2021中考數(shù)學(xué) 第17講 等腰三角形與直角三角形

第17講 等腰三角形與直角三角形考點(diǎn)1 等腰三角形與等邊三角形等腰三角形概念有兩條邊 的三角形是等腰三角形.性質(zhì)1.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，一般有 條對(duì)稱軸.2.性質(zhì)1：等腰三角形的兩底角 (簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì) ”).3.性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的 、底邊上的 相互重合(簡(jiǎn)寫成“三線合一”).判定等角對(duì) .等邊三角形概念有 條邊相等的三角形叫做等邊三角形.性質(zhì)1.具有一般等腰三角形的所有性質(zhì)；2.等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于 ；3.等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，共有 條對(duì)稱軸.判定1.三個(gè)角都 的三角形是等邊三角形；2.有一個(gè)角是 的等腰三角形是等邊三角形.考點(diǎn)2 直角三角形概念有一個(gè)角是 的三角形叫做直角三角形.性質(zhì)1.直角三角形的兩個(gè)銳角 .2.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的 .3.在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的 .4.勾股定理：在直角三角形中，兩條直角邊a、b的 等于斜邊c的 ，即 =c2.判定1.有一個(gè)角是 或兩個(gè)銳角 的三角形是直角三角形.2.如果三角形一邊上的中線等于這條邊的 ，那么這個(gè)三角形為直角三角形.3.勾股定理的逆定理：如果三角形的兩邊的 等于第三邊的 ，那么這個(gè)三角形是直角三角形.【易錯(cuò)提示】勾股定理應(yīng)用的前提是這個(gè)三角形必須是直角三角形，解題時(shí)，只能在同一直角三角形時(shí)，才能利用它求第三邊長(zhǎng). 1.求等腰三角形腰上的高，在所給條件不確定的條件下，應(yīng)按頂角為銳角和鈍角兩種情況來考慮：(1)當(dāng)頂角為銳角時(shí)，腰上的高在三角形內(nèi)部；(2)當(dāng)頂角為鈍角時(shí)，腰上的高在三角形外部. 2.勾股定理的逆定理是判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形的重要方法，應(yīng)先確定最大邊，然后驗(yàn)證兩條短邊的平方和是否等于最大邊的平方.命題點(diǎn)1 等腰三角形的性質(zhì)與判定例1 (2014·麗水)如圖，在ABC中，AB=AC，ADBC于點(diǎn)D，若AB=6，CD=4，則ABC的周長(zhǎng)是20.【思路點(diǎn)撥】因?yàn)锳BC是等腰三角形，利用三線合一可得BD=CD，即BC=2CD=8，從而求出ABC的周長(zhǎng).方法歸納：解答本題的關(guān)鍵是正確理解等腰三角形三線合一的內(nèi)涵由一推二.1.(2014·菏澤)如圖，直線lmn，等邊ABC的頂點(diǎn)B、C分別在直線n和m上，邊BC與直線n所夾銳角為25°,則的度數(shù)為( ) A.25° B.45° C.35° D.30°2.(2014·河南)在ABC中，按以下步驟作圖：分別以B、C為圓心，以大于BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)M、N；作直線MN交AB于點(diǎn)D，連接CD.若CD=AC，B=25°，則ACB的度數(shù)為 .3.(2014·益陽)如圖，將等邊ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AB與AC重合得ACD，BC的中點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，則EAF的度數(shù)是 .命題點(diǎn)2 直角三角形例2 如圖，在ABC中，ABAC，ADBC，垂足為D，E是AC中點(diǎn)，若DE5，求AB的長(zhǎng).【思路點(diǎn)撥】因?yàn)镈E是直角三角形的中線，利用直角三角形的性質(zhì)可以求出AC的長(zhǎng)，從而求出AB的長(zhǎng).【解答】方法歸納：若題中已知直角三角形的中線長(zhǎng)時(shí)，通常利用直角三角形的性質(zhì)來求邊長(zhǎng).1.如圖，在RtABC中，ACB=90°，AB=10，CD是AB邊上的中線，則CD的長(zhǎng)是( ) A.20 B.10 C.5 D. 2.在RtABC中，A90°，B=60°，BC6.則AB的長(zhǎng)為 .3.如圖，ABC中，B=60°，C=30°，AM是BC邊上的中線，且AM=4.求ABC的周長(zhǎng).(結(jié)果保留根號(hào))命題點(diǎn)3 勾股定理例3 (2013·呼和浩特)如圖所示，在一次課外實(shí)踐活動(dòng)中，同學(xué)們要測(cè)量某公園人工湖兩側(cè)A，B兩個(gè)涼亭之間的距離，現(xiàn)測(cè)得AC=30 m，BC=70 m，CAB=120°，請(qǐng)計(jì)算A，B兩個(gè)涼亭之間的距離.【思路點(diǎn)撥】作一條高線CD，構(gòu)造直角三角形，利用CAB=120°和AC=30 m求出CD和AD；然后在RtCDB中利用勾股定理求出DB的長(zhǎng).【解答】方法歸納：利用勾股定理解決實(shí)際問題的前提條件是有直角三角形，作垂線構(gòu)造直角三角形是解決這類問題的關(guān)鍵.1.(2014·濱州)下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是( ) A.4，5，6 B.1.5，2，2.5 C.2，3，4 D.1，32.(2013·安順)如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米.一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行( ) A.8米 B.10米 C.12米 D.14米3.(2014·宜賓)菱形的周長(zhǎng)為20 cm，兩個(gè)相鄰的內(nèi)角的度數(shù)之比為12，則較長(zhǎng)的對(duì)角線長(zhǎng)度是 cm.4.某校八年級(jí)(3)班開展了手工制作競(jìng)賽，每個(gè)同學(xué)都在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成一件手工作品.陳莉同學(xué)在制作手工作品的第一、二個(gè)步驟是：先裁下了一張長(zhǎng)BC=20 cm，寬AB=16 cm的矩形紙片ABCD，將紙片沿著直線AE折疊，點(diǎn)D恰好落在BC邊上的F處，請(qǐng)你根據(jù)步驟解答下列問題：(1)找出圖中FEC的余角；(2)計(jì)算EC的長(zhǎng).第1課時(shí) 基礎(chǔ)訓(xùn)練1.(2013·畢節(jié))已知等腰三角形一邊長(zhǎng)為4，另一邊長(zhǎng)為8，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為( )A.16 B.20或16 C.20 D.122.(2013·成都)如圖，在ABC中，B=C，AB=5，則AC的長(zhǎng)為( )A.2 B.3 C.4 D.53.(2014·宜昌)如圖，在ABC中，AB=AC，A=30°,以B為圓心，BC的長(zhǎng)為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)D，連接BD，則ABD=( )A.30° B.45° C.60° D.90°4.已知：如圖，lm，等邊ABC的頂點(diǎn)B在直線m上，邊BC與直線m所夾銳角為20°，則的度數(shù)為( )A.60° B.45° C.40° D.30°5.如圖所示，在RtABC中，C=90°,A=30°,BD是ABC的平分線，CD=5 cm,則AB的長(zhǎng)為( )A.5 cm B. cm C.10 cm D. cm6.(2014·南充)如圖，在ABC中，ABAC，且D為BC上一點(diǎn)，CDAD，ABBD，則B的度數(shù)為( )A.30° B.36° C.40° D.45°7.如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC6 cm、BC8 cm，現(xiàn)將ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則BE的長(zhǎng)為( )A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm8.(2014·樂山)如圖，ABC的頂點(diǎn)A、B、C在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，BDAC于點(diǎn)D.則CD的長(zhǎng)為( )A. B. C. D. 9.(2013·綿陽)如圖，AC、BD相交于O，ABDC，AB=BC，D=40°，ACB=35°，則AOD= .10.(2013·聊城)如圖，在等邊ABC中，AB=6，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).將ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后得到ACE，那么線段DE的長(zhǎng)度為 .11.(2013·黔西南)如圖，ABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則E= 度.12.(2013·桂林)如圖，在ABC中，CA=CB，ADBC，BEAC，AB=5，AD=4，則AE= .13.(2013·莆田)如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2，5，1，2.則最大的正方形E的面積是 .14.(2014·寧波)為解決停車難的問題，在如圖一段長(zhǎng)56米的路段開辟停車位，每個(gè)車位是長(zhǎng)5米寬2.2米的矩形，矩形的邊與路的邊緣成45°角，那么這個(gè)路段最多可以劃出 個(gè)這樣的停車位.(=1.4)15.(2014·衡陽)如圖，在ABC中，AB=AC，BD=CD，DEAB于點(diǎn)E，DFAC于點(diǎn)F.求證：BEDCFD.16.(2014·菏澤)在ABC中，AD平分BAC，BDAD，垂足為D，過D作DEAC，交AB于E，若AB5，求線段DE的長(zhǎng).17.已知：如圖，在RtABC中，BAC=90°,點(diǎn)D在BC邊上，且ABD是等邊三角形.若AB=2,求ABC的周長(zhǎng).(結(jié)果保留根號(hào))18.(2014·襄陽)如圖，在ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，BD與CE交于點(diǎn)O，給出下列三個(gè)條件：EBO=DCO；BE=CD；OB=OC.(1)上述三個(gè)條件中，由哪兩個(gè)條件可以判定ABC是等腰三角形？(用序號(hào)寫出所有成立的情形)(2)請(qǐng)選擇(1)中的一種情形，寫出證明過程.19.如圖1，ABC中，ABC、ACB的平分線交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作BC平行線交AB、AC于E、F.(1)請(qǐng)寫出圖1中線段EF與BE、CF間的關(guān)系，并說明理由.(2)如圖2，ABC中ABC的平分線與ABC的外角平分線交于O，過點(diǎn)O作BC的平行線交AB于E，交AC于F.這時(shí)EF與BE、CF的關(guān)系又如何？請(qǐng)直接寫出關(guān)系式，不需要說明理由.第2課時(shí) 能力訓(xùn)練1.等腰三角形一腰長(zhǎng)為5，一邊上的高為3，則底邊長(zhǎng)為 .2.已知等腰ABC中，ADBC于點(diǎn)D，且AD=BC，則ABC底角的度數(shù)為( )A.45° B.75° C.45°或15°或75° D.60°3.(2014·荊門)如圖，在第1個(gè)A1BC中，B30°，A1BCB；在邊A1B上任取一點(diǎn)D，延長(zhǎng)CA1到A2，使A1A2A1D，得到第2個(gè)A1A2D；在邊A2D上任取一點(diǎn)E，延長(zhǎng)A1A2到A3，使A2A3A2E，得到第3個(gè)A2A3E，按此做法繼續(xù)下去，則第n個(gè)三角形中以An為頂點(diǎn)的內(nèi)角度數(shù)是( )A.()n·75° B.()n-1·65° C.()n-1·75° D.()n·85°4.(2014·荊門)如圖1，正方形ABCD的邊AB、AD分別在等腰直角AEF的腰AE、AF上，點(diǎn)C在AEF內(nèi)，則有DF=BE(不必證明).將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度(0°<<90°)后，連接BE、DF.請(qǐng)?jiān)趫D2中用實(shí)線補(bǔ)全圖形，這時(shí)DF=BE還成立嗎？請(qǐng)說明理由.5.(2014·自貢)如圖，四邊形ABCD是正方形，BEBF，BEBF，EF與BC交于點(diǎn)G.(1)求證：AECF；(2)若ABE55°，求EGC的大小.6.(2014·泰安)如圖ABC90°，D、E分別在BC、AC上，ADDE，且AD=DE，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，F(xiàn)D與AB相交于點(diǎn)M.(1)求證：FMC=FCM;(2)AD與MC垂直嗎？并說明理由.7.(2013·牡丹江)在ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB為邊向ABC外作ABD，使ABD為等腰直角三角形，求線段CD的長(zhǎng).8.某課題學(xué)習(xí)小組對(duì)地圖上的A、B、E、F、G、H、P、C八處地點(diǎn)進(jìn)行觀察、分析.如圖所示，在討論中得到了B=C=60°，B、F、H、C都在線段BC上，EFGHAC，PHGFAB的正確結(jié)論.接著又有兩位同學(xué)各自提出了如下一個(gè)結(jié)論：甲：ABC、BEF、FGH、HPC均為等邊三角形.乙：線路BAC與線路BEFGHPC一樣長(zhǎng).(1)請(qǐng)分別指出甲、乙兩位同學(xué)的結(jié)論是否正確？(2)將(1)中你認(rèn)為正確的結(jié)論給予證明.9.(2014·河南)(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖1，ACB和DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連接BE.填空：AEB的度數(shù)為 ；線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是 .(2)拓展探究如圖2，ACB和DCE均為等腰直角三角形，ACB=DCE=90°,點(diǎn)A、D、E在同一直線上，CM為DCE中DE邊上的高，連接BE.請(qǐng)判斷AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.10.如圖1，在ABC中，AEBC于E，AE=BE，D是AE上的一點(diǎn)，且DE=CE，連接BD、AC.(1)試判斷BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明理由.(2)如圖2，若將DCE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)一定的角度后，試判斷BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，并說明理由.(3)如圖3，若將(2)中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變，試猜想BD與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.你能求出BD與AC的夾角度數(shù)嗎？如果能，請(qǐng)直接寫出夾角度數(shù)；如果不能，請(qǐng)說明理由.參考答案考點(diǎn)解讀相等 一 相等 等角 中線 高 等邊 三 60° 三相等 60° 直角 互余 一半 一半 平方和 平方 a2+b2直角 互余 一半 平方和 平方各個(gè)擊破例1 20題組訓(xùn)練 1.C 2.105° 3.60°例2 ADBC，E是AC中點(diǎn)，DE5，AC=2DE=10.AB=AC，AB=10.題組訓(xùn)練 1.C 2.33.B=60°，C=30°，CAB=180°-B-C=90°.又AM是BC邊上的中線，AM=BC.又AM=4，BC=2AM=8.在RtABC中，C=30°，AB=BC=4，AC=4.ABC的周長(zhǎng)為AB+BC+AC=12+4.例3 過點(diǎn)C作CDAB，垂足為D.AC=30 m，CAB=120°，AD=15 m，則CD=15 m.在RtBDC中，BD=65(m)，AB=BD-AD=65-15=50(m).題組訓(xùn)練 1.B 2.B 3.4.(1)CFE、BAF.(2)設(shè)EC=x cm.則EF=DE=(16-x)cm，AF=AD=20 cm.在RtABF中，BF=12 cm，F(xiàn)C=BC-BF=20-12=8(cm).在RtEFC中，EF2=FC2+EC2，(16-x)2=82+x2，解得x=6.EC的長(zhǎng)為6 cm.整合集訓(xùn)第1課時(shí) 基礎(chǔ)訓(xùn)練1.C 2.D 3.B 4.C 5.D 6.B 7.B 8.C 9.75° 10. 11.15 12.3 13.10 14.1715.證明：DEAB，DFAC，BED=CFD=90°.AB=AC，B=C.在BED和CFD中，BEDCFD.16.AD平分BAC，EADCAD.DEAC，CADADE，EADADE，AEDE.BDAD，ADB=90°，EADABD90°，ADEBDEADB=90°，ABDBDE.DEBE，DEAB×52.5.17.ABD是等邊三角形，B=60°.在RtBAC中，C=30°，AB=2，BC=2AB=4，AC=2,ABC的周長(zhǎng)為AB+BC+AC=2+4+2=6+2.18.(1)；.(2)選證明如下，證明：OB=OC，OBC=OCB.又EBO=DCO，ABC=EBO+OBC，ACB=DCO+OCB，ABC=ACB，AB=AC，即ABC是等腰三角形.19.(1)EF=BE+CF.理由如下：OB平分ABC，ABO=OBC.EFBC，EOB=OBC，ABO=EOB，EO=BE.同理可證：OF=CF.EF=BE+CF.(2)EF=BE-CF.理由如下：理由：OB平分ABC，ABO=OBC.EFBC，EOB=OBC,ABO=EOB.EO=BE.同理可得：OF=CF.EF=OE-OF=BE-CF.第2課時(shí) 能力訓(xùn)練1.8或或 2.C 3.C4.補(bǔ)全圖形如圖所示.DF=BE還成立，理由是：正方形ABCD和等腰AEF，AD=AB,AF=AE,FAE=DAB=90°.FAD=EAB.在ADF和ABE中，ADFABE(SAS)，DF=BE.5.(1)證明：四邊形ABCD是正方形，AB=BC，ABC90°.BEBF，EBF90°，ABECBF.AB=BC，ABECBF，BEBF，ABECBF,AECF.(2)BEBF，EBF90°，BEF45°.ABC90°，ABE55°，GBE35°,EGCGBE+BEF80°.6.（1）證明：ADE是等腰直角三角形，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，DFAE,DF=AF=EF.又ABC=90°，DCF,AMF都與MAC互余，DCF=AMF.又DFCAFM90°，DFCAFM.CF=MF,FMC=FCM.(2)ADMC.理由如下：由(1)知MFC=90°,FD=FE,FM=FC，F(xiàn)DE=FMC=45°,DECM，ADMC.7.AC=4，BC=2，AB=2，AC2+BC2=AB2，即ACB為直角三角形，且ACB=90°.分三種情況：如圖1，過點(diǎn)D作DECB，垂足為點(diǎn)E.易證ACBBED，易得CD=2.如圖2，過點(diǎn)D作DECA，垂足為點(diǎn)E.易證ACBDEA，易得CD=2.如圖3，過點(diǎn)D作DECB，垂足為點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AFDE，垂足為點(diǎn)F.易證AFDDEB，易得CD=3.8.(1)甲、乙的結(jié)論都正確.(2)證明：甲的結(jié)論：B=C=60°，則A=60°.ABC是等邊三角形.又EFAC，EFB=60°，B=60°，則BEF=60°.BEF是等邊三角形，同理可證FGH、HPC是等邊三角形.乙的結(jié)論：BEF、FGH、HPC都是等邊三角形，BE+EF=2BF，F(xiàn)G+GH=2FH，HP+PC=2HC，BE+EF+FG+GH+HP+PC=2(BF+FH+HC)=2BC.又ABC為等邊三角形，AB+AC=2BC，AB+AC=BE+EF+FG+GH+HP+PC.即甲、乙的結(jié)論都正確.9.(1)60°AD=BE.(2)AEB90°；AE=2CM+BE.理由：ACB和DCE均為等腰直角三角形，ACB=DCE=90°,AC=BC,CD=CE,ACB-DCB=DCE-DCB,即ACD=BCE,ACDBCE,AD=BE,BEC=ADC=135°,AEB=BEC-CED=135°-45°=90°.在等腰直角三角形DCE中，CM為斜邊DE上的高，CM=DM=ME,DE=2CM.AE=DE+AD=2CM+BE.10.(1)BD與AC的位置關(guān)系是：BDAC，數(shù)量關(guān)系是BD=AC.理由如下：如圖1，延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)F.AEBC于E，BED=AEC=90°.又AE=BE，DE=CE，DBECAE，BD=AC，DBE=CAE，BDE=ACE.BDE=ADF,ADF=ACE.ACE+CAE=90°，ADF+CAE=90°，BDAC.(2)如圖2，AEB=DEC=90°，AEB+AED=DEC+AED，即BED=AEC.AE=BE，DE=CE，BEDAEC,BD=AC，BDE=ACE，DBE=CAE.BFC=ACD+CDE+BDE=ACD+CDE+ACE=90°，BDAC.(3)BD與AC的數(shù)量關(guān)系是：BD=AC.ABE和DCE是等邊三角形,AEB=ABE=60°，AE=BE，DEC=DCE=60°，DE=CE，AEB+AED=DEC+AED，即BED=AEC,BEDAEC.BD=AC.BD與AC的夾角度數(shù)為60°或120°.15