2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第12章 選4系列 12.1 坐標(biāo)系學(xué)案 理

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1、 12．1　坐標(biāo)系 [知識(shí)梳理] 1．伸縮變換 設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換φ：的作用下，點(diǎn)P(x，y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱伸縮變換． 2．極坐標(biāo) 一般地，不作特殊說(shuō)明時(shí)，我們認(rèn)為ρ≥0，θ可取任意實(shí)數(shù)． 3．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(ρ，θ)，則它們之間的關(guān)系為： [診斷自測(cè)] 1．概念思辨 (1)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，在極坐標(biāo)系中點(diǎn)與坐標(biāo)也是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．(　　) (2)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(－

2、，)，那么它的極坐標(biāo)可表示為.(　　) (3)過(guò)極點(diǎn)作傾斜角為α的直線的極坐標(biāo)方程可表示為θ＝α或θ＝π＋α.(　　) (4)圓心在極軸上的點(diǎn)(a,0)處，且過(guò)極點(diǎn)O的圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝2asinθ.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．教材衍化 (1)(選修A4－4P15T4)若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則線段y＝1－x(0≤x≤1)的極坐標(biāo)方程為(　　) A．ρ＝，0≤θ≤ B．ρ＝，0≤θ≤ C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤ D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤ 答案　A 解析　∵y＝1－x(0≤

3、x≤1)， ∴ρsinθ＝1－ρcosθ(0≤ρcosθ≤1)； ∴ρ＝.故選A. (2)(選修A4－4P8T5)通過(guò)平面直角坐標(biāo)系中的平移變換和伸縮變換，可以把橢圓＋＝1變?yōu)閳A心在原點(diǎn)的單位圓，求上述平移變換和伸縮變換，以及這兩種變換的合成的變換． 解　先通過(guò)平移變換把橢圓＋＝1變?yōu)闄E圓＋＝1；再通過(guò)伸縮變換把橢圓＋＝1變?yōu)閱挝粓Ax″2＋y″2＝1. 上述兩種變換的合成變換是 3．小題熱身 (1)(2017·東營(yíng)模擬)在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P，則過(guò)點(diǎn)P且平行于極軸的直線方程是(　　) A．ρsinθ＝1 B．ρsinθ＝ C．ρcosθ＝1 D．ρcosθ＝ 答案　A

4、 解析　先將極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)表示，P轉(zhuǎn)化為點(diǎn)x＝ρcosθ＝2cos＝，y＝ρsinθ＝2sin＝1，即(，1)，過(guò)點(diǎn)(，1)且平行于x軸的直線為y＝1，再化為極坐標(biāo)為ρsinθ＝1.故選A. (2)(2016·北京高考)在極坐標(biāo)系中，直線ρcosθ－ρsinθ－1＝0與圓ρ＝2cosθ交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________. 答案　2 解析　將ρcosθ－ρsinθ－1＝0化為直角坐標(biāo)方程為x－y－1＝0，將ρ＝2cosθ化為直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋y2＝1，圓心坐標(biāo)為(1,0)，半徑r＝1，又(1,0)在直線x－y－1＝0上，所以|AB|＝2r＝2. 題型1　平

5、面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換 　　將圓x2＋y2＝1上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得曲線C. (1)求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)直線l：2x＋y－2＝0與C的交點(diǎn)為P1，P2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過(guò)線段P1P2的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程． 由題意找出(x，y)與(x1，y1)的關(guān)系，采用代入法求解． 解　(1)設(shè)(x1，y1)為圓上的點(diǎn)，在已知變換下變?yōu)榍€C上點(diǎn)(x，y)， 依題意，得 由x＋y＝1得x2＋2＝1， 故曲線C的方程為x2＋＝1. (2)由解得或 不妨設(shè)P1(1,0)，P2(0,2)，則線段P1P2的中點(diǎn)

6、坐標(biāo)為，所求直線斜率為k＝， 于是所求直線方程為y－1＝， 化為極坐標(biāo)方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3， 故所求直線的極坐標(biāo)方程為ρ＝. 方法技巧 伸縮變換后方程的求法 平面上的曲線y＝f(x)在變換φ：的作用下的變換方程的求法是將代入y＝f(x)，得＝f，整理之后得到y(tǒng)′＝h(x′)，即為所求變換之后的方程．見(jiàn)典例． 提醒：應(yīng)用伸縮變換時(shí)，要分清變換前的點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)與變換后的坐標(biāo)(x′，y′)． 沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練 求雙曲線C：x2－＝1經(jīng)過(guò)φ：變換后所得曲線C′的焦點(diǎn)坐標(biāo)． 解　設(shè)曲線C′上任意一點(diǎn)P′(x′，y′)， 將代入x2－＝1，得－＝1

7、， 化簡(jiǎn)得－＝1，即－＝1為曲線C′的方程，可見(jiàn)仍是雙曲線，則焦點(diǎn)F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)即為所求． 題型2　極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 　　(2015·全國(guó)卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程； (2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)，設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M，N，求△C2MN的面積． (1)用轉(zhuǎn)化公式；(2)理解ρ1，ρ2的幾何意義，化成ρ的二次方程后，利用韋達(dá)定理求ρ1，ρ2. 解　(1)因?yàn)閤＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所

8、以C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ＝－2，C2的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0. (2)將θ＝代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0， 得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝. 由于C2的半徑為1，所以△C2MN的面積為. 方法技巧 極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化 1．直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程：將公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入直角坐標(biāo)方程并化簡(jiǎn)即可． 2．極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程：通過(guò)變形，構(gòu)造出形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，再應(yīng)用公式進(jìn)行代換．其中方程的兩邊同乘以(或同除以)ρ及方程兩邊平方

9、是常用的變形技巧． 沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練 (2016·北京高考改編)在極坐標(biāo)系中，已知極坐標(biāo)方程C1：ρcosθ－ρsinθ－1＝0，C2：ρ＝2cosθ.求曲線C1，C2的直角坐標(biāo)方程，并判斷兩曲線的形狀． 解　由C1：ρcosθ－ρsinθ－1＝0， ∴x－y－1＝0，表示一條直線． 由C2：ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ. ∴x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1. 所以C2是圓心為(1,0)，半徑r＝1的圓． 題型3　極坐標(biāo)方程的應(yīng)用 　　(2016·全國(guó)卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正

10、半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程； (2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝，求l的斜率． 解方程組利用韋達(dá)定理求|ρ1－ρ2|＝即可． 解　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2＋12ρcosθ＋11＝0. (2)在(1)中建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝α(ρ∈R)． 設(shè)A，B所對(duì)應(yīng)的極徑分別為ρ1，ρ2，將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程，得ρ2＋12ρcosα＋11＝0. 于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11. |AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.由|AB|＝，得cos2α＝，tanα＝±.

11、 所以l的斜率為或－. 方法技巧 極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用的類型及解題策略 1．求極坐標(biāo)方程．可在平面直角坐標(biāo)系中，求出曲線方程，然后再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程． 2．求點(diǎn)到直線的距離．先將極坐標(biāo)系下點(diǎn)的坐標(biāo)、直線方程轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系下點(diǎn)的坐標(biāo)、直線方程，然后利用直角坐標(biāo)系中點(diǎn)到直線的距離公式求解． 3．求線段的長(zhǎng)度．先將極坐標(biāo)系下的點(diǎn)的坐標(biāo)、曲線方程轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系下的點(diǎn)的坐標(biāo)、曲線方程，然后再求線段的長(zhǎng)度． 沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為 (其中α為參數(shù))，曲線C2：(x－1)2＋y2＝1.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)

12、系． (1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的極坐標(biāo)方程； (2)若射線θ＝(ρ>0)與曲線C1，C2分別交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|. 解　(1)由得 所以曲線C1的普通方程為x2＋(y－2)2＝7.把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入(x－1)2＋y2＝1，得(ρcosθ－1)2＋(ρsinθ)2＝1，化簡(jiǎn)得曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ. (2)依題意可設(shè)A，B. 因?yàn)榍€C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－4ρsinθ－3＝0， 將θ＝(ρ>0)代入曲線C1的極坐標(biāo)方程，得 ρ2－2ρ－3＝0，解得ρ1＝3. 同理，將θ＝(ρ>0)代入曲線C2的極坐標(biāo)方程， 得ρ2＝，所以|

13、AB|＝|ρ1－ρ2|＝3－. 1．(2017·南陽(yáng)期末)直線l：y＋kx＋2＝0與曲線C：ρ＝2cosθ有交點(diǎn)，則k的取值范圍是(　　) A．k≤－ B．k≥－ C．k∈R D．k∈R但k≠0 答案　A 解析　由曲線C：ρ＝2cosθ化為ρ2＝2ρcosθ， ∴x2＋y2＝2x， 聯(lián)立化為(1＋k2)x2＋(4k－2)x＋4＝0. ∵直線l與曲線C有交點(diǎn)， ∴Δ＝(4k－2)2－16(1＋k2)≥0， 化為16k≤－12， 解得k≤－. ∴k的取值范圍是k≤－.故選A. 2．(2018·甘谷期末)在極坐標(biāo)系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲線ρ

14、＝2sinθ與ρcosθ＝－1的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由可得sin2θ＝－1，再根據(jù)0≤θ<2π求得2θ＝， ∴θ＝，∴ρ＝2sinθ＝， ∴曲線ρ＝2sinθ與ρcosθ＝－1的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為.故選B. 3．(2017·大慶期中)已知A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)為和，則線段AB中點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵A點(diǎn)的極坐標(biāo)為， ∴xA＝6×cos＝3，yA＝6×sin＝3，∴A(3，3)；同理可得B(－4，－4)． 設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M(m，n)，由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得 ∴線段AB

15、中點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.故選D. 4．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ＝4. (1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|＝16，求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，點(diǎn)B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值． 解　(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(ρ，θ)(ρ>0)，M的極坐標(biāo)為(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由題設(shè)知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝. 由|OM|·|OP|＝16得C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ(ρ>0)． 因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y

16、2＝4(x≠0)． (2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(ρB，α)(ρB>0)． 由題設(shè)知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面積 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα· ＝2≤2＋. 當(dāng)α＝－時(shí)，S取得最大值2＋. 所以△OAB面積的最大值為2＋. [基礎(chǔ)送分 提速狂刷練] 1．(2018·延慶縣期末)在極坐標(biāo)方程中，與圓ρ＝4sinθ相切的一條直線的方程是(　　) A．ρsinθ＝2 B．ρcosθ＝2 C．ρcosθ＝4 D．ρcosθ＝－4 答案　B 解析　ρ＝4sinθ的普通方程為x2＋(y－2)2＝4， 選項(xiàng)B：ρcos

17、θ＝2的普通方程為x＝2. 圓x2＋(y－2)2＝4與直線x＝2顯然相切．故選B. 2．(2017·渭濱區(qū)月考)在極坐標(biāo)系中，A，B，C，則△ABC的形狀為(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形 答案　C 解析　B， ∴OA＝5，OB＝8， OC＝3， ∴∠AOB＝－＝，∠BOC＝－＝，∠AOC＝－＝， 在△AOB中，由余弦定理可得 AB＝＝7， 同理可得，BC＝＝7， AC＝＝7， ∴AB＝BC＝AC， ∴△ABC是等邊三角形．故選C. 3．牛頓在1736年出版的《流數(shù)術(shù)和無(wú)窮級(jí)數(shù)》中，第一個(gè)將極坐標(biāo)系應(yīng)用于表示平

18、面上的任何一點(diǎn)，牛頓在書(shū)中驗(yàn)證了極坐標(biāo)和其他九種坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系．在極坐標(biāo)系下，已知圓O：ρ＝cosθ＋sinθ和直線l：ρsin＝. (1)求O和直線l的直角坐標(biāo)方程； (2)當(dāng)θ∈(0，π)時(shí)，求直線l與圓O的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)． 解　(1)圓O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ， 故圓O的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－x－y＝0， 直線l：ρsin＝，即ρsinθ－ρcosθ＝1， 則直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y＋1＝0. (2)由(1)知圓O與直線l的直角坐標(biāo)方程， 將兩方程聯(lián)立得解得 即圓O與直線l在直角坐標(biāo)系下的公共點(diǎn)為(0,1)， 將(0,1)轉(zhuǎn)

19、化為極坐標(biāo)為. 4．(2018·鄭州模擬)在極坐標(biāo)系中，曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝－2cosθ，ρcos＝1. (1)求曲線C1和C2的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)； (2)過(guò)極點(diǎn)作動(dòng)直線與曲線C2相交于點(diǎn)Q，在OQ上取一點(diǎn)P，使|OP|·|OQ|＝2，求點(diǎn)P的軌跡，并指出軌跡是什么圖形． 解　(1)C1的直角坐標(biāo)方程為(x＋1)2＋y2＝1，它表示圓心為(－1,0)，半徑為1的圓，C2的直角坐標(biāo)方程為x－y－2＝0，所以曲線C2為直線，由于圓心到直線的距離為d＝>1，所以直線與圓相離，即曲線C1和C2沒(méi)有公共點(diǎn)． (2)設(shè)Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，則即① 因?yàn)辄c(diǎn)Q(ρ0，θ0)在

20、曲線C2上， 所以ρ0cos＝1，② 將①代入②，得cos＝1， 即ρ＝2cos為點(diǎn)P的軌跡方程，化為直角坐標(biāo)方程為2＋2＝1，因此點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓． 5．(2017·湖北模擬)在極坐標(biāo)系中，曲線C：ρ＝2acosθ(a>0)，l：ρcos＝，C與l有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)． (1)求a； (2)O為極點(diǎn)，A，B為曲線C上的兩點(diǎn)，且∠AOB＝，求|OA|＋|OB|的最大值． 解　(1)曲線C：ρ＝2acosθ(a>0)，變形ρ2＝2aρcosθ， 化為x2＋y2＝2ax，即(x－a)2＋y2＝a2. ∴曲線C是以(a,0)為圓心，a為半徑的圓． 由l：ρcos＝

21、，展開(kāi)為ρcosθ＋ρsinθ＝，∴l(xiāng)的直角坐標(biāo)方程為x＋y－3＝0. 由題可知直線l與圓C相切，即＝a，解得a＝1. (2)不妨設(shè)A的極角為θ，B的極角為θ＋， 則|OA|＋|OB|＝2cosθ＋2cos＝3cosθ－sinθ ＝2cos， 當(dāng)θ＝－時(shí)，|OA|＋|OB|取得最大值2. 6．(2018·沈陽(yáng)模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2－4ρcos＋6＝0. (1)將極坐標(biāo)方程化為普通方程，并選擇恰當(dāng)?shù)膮?shù)寫出它的參數(shù)方程； (2)若點(diǎn)P(x，y)在圓C上，求x＋y的最大值和最小值． 解　(1)由ρ2－4ρcos＋6＝0，得 ρ2－4ρ＋6＝0， 即ρ2－4ρ＋6＝0， ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋6＝0， 即x2＋y2－4x－4y＋6＝0為所求圓的普通方程， 整理為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－2)2＋(y－2)2＝2， 令x－2＝cosα，y－2＝sinα. 得圓的參數(shù)方程為(α為參數(shù))． (2)由(1)得， x＋y＝4＋(cosα＋sinα)＝4＋2sin， ∴當(dāng)sin＝1時(shí)，x＋y的最大值為6， 當(dāng)sin＝－1時(shí)，x＋y的最小值為2. 故x＋y的最大值和最小值分別是6和2. 11