2022年高三數(shù)學(xué) 圓的6個(gè)考點(diǎn)的典型例題

2022年高三數(shù)學(xué) 圓的6個(gè)考點(diǎn)的典型例題【典型例題】考點(diǎn)一研究直線與圓的位置關(guān)系例1  已知直線過(guò)點(diǎn)（2，），當(dāng)直線與圓x2y22x有兩個(gè)不同交點(diǎn)時(shí)，求斜率k的取值范圍。法一：設(shè)直線L的方程為：yk（x2），與圓的方程聯(lián)立，代入圓的方程令>0可得：。法二：設(shè)直線L的方程為：yk（x2），利用圓心到直線的距離dOL0，R可解得：。 考點(diǎn)二研究圓的切線例2  直線yxb與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求b的取值范圍。分析：作出圖形后進(jìn)行觀察，以找到解決問(wèn)題的思路。解：曲線即x2y21（x0），當(dāng)直線yxb與之相切時(shí)，滿足：由觀察圖形可知：當(dāng)或時(shí)，它們有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)。 例3  過(guò)點(diǎn)P（1，2）作圓x2y25的切線L，求切線L的方程。解：因P點(diǎn)在圓上，故可求切線L的方程為x2y5。說(shuō)明：過(guò)圓x2y2DxEyF0上一點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程為：如果是過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，其切線方程的求解應(yīng)利用0或利用圓心到直線的距離等于半徑進(jìn)行。 考點(diǎn)三求圓的切線長(zhǎng)例4  過(guò)點(diǎn)P（2，3）作圓x2y25的切線L，切點(diǎn)為M，求切線段LM的長(zhǎng)。分析：數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造三角形求LM，如圖。解：說(shuō)明：自圓x2y2DxEyF0外一點(diǎn)P（x0，y0）向圓所引切線段的長(zhǎng)為： 考點(diǎn)四研究?jī)蓤A的位置關(guān)系例5  求過(guò)兩圓x2y210和x2y24x0的交點(diǎn)且與直線相切的圓的方程。解：設(shè)所求圓的方程為x2y21（x2y24x）0，整理后得：因?yàn)樵搱A與直線相切，故圓心到直線的距離等于半徑，即：代入即可得所求圓的方程為：3x23y232x110.說(shuō)明：利用過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓系方程求解比較簡(jiǎn)潔。過(guò)兩定圓交點(diǎn)的圓系方程為：，、不同時(shí)為0，兩邊同除以（或），則該方程只有一個(gè)待求參數(shù)。 考點(diǎn)五研究?jī)上嘟粓A的公共弦所在直線方程例6  求兩圓x2y210和x2y24x0的交點(diǎn)弦所在的直線方程。解：聯(lián)立兩圓方程，消去平方項(xiàng)得4x10即為交點(diǎn)弦所在的直線方程。說(shuō)明：相交兩圓的公共弦或相外切兩圓的內(nèi)公切線或相內(nèi)切兩圓的公切線所在的直線方程的求解均可采用“交軌法”，將兩圓方程的平方項(xiàng)消去，所得的二元一次方程即為所求的直線方程。 考點(diǎn)六與圓有關(guān)的其它問(wèn)題例7  求圓x2y24x0關(guān)于直線xy1對(duì)稱的圓的方程。解：圓x2y24x0的圓心為P（2，0），半徑為2；P關(guān)于直線xy1對(duì)稱的點(diǎn)Q的坐標(biāo)可求得為（1，1），故所求對(duì)稱圓的方程為：（x1）2（y1）24說(shuō)明：關(guān)于直線對(duì)稱的兩圓半徑是相同的，其圓心關(guān)于該直線對(duì)稱，故只需求出圓心的對(duì)稱點(diǎn)即可。 例8  已知點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足x2y24x0，M（8，6），求PM的中點(diǎn)Q所在的曲線方程。解：設(shè)點(diǎn)Q（x，y），P（x0，y0），則由Q是PM的中點(diǎn)知：x02x8，y02y6。又P在x2y24x0上，故有（2x8）2（2y6）24（2x8）0，整理即得Q點(diǎn)所在曲線方程為：x2y210x6y330。