2022年高三數(shù)學經(jīng)典示范 函數(shù)的表示法（2）教案 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學經(jīng)典示范 函數(shù)的表示法（2）教案 新人教A版 導入新課 思路1.當x>1時,f(x)=x+1;當x≤1時,f(x)=-x,請寫出函數(shù)f(x)的解析式.這個函數(shù)的解析式有什么特點？教師指出本節(jié)課題. 思路2.化簡函數(shù)y=|x|的解析式,說說此函數(shù)解析式的特點,教師指出本節(jié)課題. 推進新課 新知探究 提出問題 ①函數(shù)h(x)=與f(x)=x-1,g(x)=x2在解析式上有什么區(qū)別? ②請舉出幾個分段函數(shù)的例子. 活動：學生討論交流函數(shù)解析式的區(qū)別.所謂“分段函數(shù)”,習慣上指在定義域的不同部分,有不同對應法則的函數(shù).并讓學生結合體會來實際舉例. 討論結果：①函數(shù)

2、h(x)是分段函數(shù),在定義域的不同部分,其解析式不同.說明:分段函數(shù)是一個函數(shù),不要把它誤認為是幾個函數(shù);分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集;生活中有很多可以用分段函數(shù)描述的實際問題,如出租車的計費、個人所得稅納稅額等等. ②例如:y=等. 應用示例 思路1 1.畫出函數(shù)y=|x|的圖象. 活動：學生思考函數(shù)圖象的畫法:①化簡函數(shù)的解析式為基本初等函數(shù);②利用變換法畫出圖象,根據(jù)絕對值的概念來化簡解析式. 解法一：由絕對值的概念,我們有y= 所以,函數(shù)y=|x|的圖象如圖1-2-2-10所示. 圖1-2-2-10 解法二：畫函數(shù)y=x的圖象,將其位于

3、x軸下方的部分對稱到x軸上方,與函數(shù)y=x的圖象位于x軸上方的部分合起來得函數(shù)y=|x|的圖象如圖1-2-2-10所示. 變式訓練 1.已知函數(shù)y= (1)求f{f［f(5)］}的值; (2)畫出函數(shù)的圖象. 分析:本題主要考查分段函數(shù)及其圖象.f(x)是分段函數(shù),要求f{f［f(5)］},需要確定f［f(5)］的取值范圍,為此又需確定f(5)的取值范圍,然后根據(jù)所在定義域代入相應的解析式,逐步求解.畫出函數(shù)在各段上的圖象,再合起來就是分段函數(shù)的圖象. 解：(1)∵5>4,∴f(5)=-5+2=-3.∵-3<0,∴f［f(5)］=f(-3)=-3+4=1. ∵0<1<4,∴f

4、{f［f(5)］}=f(1)=12-2×1=-1,即f{f［f(5)］}=-1. (2)圖象如圖1-2-2-11所示: 圖1-2-2-11 2.課本P23練習3. 3.畫函數(shù)y=(x+1)2,-x,x≤0,x>0的圖象. 步驟:①畫整個二次函數(shù)y=x2的圖象,再取其在區(qū)間(-∞,0］上的圖象,其他部分刪去不要;②畫一次函數(shù)y=-x的圖象,再取其在區(qū)間(0,+∞)上的圖象,其他部分刪去不要;③這兩部分合起來就是所要畫的分段函數(shù)的圖象.如圖1-2-2-12所示. 圖1-2-2-12 函數(shù)y=f(x)的圖象位于x軸上方的部分和y=|f(x)|的圖象相同,函數(shù)y=f(x)的圖象位

5、于x軸下方的部分對稱到上方就是函數(shù)y=|f(x)|的圖象的一部分.利用函數(shù)y=f(x)的圖象和函數(shù)y=|f(x)|的圖象的這種關系,由函數(shù)y=f(x)的圖象畫出函數(shù)y=|f(x)|的圖象. 2.某市“招手即?！惫财嚨钠眱r按下列規(guī)則制定: (1)乘坐汽車5千米以內(nèi)(含5千米),票價2元; (2)5千米以上,每增加5千米,票價增加1元(不足5千米按5千米計算), 如果某條線路的總里程為20千米,請根據(jù)題意,寫出票價與里程之間的函數(shù)解析式,并畫出函數(shù)的圖象. 活動：學生討論交流題目的條件,弄清題意.本例是一個實際問題,有具體的實際意義,根據(jù)實際情況公共汽車到站才能停車,所以行車里程只能

6、取整數(shù)值.由于里程在不同的范圍內(nèi),票價有不同的計算方法,故此函數(shù)是分段函數(shù). 解：設里程為x千米時,票價為y元,根據(jù)題意得x∈(0,20］. 由空調(diào)汽車票價制定的規(guī)定,可得到以下函數(shù)解析式: 圖1-2-2-13 y= 根據(jù)這個函數(shù)解析式,可畫出函數(shù)圖象,如圖1-2-2-13所示. 點評：本題主要考查分段函數(shù)的實際應用,以及應用函數(shù)解決問題的能力.生活中有很多可以用分段函數(shù)描述的實際問題,如出租車的計費、個人所得稅納稅額等等.在列出其解析式時,要充分考慮實際問題的規(guī)定,根據(jù)規(guī)定來求得解析式. 注意：①本例具有實際背景,所以解題時應考慮其實際意義; ②分段函數(shù)的解析式不能寫成幾

7、個不同的方程,而應寫成函數(shù)值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來,并分別注明各部分的自變量的取值情況. 變式訓練xx上海中學高三測試,理7某客運公司確定客票價格的方法是:如果行程不超過100千米,票價是每千米0.5元,如果超過100千米,超過部分按每千米0.4元定價,則客運票價y(元)與行程千米數(shù)x(千米)之間的函數(shù)關系式是________. 分析:根據(jù)行程是否大于100千米來求出解析式. 答案：y= 思路2 1.已知函數(shù)f(x)= (1)求f(-1),f［f(-1)］,f{f［f(-1)］}的值; (2)畫出函數(shù)的圖象. 活動：此函數(shù)是分段函數(shù),應注意在不同的自變量取值范圍

8、內(nèi)有不同的對應關系. 解：(1)f(-1)=0;f[f(-1)]=f(0)=1;f{f[f(-1)]}=f(1)=-12+2×1=1. (2)函數(shù)圖象如圖1-2-2-14所示: 圖1-2-2-14 變式訓練 xx福建廈門調(diào)研,文10若定義運算a⊙b=則函數(shù)f(x)=x⊙(2-x)的值域是________. 分析:由題意得f(x)=畫函數(shù)f(x)的圖象得值域是(-∞,1］. 答案：(-∞,1］ 點評：本題主要考查分段函數(shù)的解析式和圖象.求分段函數(shù)的函數(shù)值時,要注意自變量在其定義域的哪一段上,依次代入分段函數(shù)的解析式.畫分段函數(shù)y=(D1,D2,…,兩兩交集是空集)的圖象步驟是

9、 (1)畫整個函數(shù)y=f1(x)的圖象,再取其在區(qū)間D1上的圖象,其他部分刪去不要; (2)畫整個函數(shù)y=f2(x)的圖象,再取其在區(qū)間D2上的圖象,其他部分刪去不要; (3)依次畫下去; (4)將各個部分合起來就是所要畫的分段函數(shù)的圖象. 2.如圖1-2-2-15所示,在梯形ABCD中,AB=10,CD=6,AD=BC=4,動點P從B點開始沿著折線BC、CD、DA前進至A,若P點運動的路程為x,△PAB的面積為y. 圖1-2-2-15 (1)寫出y=f(x)的解析式,指出函數(shù)的定義域; (2)畫出函數(shù)的圖象并求出函數(shù)的值域. 活動：學生之間相互討論交流,教師幫助學生審題

10、讀懂題意.首先通過畫草圖可以發(fā)現(xiàn),P點運動到不同的位置,y的求法是不同的(如圖1-2-2-16的陰影部分所示). 圖1-2-2-16 可以看出上述三個陰影三角形的底是相同的,它們的面積由其高來定,所以只要由運動里程x來求出各段的高即可.三角形的面積公式為底乘高除以2,則△PAB的面積的計算方式由點P所在的位置來確定. 解：(1)分類討論: ①當P在BC上運動時,易知∠B=60°,則知 y=×10×(xsin60°)=x,0≤x≤4. ②當P點在CD上運動時, y=×10×2=10,4

11、

12、 答案：B 2.已知函數(shù)f(x)= (1)畫出函數(shù)的圖象; (2)求f(1),f(-1),f［f(-1)］的值. 解析:分別作出f(x)在x>0,x=0,x<0段上的圖象,合在一起得函數(shù)的圖象. (1)如圖1-2-2-19所示,畫法略. 圖1-2-2-19 (2)f(1)=12=1,f(-1)==1,f［f(-1)］=f(1)=1. 3.某人驅車以52千米/時的速度從A地駛往260千米遠處的B地,到達B地并停留1.5小時后,再以65千米/時的速度返回A地.試將此人驅車走過的路程s(千米)表示為時間t的函數(shù). 分析:本題中的函數(shù)是分段函數(shù),要由時間t屬于哪個時間段,得到相應

13、的解析式. 解：從A地到B地,路上的時間為=5(小時);從B地回到A地,路上的時間為=4(小時).所以走過的路程s(千米)與時間t的函數(shù)關系式為 s= 拓展提升 問題:已知函數(shù)y=1,f(n+1)=f(n)+2,n=1,n∈N*. (1)求:f(2),f(3),f(4),f(5); (2)猜想f(n),n∈N*. 探究:(1)由題意得f(1)=1,則有 f(2)=f(1)+2=1+2=3, f(3)=f(2)+2=3+2=5, f(4)=f(3)+2=5+2=7, f(5)=f(4)+2=7+2=9. (2)由(1)得 f(1)=1=2×1-1, f(2)=3=2×2-1, f(3)=5=2×3-1, f(4)=7=2×4-1, f(5)=9=2×5-1. 因此猜想f(n)=2n-1,n∈N*. 課堂小結 本節(jié)課學習了:畫分段函數(shù)的圖象;求分段函數(shù)的解析式以及分段函數(shù)的實際應用. 作業(yè) 課本P25習題1.2 B組 3、4. 設計感想 本節(jié)教學設計容量較大,特別是例題條件有圖,建議使用信息技術來完成.本節(jié)重點設計了分段函數(shù),這是課標明確要求也是高考的重點,通過分段函數(shù)問題能夠區(qū)分學生的思維層次,因此教學中應予以重視.