2018年高考數(shù)學(xué) 專題06 三角恒等變換與解三角形教學(xué)案 理

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1、 專題 6 三角恒等變換與解三角形 【2018年高考考綱解讀】 高考對(duì)本內(nèi)容的考查主要有： (1)兩角和(差)的正弦、余弦及正切是C級(jí)要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B級(jí)要求，應(yīng)用時(shí)要適當(dāng)選擇公式，靈活應(yīng)用． (2)正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用，要求是B級(jí)，能夠應(yīng)用定理實(shí)現(xiàn)三角形中邊和角的轉(zhuǎn)化，以及應(yīng)用定理解決實(shí)際問題． 試題類型一般是填空題，同時(shí)在解答題中與三角函數(shù)、向量等綜合考查，構(gòu)成中檔題. 【重點(diǎn)、難點(diǎn)剖析】 1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β?

2、sin αsin β. (3)tan(α±β)＝. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α. (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)tan 2α＝. 3．正弦定理 ＝＝＝2R(2R為△ABC外接圓的直徑)． 變形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. sin A＝，sin B＝，sin C＝. a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. 4．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abco

3、s C. 推論：cos A＝，cos B＝， cos C＝. 5．三角形面積公式 S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C. 6．三角恒等變換的基本思路 (1)“化異為同”，“切化弦”，“1”的代換是三角恒等變換的常用技巧．如1＝cos2θ＋sin2θ＝tan 45°等． “化異為同”是指“化異名為同名”，“化異次為同次”，“化異角為同角”． (2)角的變換是三角變換的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)，＝－等． 7．解三角形的四種類型及求解方法 (1)已知兩角及一邊，利用正弦定理求解． (2)已知兩邊及一邊的對(duì)角，利用正弦定理或余

4、弦定理求解，解的情況可能不唯一． (3)已知兩邊及其夾角，利用余弦定理求解． (4)已知三邊，利用余弦定理求解． 8．利用解三角形的知識(shí)解決實(shí)際問題的思路 把實(shí)際問題中的要素歸入到一個(gè)或幾個(gè)相互關(guān)聯(lián)的三角形中，通過解這樣的三角形即可求出實(shí)際問題的答案．注意要檢驗(yàn)解出的結(jié)果是否具有實(shí)際意義，對(duì)結(jié)果進(jìn)行取舍，從而得出正確結(jié)果. 【題型示例】 題型1、三角變換及應(yīng)用 【例1】【2017山東，理9】在中，角，，的對(duì)邊分別為，，．若為銳角三角形，且滿足，則下列等式成立的是 （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】 所以

5、，選A. 【變式探究】(1)(2016·高考全國乙卷)已知θ是第四象限角，且sin＝，則tan＝________. 解析：基本法：將θ－轉(zhuǎn)化為－. 由題意知sin＝，θ是第四象限角，所以 cos>0，所以cos＝＝. tan＝tan＝－ ＝－＝－＝－. 答案：－ ∴∠B＝－α，∴tan B＝， ∴tan B＝－. 答案：－ (2)若tan α＞0，則(　　) A．sin α＞0　　　　　　　B．cos α＞0 C．sin 2α＞0 D．cos 2α＞0 解析：基本法：由tan α＞0得α是第一或第三象限角，若α是第三象限角，則A，B錯(cuò)；由sin 2α＝2sin

6、 αcos α知sin 2α＞0，C正確；α取時(shí)，cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－＜0，D錯(cuò)．故選C. 速解法：∵tan α＝＞0，即sin αcos α＞0， ∴sin 2α＝2sin αcos α＞0，故選C. 答案：C 【舉一反三】 (2015·新課標(biāo)全國Ⅰ，2)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　) A．－ B. C．－ D. 解析　sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝. 答案　D 【變式探究】(2015·四川，

7、12)sin 15°＋sin 75°的值是________． 解析　sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝sin(15°＋45°)＝sin 60°＝. 答案　 【舉一反三】(2015·江蘇，8)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，則tan β的值為________． 解析　∵tan α＝－2，∴tan(α＋β)＝＝＝，解得tan β＝3. 答案　3 【變式探究】(1)(2014·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)設(shè)α∈，β∈，且tan α＝，則(　　) A．3α－β＝　　　　　　B．2α－β＝ C．3α＋β＝ D．2α＋β＝ (2)(201

8、4·山西)若銳角α滿足2sin α＋2cos α＝3，則tan的值是(　　) A．－3 B．－ C．3 D. 【解析】(1)解法一：由tan α＝，得 ＝， 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin. ∵α∈，β∈， ∴α－β∈，－α∈， ∴由sin(α－β)＝sin，得α－β＝－α， ∴2α－β＝，故選B. 解法二：tan α＝＝ ＝ ＝cot ＝tan＝tan， ∴α＝kπ＋，k∈Z. ∴2α－β＝2kπ＋，k∈Z. 當(dāng)k＝0時(shí)，滿足2α－β＝，故選B. 【感悟提升】 (1)此類

9、問題的著眼點(diǎn)是“一角、二名、三結(jié)構(gòu)”，即一看角的差異，二看名稱的差異，三看結(jié)構(gòu)形式的差異，然后多角度使用三角公式求解． (2)對(duì)于三角函數(shù)中角的求值問題，關(guān)鍵在于“變角”，將“目標(biāo)角”變換成“已知角”．若角所在象限沒有確定，則應(yīng)分情況討論，要注意三角公式的正用、逆用、變形運(yùn)用，掌握其結(jié)構(gòu)特征，還要注意拆角、拼角等技巧的運(yùn)用． (3)求三角函數(shù)的化簡求值問題的一般思路：“五遇六想一引”，即遇正切，想化弦；遇多元，想消元；遇差異，想聯(lián)系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引輔角． 【變式探究】(2015·廣東，11)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a＝，sin B＝

10、，C＝，則b＝________． 解析　因?yàn)閟in B＝且B∈(0，π)，所以B＝或B＝.又C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝.又a＝，由正弦定理得＝，即＝，解得b＝1. 答案　1 考點(diǎn)2、正、余弦定理的應(yīng)用 【例2】【2017課標(biāo)II，理17】的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知， （1）求； （2）若，的面積為，求。 【答案】(1)； (2) b=2 【解析】b=2（1）由題設(shè)及，故 上式兩邊平方，整理得 解得 （2）由，故 又 由余弦定理 及得 所以b=2. 【變式探究】【2016高考山東理數(shù)】 在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知

11、 （Ⅰ）證明：a+b=2c; （Ⅱ）求cosC的最小值. 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） 【解析】 （Ⅱ）由（Ⅰ）知, 所以 ， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立. 故 的最小值為. 【舉一反三】 (2015·福建，12)若銳角△ABC的面積為10，且AB＝5，AC＝8，則BC等于________． 解析　S＝AB·AC·sin A，∴sin A＝，在銳角三角形中A＝，由余弦定理得BC＝＝7. 答案　7 【變式探究】(2015·廣東，11)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，則b＝________． 解析　因?yàn)閟in B＝且B∈(0，

12、π)，所以B＝或B＝.又C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝.又a＝，由正弦定理得＝，即＝，解得b＝1. 答案　1 【舉一反三】(1)(2014·福建)在△ABC中，∠A＝60°，AC＝4，BC＝2，則△ABC的面積等于________． (2)(2014·湖南)如圖，在平面四邊形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝. ①求cos∠CAD的值； ②若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的長． 【命題意圖】(1)本題主要考查正弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化和化歸能力、運(yùn)算求解能力． (2)本題以平面四邊形為載體，考查余弦定理、正弦定理和三角函數(shù)的化

13、簡求值，第一問可利用余弦定理直接求解，第二問需綜合運(yùn)用兩角差的正弦公式和正弦定理． 【答案】(1)2 【解析】(1)解法一：在△ABC中，根據(jù)正弦定理，得＝，所以＝，解得sin B＝1，因?yàn)椤螧∈(0°，120°)，所以∠B＝90°，所以∠C＝30°，所以△ABC的面積S△ABC＝·AC·BC·sin C＝2. 解法二：在△ABC中，根據(jù)正弦定理，得＝，所以＝，解得sin B＝1，因?yàn)椤螧∈(0°，120°)，所以∠B＝90°，所以AB＝＝2， 所以△ABC的面積S△ABC＝·AB·BC＝2. (2)①如題圖，在△ADC中，由余弦定理，得 cos∠CAD＝. 故由題設(shè)知，cos∠

14、CAD＝＝. ②如題圖，設(shè)∠BAC＝α，則α＝∠BAD－∠CAD. 因?yàn)閏os∠CAD＝，cos∠BAD＝－， 所以sin∠CAD＝ ＝＝. sin∠BAD＝ ＝＝. 于是sin α＝sin(∠BAD－∠CAD) ＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD ＝×－×＝. 在△ABC中，由正弦定理，得＝. 故BC＝＝＝3. 【變式探究】△ABC的面積是30，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，cos A＝. (1)求A·A； (2)若c－b＝1，求a的值． 【解析】解　(1)由cos A＝，且0

15、csin A＝30， 所以bc＝156， 所以A·A＝bccos A＝156×＝144. (2)由(1)知bc＝156， 又cos A＝，c－b＝1， 在△ABC中，由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccos A＝(c－b)2＋2bc(1－cos A) ＝1＋2×156× ＝25， 所以a＝5。 【規(guī)律方法】 求解此類問題，一要注意從問題的不斷轉(zhuǎn)化中尋求解題的突破口，如求A·A，需要求出bc，由三角形的面積及cos A，可求出sin A，二要注意求解本題第(2)問時(shí)，應(yīng)該結(jié)合第(1)問中的結(jié)論． 題型三、解三角形的應(yīng)用 【例3】【2017浙江，14】已知△ABC，A

16、B=AC=4，BC=2．?點(diǎn)D為AB延長線上一點(diǎn)，BD=2，連結(jié)CD，則△BDC的面積是______，cos∠BDC=_______． 【答案】 【解析】取BC中點(diǎn)E，DC中點(diǎn)F，由題意：， △ABE中，，， ． 又， ， 綜上可得，△BCD面積為，． 【變式探究】【2016高考山東理數(shù)】（本小題滿分12分） 在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知 （Ⅰ）證明：a+b=2c; （Ⅱ）求cosC的最小值. 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） （Ⅱ）由（Ⅰ）知, 所以 ， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立. 故 的最小值為. 【舉一反三】(2015·新課標(biāo)全國

17、Ⅱ，17)△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍． (1)求； (2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的長． 解　(1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD， S△ADC＝AC·ADsin∠CAD. 因?yàn)镾△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC. 由正弦定理可得＝＝. (2)因?yàn)镾△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝.在△ABD和△ADC中，由余弦定理知 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB， AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC. 故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC

18、2＝6， 由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1. 【變式探究】(2015·浙江，16)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知A＝，b2－a2＝c2. (1)求tan C的值； (2)若△ABC的面積為3，求b的值． 解　(1)由b2－a2＝c2及正弦定理得sin2B－＝sin2C. 所以－cos 2B＝sin2C. 又由A＝，即B＋C＝π，得 －cos 2B＝sin 2C＝2sin Ccos C， 解得tan C＝2. (2)由tan C＝2，C∈(0，π)得 sin C＝，cos C＝， 又因?yàn)閟in B＝sin(A＋C)＝sin， 所以sin

19、B＝， 由正弦定理得c＝b， 又因?yàn)锳＝，bcsin A＝3， 所以bc＝6，故b＝3. 【舉一反三】 (2015·陜西，17)△ABC的內(nèi)角A，B，C 所對(duì)的邊分別為a ，b，c.向量m＝(a，b)與n＝(cos A，sin B)平行． (1)求A； (2)若a＝，b＝2，求△ABC的面積． 解　(1)因?yàn)閙∥n，所以asin B－bcos A＝0， 由正弦定理，得sin Asin B－sin Bcos A＝0， 又sin B≠0，從而tan A＝， 由于0＜A＜π，所以A＝. (2)法一　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，而a＝，b＝2，A＝， 得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0， 因?yàn)閏＞0，所以c＝3， 故△ABC的面積為S＝bcsin A＝. 14