2022年高中數(shù)學(xué) 1.2.1任意角的三角函數(shù)的定義及其應(yīng)用（一）學(xué)案 新人教A版必修4

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 1.2.1任意角的三角函數(shù)的定義及其應(yīng)用（一）學(xué)案 新人教A版必修4 1．理解并掌握任意角的三角函數(shù)的定義及其表示，能熟練求三角函數(shù)的值． 2．理解并掌握三角函數(shù)線(xiàn)的幾何表示，能利用三角函數(shù)線(xiàn)確定三角函數(shù)值的取值范圍或角的取值范圍． 一、任意角的三角函數(shù) 1．單位圓：在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為圓心，以單位長(zhǎng)度為半徑的圓稱(chēng)為單位圓． 2．三角函數(shù)的定義：設(shè)角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合．在直角坐標(biāo)系中，角α終邊與單位圓交于一點(diǎn)P(x，y)，則r＝|OP|＝1.那么： (1)y叫做α的正弦，記作sin α，即y＝sin α； (2)x叫做

2、α的余弦，記作cos α，即x＝cos α； (3)叫做α的正切，記作tan α，即＝tan α(x≠0)． 正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們把它們統(tǒng)稱(chēng)為三角函數(shù)． 練習(xí)1：已知角A的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P0，求角α的正弦、余弦和正切值． 解析：由三角函數(shù)定義知， sin α＝y(tǒng)＝，cos α＝x＝－，tan α＝＝－. 1．三角函數(shù)的值與點(diǎn)P在終邊上的位置有關(guān)系嗎？ 解析：利用三角形的相似性可知任意角α的三角函數(shù)值只與α有關(guān)，而與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)．對(duì)于α角的終邊上任意一點(diǎn)P，設(shè)其坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r＝>0.

3、 (1)比值叫做α的正弦，記作sin α，即sin α＝；(2)比值叫做α的余弦，記作cos α，即cos α＝； (3)比值叫做α的正切，記作tan α，即tan α＝.點(diǎn)P在單位圓上是一種特殊情形． 二、三角函數(shù)值在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào) 1．由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)，可以確定三角函數(shù)在各象限的符號(hào)． sin α＝，其中r>0，于是sin α的符號(hào)與y的符號(hào)相同，即：當(dāng)α是第一、二象限角時(shí)，sin α>0；當(dāng)α是第三、四象限角時(shí)，sin α<0. cos α＝，其中r>0，于是cos α的符號(hào)與x的符號(hào)相同，即：當(dāng)α是第一、四象限角時(shí)，cos α>0；當(dāng)α是第二、

4、三象限角時(shí)，cos α<0. tan α＝，當(dāng)x與y同號(hào)時(shí)，它們的比值為正，當(dāng)x與y異號(hào)時(shí)，它們的比值為負(fù)，即：當(dāng)α是第一、三象限角時(shí)，tan α>0；當(dāng)α是第 二、四象限角時(shí)，tan α<0. 2．根據(jù)終邊所在位置總結(jié)出形象的識(shí)記口訣1： “sin α＝：上正下負(fù)橫為0；cos α＝：左負(fù)右正縱為0；tan α＝：交叉正負(fù)”． 形象的識(shí)記口訣2：“一全正二正弦，三正切四余弦”． 練習(xí)2：已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P0(－3，－4)，求角α的正弦、余弦和正切值． 解析：∵r＝＝5， ∴sin α＝－，cos α＝－，tan α＝. 2．你知道形象的識(shí)記口訣的意思嗎？ 解析： 口訣

5、：“一全正二正弦，三正切四余弦”，意為：第一象限各個(gè)三角函數(shù)均為正；第二象限只有正弦為正，其余兩個(gè)為負(fù)；第三象限正切為正，其余兩個(gè)為負(fù)；第四象限余弦為正，其余兩個(gè)為負(fù)． 三、誘導(dǎo)公式一 由定義可知，三角函數(shù)值是由角的終邊的位置確定的，因此，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等，這樣就有下面的一組公式(誘導(dǎo)公式一)： sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α，tan(2kπ＋α)＝tan α，k∈Z. 3．公式一中的角α一定是銳角嗎？ 解析：公式一中的角α為任意角，公式一都成立． 四、三角函數(shù)的定義域 三角函數(shù) sin α cos α tan α

6、 定義域 R R 　　　　　　　　　 　　　　　 4．三角函數(shù)線(xiàn)有哪些特征？應(yīng)用三角函數(shù)線(xiàn)體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想方法？ 解析： (1)三條有向線(xiàn)段的位置：正弦線(xiàn)為α的終邊與單位圓的交點(diǎn)到x軸的垂直線(xiàn)段；余弦線(xiàn)在x軸上；正切線(xiàn)在過(guò)單位圓與x軸正方向的交點(diǎn)的切線(xiàn)上，三條有向線(xiàn)段中兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外． (2)三條有向線(xiàn)段的方向：正弦線(xiàn)由垂足指向α的終邊與單位圓的交點(diǎn)；余弦線(xiàn)由原點(diǎn)指向垂足；正切線(xiàn)由切點(diǎn)指向與α的終邊的交點(diǎn)． (3)三條有向線(xiàn)段的正負(fù)：三條有向線(xiàn)段與x軸或y軸同向的為正值，與x軸或y軸反向的為負(fù)值． (4)三條有向線(xiàn)段的書(shū)寫(xiě)：有向線(xiàn)段的起點(diǎn)字母在前

7、，終點(diǎn)字母在后面． 應(yīng)用三角函數(shù)線(xiàn)解決問(wèn)題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法． 1．若－<α<0，則點(diǎn)Q(cos α，sin α)位于(D) A．第一象限　　　　　　　B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析： ∵－<α<0，則cos α>0，sin α<0，故選D. 2．已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P，則cos α＝(B) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D．± 解析： ∵點(diǎn)P是單位圓上一點(diǎn)，則cos α＝x＝， 故選B. 3．有下列四個(gè)命題： ①終邊相同的角的同名三角函數(shù)的值相等； ②終邊不同的角的同名三角函數(shù)的值不相等； ③若sin α>0，則

8、α是第一或第二象限角； ④若α是第二象限角，且P(x，y)是其終邊上一點(diǎn)，則cos α＝ . 其中，不正確命題的個(gè)數(shù)是(C) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 解析： ①正確；②不正確；③不正確，例：α＝也成立；④不正確．故選C. 4．若sin α<0且tan α>0，則α(C) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：∵sin α<0，∴α在第三、四象限． 又∵tan α>0，∴α在第一、三象限．故α在第三象限． 1．角α的終邊落在y＝－x(x>0)上，則sin α的值等于(D) A．±　　　B.　　　C．±　　

9、　D．－ 2．sin 330°等于(B) A．－ B．－ C. D. 3．若角α的終邊上有一點(diǎn)P(－4a，3a)(a≠0)，則2sin α＋cos α的值是(B) A. B.或－ C．－ D．與a有關(guān)但不能確定 解析：當(dāng)a＞0時(shí)，sin α＝，cos α＝－，2sin α＋cos α＝；當(dāng)a＜0時(shí)，為－. 4．點(diǎn)P從(－1，0)出發(fā)，沿單位圓x2＋y2＝1順時(shí)針運(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)Q點(diǎn)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(A) A. B. C. D. 解析：旋轉(zhuǎn)角為－，此時(shí)點(diǎn)Q所在終邊對(duì)應(yīng)的角為， ∴x＝cos＝－，y＝sin＝.故選A. 5．sin 1

10、 485°的值為(B) A. B. C. D．－ 解析：sin 1 485°＝sin(4×360°＋45°)＝sin 45°＝. 6．若α是第二象限角，P(x，)為其終邊上一點(diǎn)，且cos α＝x，則sin α的值為(A) A. B. C. D．－ 解析：∵α是第二象限角，∴x<0，∴r＝|OP|＝， 故cos α＝＝x，解得x＝－， ∴r＝＝2，∴sin α＝＝＝，故選A. 7．sin 2·cos 3·tan 4的值的符號(hào)為_(kāi)_______． 解析：∵<2<π，∴sin 2>0. ∵<3<π，∴cos 3<0. ∵π<4<，∴tan 4>0. 則sin

11、2·cos 3·tan 4為負(fù)值． 答案：負(fù) 8．已知α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3a－9，a＋2)且cos α≤0，sin α>0，則a的取值范圍是________． 答案：(－2，3] 9．確定三角函數(shù)式的符號(hào)． 解析：∵－π<－3<－，∴tan(－3)>0. ∵<5<2π，∴cos 5>0.∵<8<3π，∴sin 8>0. ∴>0. 10．已知sin x<0，且tan x>0. (1)求角的終邊所在的象限； (2)試判斷tan與sin ·cos 的符號(hào)． 解析：(1)∵sin x<0，且tan>0，∴x是第三象限角． ∴2kπ＋π

12、＋π(k∈Z)， ∴角的終邊在第二或第四象限． (2)由(2)得tan<0，sin· cos<0. 1．三角函數(shù)的定義． (1)可以用角的終邊上任一點(diǎn)的坐標(biāo)的“比值”來(lái)定義三角函數(shù)． 設(shè)α是一個(gè)任意角，α的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x，y)，P與原點(diǎn)的距離為r(r＝>0)，則sin α＝；cos α＝；tan α＝. 這樣定義三角函數(shù)，突出了與點(diǎn)P在角的終邊上的位置無(wú)關(guān)，若令r＝1，則為單位圓中三角函數(shù)的定義． (2)三角函數(shù)既可以看成是以角為自變量，又可以看成是以實(shí)數(shù)為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，三角函數(shù)具有二重性． (3)深刻認(rèn)識(shí)理解三角函數(shù)符號(hào)的含義．如sin α這個(gè)符號(hào)，表示，即角α的正弦，不能把sin α看成sin與α的積．同時(shí)也應(yīng)注意每個(gè)函數(shù)記號(hào)的第一個(gè)字母都不能大寫(xiě)． 2．三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值的符號(hào)． (1)用坐標(biāo)定義三角函數(shù)，因而坐標(biāo)的符號(hào)即角的終邊所在的象限決定三角函數(shù)值的符號(hào)，同時(shí)，三角函數(shù)的定義域只需抓住分母不為零這一關(guān)鍵，不要死記． (2)判斷三角函數(shù)值的符號(hào)時(shí)，應(yīng)特別注意角所在的象限的確定，不能忽視終邊在坐標(biāo)軸上的情況．