫做1弧度的角.(2)角的弧度數(shù)如果半徑為r的圓的圓心角所對弧的長為l，那么角的弧度數(shù)的絕對值是|！#.(3)角度與弧度的換算1°！#rad；1 rad！°#.(4)弧長、扇形面積的公式設扇形的弧長為l，圓心角大小為 rad，半徑為r，則l！|r#，扇形的面積為Slr！|·r2#.3任意角的三角函數(shù)(1)定義：設是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么sin ！y#，cos ！x#，tan ！(x0)#；若終邊上有一點P(x，y)(與O不重合)，則sin ，cos ，tan ，其中r.(2)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示.正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是(1,0).如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角的！正弦線#，！余弦線#和！正切線#.1思維辨析(在括號內打“”或“×”).(1)順時針旋轉得到的角是正角.(×)(2)鈍角是第二象限的角.()(3)若兩個角的終邊相同，則這兩個角相等.(×)(4)1弧度的角就是長度為1的弧所對的圓心角.(×)(5)終邊在y軸上的角的正切值不存在.()解析(1)錯誤.順時針旋轉得到的角是負角.(2)正確.鈍角的范圍是，顯然是第二象限的角.(3)錯誤.角180°的終邊與角180°的終邊相同，顯然它們不相等.(4)錯誤.1弧度的角是單位圓中長度為1的弧所對的圓心角.(5)正確.終邊在y軸上的角與單位圓的交點坐標為(0,1)，(0，1).由三角函數(shù)的定義知，角的正切值不存在.2870°的終邊在第幾象限(C)A一B二C三D四解析因870°2×360°150°，150°是第三象限角.3已知角的終邊經過點(，1)，則角的最小正值是(B)ABCD解析sin ，且的終邊在第四象限，.4若sin <0且tan >0，則是(C)A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角解析由sin <0，知在第三、第四象限或終邊在y軸的負半軸上，由tan >0，知在第一或第三象限，因此在第三象限.5弧長為3，圓心角為135°的扇形半徑為！4#，面積為！6#.解析弧長l3，圓心角，由弧長公式l|·r得r4，面積Slr6.一象限角及終邊相同的角象限角和終邊相同的角的判斷及表示方法(1)若要確定一個絕對值較大的角所在的象限，一般是先將角化為2k(0<2)(kZ)的形式，然后再根據(jù)所在的象限予以判斷.(2)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需角.【例1】 (1)寫出終邊在直線yx上的角的集合.(2)若角的終邊與角的終邊相同，求在0,2內終邊與角的終邊相同的角.(3)已知角是第一象限角，試確定2，所在的象限.解析(1)終邊在直線yx上的角的集合為.(2)所有與角終邊相同的角的集合是，所有與角終邊相同的角可表示為k，kZ.在0,2內終邊與角終邊相同的角有，.(3)2k<<2k，kZ，4k<2<4k，k<<k，kZ.2在第一或第二象限或終邊在y軸非負半軸上，角終邊在第一或第三象限.二三角函數(shù)的定義利用三角函數(shù)的定義解題的技巧(1)已知角終邊上一點P的坐標，可求角的三角函數(shù)值.先求P到原點的距離，再用三角函數(shù)的定義求解.(2)已知角的某三角函數(shù)值，可求角終邊上一點P的坐標中的參數(shù)值，可根據(jù)定義中的兩個量列方程求參數(shù)值.(3)已知角的終邊所在的直線方程或角的大小，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角終邊上某特定點的坐標.【例2】 (1)已知角的頂點為坐標原點，始邊為x軸的正半軸，若P(4，y)是角終邊上一點，且sin ，則y！8#.(2)(2017·北京卷)在平面直角坐標系xOy中，角與角均以Ox為始邊，它們的終邊關于y軸對稱.若sin ，則cos()！#.解析(1)r，且sin ，所以sin ，解得y8.(2)因為角與角的終邊關于y軸對稱，所以2k，kZ，所以cos()cos(2k2)cos(2k2)cos 2(12sin2).三扇形的弧長及面積公式的應用(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度.(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決.(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.【例3】 已知扇形的圓心角是，半徑為R，弧長為l.(1)若60°，R10，求扇形的弧長l.(2)若扇形的周長為20，當扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大？(3)若，R2，求扇形的弧所在的弓形的面積.解析(1)l10×.(2)由已知得l2R20，所以SlR(202R)R10RR2(R5)225，所以R5時，S取得最大值25，此時l10，2 rad.(3)設弓形面積為S弓，由題知l，S弓S扇S××2×22×sin .1若sin ·tan <0，且<0，則角是(C)A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角解析由sin ·tan <0可知sin ，tan 異號，從而為第二或第三象限角；由<0，可知cos ，tan 異號，從而為第三或第四象限角.綜上，為第三象限角.2如圖，設點A是單位圓上的一定點，動點P從A出發(fā)在圓上按逆時針方向轉一周，點P所旋轉過的弧的長為l，弦AP的長為d，則函數(shù)df(l)的圖象大致為(C)解析如圖取AP的中點為D，連接OD，連接OP.設DOA，則d2sin ，l2，故d2sin .3若cos ，且角的終邊經過點P(x,2)，則P點的橫坐標x是(D)A2B±2C2D2解析r，由題意得，解得x2.4已知半徑為10的圓O中，弦AB的長為10.(1)求弦AB所對的圓心角的大?。?2)求所在的扇形弧長l及弧所在的弓形的面積S.解析(1)在AOB中，ABOAOB10，所以AOB為等邊三角形.所以弦AB所對的圓心角.(2)由扇形的弧長與扇形面積公式，得l·R×10，S扇形R·l·R2.又SAOBOA·OB·sin 25.所以弓形的面積SS扇形SAOB50.易錯點定義應用錯誤錯因分析：用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值時，要注意點的位置或字母正負的討論.【例1】 已知角的終邊過點P(3a，4a)(a0)，求角的三個三角函數(shù)值，解析根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義可得r5|a|，當a<0時，r5a，sin ，cos ，tan ；當a>0時，r5a，sin ，cos ，tan .【跟蹤訓練1】 已知角的終邊在直線y3x上，求10sin 的值.解析設終邊上任一點為P(k，3k)，則r|k|.當k>0時，rk，sin ，10sin 330；當k<0時，rk，sin ，.10sin 330.綜上，10sin 0.課時達標第18講解密考綱本考點主要考查三角函數(shù)的概念、任意角和弧度制.通常以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn).安排在比較靠前的位置.一、選擇題1將表的分針撥快10分鐘，則分針旋轉過程中形成的角的弧度數(shù)是(C)ABCD解析將表的分針撥快應按順時針方向旋轉，為負角.故A項，B項不正確，又因為撥快10分鐘，故應轉過的角為圓周的，即為×2，故選C2點P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓逆時針方向運動弧長到達點Q，則點Q的坐標為(A)ABCD解析由三角函數(shù)定義可知Q點的坐標(x，y)滿足xcos，ysin.3已知角的終邊經過點(3a9，a2)，且cos 0，sin >0，則實數(shù)a的取值范圍是(A)A(2,3B(2,3)C2,3)D2,3解析由cos 0，sin >0可知，角的終邊在第二象限或y軸的正半軸上，所以有解得2<a3.4(2018·福建三明模擬)設是第二象限角，P(x,4)為其終邊上的一點，且cos x，則sin (A)ABCD解析因為r，cos x，得x3或x3，又因為是第二象限角，則x3，r5，所以sin ，故選A5(2018·安徽合肥模擬)已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y2x上，則cos 2(B)ABCD解析由題意知，tan 2，即sin 2cos ，將其代入sin2cos21中可得cos2，故cos 22cos21，故選B6已知正角的終邊上一點的坐標為，則角的最小值為(D)ABCD解析，角為第四象限角，且sin ，cos ，角的最小值為，故選D二、填空題7在與2 010°終邊相同的角中，絕對值最小的角的弧度數(shù)為.解析2 010°12，與2 010°終邊相同的角中絕對值最小的角的弧度數(shù)為.8設角為第四象限角，并且角的終邊與單位圓交于點P(x0，y0).若x0y0，則cos 2！#.解析由三角函數(shù)的定義，得x0cos ，y0sin . cos sin ，兩邊平方得sin 2，cos 2±±.為第四象限角，sin <0，cos >0，sin cos <0，|sin |>|cos |，cos 2cos2 sin2 <0，cos 2.9設角是第三象限角，且sin，則角是第！四#象限角.解析由是第三象限角，知2k<<2k(kZ)，k<<k(kZ)，知是第二或第四象限角，再由sin，知sin 0，所以只能是第四象限角.三、解答題10已知角終邊上一點P，點P到x軸的距離與到y(tǒng)軸的距離之比為34，且sin <0，求cos 2tan 的值.解析設P(x，y)，則根據(jù)題意，得.sin <0，的終邊只可能在第三、四象限.若點P位于第三象限，可設P(4k，3k)(k>0)，則r5k，從而cos ，tan ，cos 2tan .若點P位于第四象限，可設P(4k，3k)(k>0)，則r5k，從而cos ，tan，cos 2tan .綜上所述，若點P位于第三象限，則cos 2tan ；若點P位于第四象限，則cos 2tan .11已知扇形AOB的周長為8.(1)若這個扇形的面積為3，求圓心角的大??；(2)求這個扇形的面積取得最大值時圓心角的大小和弦AB的長.解析設扇形AOB的半徑為r，弧長為l，圓心角為，(1)由題意可得解得或或6.(2)2rl8，S扇lrr(82r)r(4r)(r2)244，當且僅當r2，即2時，扇形面積取得最大值4.弦長AB2sin 1×24sin 112已知sin <0，tan >0.(1)求角的集合；(2)確定的終邊所在的象限；(3)試判斷tansincos 的符號.解析(1)由sin <0，知的終邊在第三、四象限或y軸的負半軸上；由tan >0，知的終邊在第一、三象限，故的終邊在第三象限，其集合為.(2)由(2k1)<<2k，kZ，得k<<k，kZ，故的終邊在第二、四象限(3)當在第二象限時，tan<0，sin >0，cos <0，所以tansin cos 取正號；當在第四象限時，tan<0，sin <0，cos >0，所以tansin cos 也取正號因此tansin cos 取正號11