2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第4講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 1 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 新人教A版選修4-5

一數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍(重點(diǎn))2.會(huì)利用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題(重點(diǎn)、難點(diǎn))教材整理數(shù)學(xué)歸納法的概念閱讀教材P46P50，完成下列問(wèn)題一般地，當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時(shí)，可以用以下兩個(gè)步驟：(1)證明當(dāng)nn0時(shí)命題成立；(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN，且kn0)時(shí)命題成立，證明_nk1時(shí)命題也成立在完成了這兩個(gè)步驟后，就可以斷定命題對(duì)于不小于n0的所有正整數(shù)都成立這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法證明中，在驗(yàn)證了n1時(shí)命題正確，假定nk時(shí)命題正確，此時(shí)k的取值范圍是()AkNBk1，kNCk1，kN Dk2，kNC數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法，所以k是正整數(shù)，又第一步是遞推的基礎(chǔ)，所以k大于等于1.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式【例1】用數(shù)學(xué)歸納法證明：1.精彩點(diǎn)撥要證等式的左邊共2n項(xiàng)，右邊共n項(xiàng)，f(k)與f(k1)相比左邊增二項(xiàng)，右邊增一項(xiàng)，而且左、右兩邊的首項(xiàng)不同因此，由“nk”到“nk1”時(shí)要注意項(xiàng)的合并自主解答當(dāng)n1時(shí)，左邊1右邊，所以等式成立假設(shè)nk(k1，kN)時(shí)等式成立，即1，則當(dāng)nk1時(shí)，左邊1右邊，所以，nk1時(shí)等式成立由知，等式對(duì)任意nN成立1用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的關(guān)鍵在于“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項(xiàng)，項(xiàng)的多少與n的取值是否有關(guān)由nk到nk1時(shí)，等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng)2利用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式時(shí)要注意兩點(diǎn)：一是要準(zhǔn)確表述nn0時(shí)命題的形式，二是要準(zhǔn)確把握由nk到nk1時(shí)，命題結(jié)構(gòu)的變化特點(diǎn)并且一定要記?。涸谧C明nk1成立時(shí)，必須使用歸納假設(shè)，這是數(shù)學(xué)歸納法證明的核心環(huán)節(jié)1用數(shù)學(xué)歸納法證明：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊12223，右邊1×(2×11)3，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1)時(shí)，等式成立，就是12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)當(dāng)nk1時(shí)，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)22(k1)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，所以nk1時(shí)等式也成立，根據(jù)(1)和(2)可知，等式對(duì)任何nN都成立.用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題【例2】用數(shù)學(xué)歸納法證明：(3n1)·7n1能被9整除(nN)精彩點(diǎn)撥先驗(yàn)證n1時(shí)命題成立，然后再利用歸納假設(shè)證明，關(guān)鍵是找清f(k1)與f(k)的關(guān)系并設(shè)法配湊自主解答(1)當(dāng)n1時(shí)，原式(3×11)×7127，能被9整除，命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN，k1)時(shí)，(3k1)·7k1能被9整除，則當(dāng)nk1時(shí)， 3(k1)1·7k1121(k1)7·7k1(3k1)(18k27)·7k1(3k1)·7k19(2k3)·7k.(3k1)·7k1和9(2k3)·7k都能被9整除， (3k1)·7k19(2k3)·7k能被9整除，即3(k1)1·7k11能被9整除，即當(dāng)nk1時(shí)命題成立由(1)(2)可知，對(duì)任何nN，命題都成立，即(3n1)·7n1能被9整除(nN)1證明本題時(shí)關(guān)鍵是用歸納假設(shè)式子(3k1)·7k1表示nk1時(shí)的式子2用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題關(guān)鍵是利用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)、并項(xiàng)、因式分解等恒等變形的方法去湊假設(shè)、湊結(jié)論，從而利用歸納假設(shè)使問(wèn)題獲證一般地，證明一個(gè)與n有關(guān)的式子f(n)能被一個(gè)數(shù)a(或一個(gè)代數(shù)式g(n) 整除，主要是找到f(k1)與f(k)的關(guān)系，設(shè)法找到式子f1(k)，f2(k)，使得f(k1)f(k)·f1(k)f2(k)2求證：n3(n1)3(n2)3能被9整除證明(1)當(dāng)n1時(shí)，13(11)3(12)336,36能被9整除，命題成立(2)假設(shè)nk(k1，kN)時(shí)，命題成立，即k3(k1)3(k2)3能被9整除，當(dāng)nk1時(shí)，(k1)3(k2)3(k3)3(k1)3(k2)3k33k2·33k·3233k3(k1)3(k2)39(k23k3)，由歸納假設(shè)知，上式中兩項(xiàng)都能被9整除，故nk1時(shí)，命題也成立由(1)和(2)可知，對(duì)nN命題成立證明幾何命題【例3】平面內(nèi)有n(n2，nN)條直線，其中任意兩條不平行，任意三條不過(guò)同一點(diǎn)，那么這n條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)f(n)是多少？并證明你的結(jié)論精彩點(diǎn)撥(1)從特殊入手，求f(2)，f(3)，f(4)，猜想出一般性結(jié)論f(n)；(2)利用數(shù)學(xué)歸納法證明自主解答當(dāng)n2時(shí)，f(2)1 ；當(dāng)n3時(shí)，f(3)3；當(dāng)n4時(shí)，f(4)6.因此猜想f(n)(n2，nN)下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n2時(shí)，兩條相交直線有一個(gè)交點(diǎn)，又f(2)×2×(21)1.n2時(shí)，命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2且kN)時(shí)命題成立，就是該平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k)k(k1)，當(dāng)nk1時(shí)，其中一條直線記為l，剩下的k條直線為l1，l2，lk.由歸納假設(shè)知，剩下的k條直線之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k).由于l與這k條直線均相交且任意三條不過(guò)同一點(diǎn)，所以直線l與l1，l2，l3，lk的交點(diǎn)共有k個(gè)，f(k1)f(k)kk，當(dāng)nk1時(shí)，命題成立由(1)(2)可知，命題對(duì)一切nN且n2時(shí)成立1從特殊入手，尋找一般性結(jié)論，并探索n變化時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)間的關(guān)系2利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是正確分析由nk到nk1時(shí)幾何圖形的變化規(guī)律并結(jié)合圖形直觀分析，要講清原因3在本例中，探究這n條直線互相分割成線段或射線的條數(shù)是多少？并加以證明解設(shè)分割成線段或射線的條數(shù)為f(n)，則f(2)4，f(3)9，f(4)16.猜想n條直線分割成線段或射線的條數(shù)f(n)n2(n2)，下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)當(dāng)n2時(shí)，顯然成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，且kN)時(shí)，結(jié)論成立，f(k)k2.則當(dāng)nk1時(shí)，設(shè)有l(wèi)1，l2，lk，lk1，共k1條直線滿足題設(shè)條件不妨取出直線l1，余下的k條直線l2，l3，lk，lk1互相分割成f(k)k2條射線或線段直線l1與這k條直線恰有k個(gè)交點(diǎn)，則直線l1被這k個(gè)交點(diǎn)分成k1條射線或線段k條直線l2，l3，lk1中的每一條都與l1恰有一個(gè)交點(diǎn)，因此每條直線又被這一個(gè)交點(diǎn)多分割出一條射線或線段，共有k條故f(k1)f(k)k1kk22k1(k1)2，當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論正確由(1)(2)可知，上述結(jié)論對(duì)一切n2且nN均成立.數(shù)學(xué)歸納法的概念探究問(wèn)題1數(shù)學(xué)歸納法中，n取的第一個(gè)值n0是否一定是1?提示n0不一定是1，指適合命題的第一個(gè)正整數(shù)，不是一定從1開(kāi)始2如何理解數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟之間的關(guān)系？提示第一步是驗(yàn)證命題遞推的基礎(chǔ)，第二步是論證命題遞推的橋梁，這兩個(gè)步驟缺一不可，只完成步驟(1)而缺少步驟(2)就作出判斷，可能得出不正確的結(jié)論，因?yàn)閱慰坎襟E(1)無(wú)法遞推下去，即n取n0以后的數(shù)時(shí)命題是否正確，我們無(wú)法判斷同樣只有步驟(2)而缺少步驟(1)時(shí)，也可能得出不正確的結(jié)論，缺少步驟(1)這個(gè)基礎(chǔ)，假設(shè)就失去了成立的前提，步驟(2)也就無(wú)意義了【例4】用數(shù)學(xué)歸納法證明：1aa2an1(a1，nN)，在驗(yàn)證n1成立時(shí)，左邊計(jì)算的結(jié)果是()A1B1aC1aa2 D1aa2a3精彩點(diǎn)撥注意左端特征，共有n2項(xiàng)，首項(xiàng)為1，最后一項(xiàng)為an1.C實(shí)際是由1(即a0)起，每項(xiàng)指數(shù)增加1，到最后一項(xiàng)為an1，所以n1時(shí)，左邊的最后一項(xiàng)應(yīng)為a2，因此左邊計(jì)算的結(jié)果應(yīng)為1aa2.1驗(yàn)證是基礎(chǔ)：找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)，有些問(wèn)題中驗(yàn)證的初始值不一定為1.2遞推是關(guān)鍵：正確分析由nk到nk1時(shí)式子項(xiàng)數(shù)的變化是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法成功證明問(wèn)題的保障4當(dāng)f(k)1，則f(k1)f(k)_.解析f(k1)1，f(k1)f(k).答案1用數(shù)學(xué)歸納法證明：123(2n1)(n1)·(2n1)時(shí)，在驗(yàn)證n1成立時(shí)，左邊所得的代數(shù)式為()A1B13C123 D1234C當(dāng)n1時(shí)左邊所得的代數(shù)式為123.2某個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，如果當(dāng)nk(kN且k1)時(shí)命題成立，則一定可推得當(dāng)nk1時(shí)，該命題也成立現(xiàn)已知n5時(shí)，該命題不成立，那么應(yīng)有()A當(dāng)n4時(shí)，該命題成立B當(dāng)n6時(shí)，該命題成立C當(dāng)n4時(shí)，該命題不成立D當(dāng)n6時(shí)，該命題不成立C若n4時(shí)命題成立，由遞推關(guān)系知n5時(shí)命題成立，與題中條件矛盾，所以n4時(shí)，該命題不成立3用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(n1)(n2)(nn)2n·1·3··(2n1)(nN)時(shí)，從“nk到nk1”左端需乘以的代數(shù)式為()A2k1 B2(2k1)C DB當(dāng)nk時(shí)，等式為(k1)(k2)(kk)2k·1·3··(2k1)當(dāng)nk1時(shí)，左邊(k1)1(k1)2(k1)k(k1)(k1)(k2)(k3)(kk)·(2k1)(2k2)比較nk和nk1時(shí)等式的左邊，可知左端需乘以2(2k1)故選B.4用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1×42×73×10n(3n1)n(n1)2，nN”時(shí)，若n1，則左端應(yīng)為_(kāi)解析當(dāng)n1時(shí)，左端應(yīng)為1×44.答案45用數(shù)學(xué)歸納法證明：1aa2an1(a1，nN)證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊1，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN)時(shí)，等式成立，即1aa2ak1.那么nk1時(shí)，左邊1aa2ak1akak右邊，所以等式也成立由(1)(2)可知，對(duì)任意nN等式均成立- 7 -