2022年高中數(shù)學(xué) 1.3.2“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)學(xué)案 新人教A版選修2-3

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 1.3.2“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)學(xué)案 新人教A版選修2-3 1．楊輝三角的特點 (1)在同一行中，每行兩端都是1，與這兩個1等距離的項的系數(shù)相等； (2)在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，即C＝C＋C． 2．二項式系數(shù)的性質(zhì) 3．賦值法的應(yīng)用． 設(shè)f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn. (1)a0＋a1＋a2＋a3＋…＋an＝f(1)． (2)a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝f(－1)． (3)a0＋a2＋a4＋a6＋…＝． (4)a1＋a3＋a5＋a7＋…＝． (5)a0

2、＝f(0)． ?想一想：設(shè)(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，則a0＋a1＋a2＋…＋a8的值為1． 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)100的展開式的各項系數(shù)之和為(C) A．199　 B．2100－1 C．2101－1 D．2100 2．在(1＋x)n(n∈N＋)的二項展開式中，若只有x5的系數(shù)最大，則n＝(C) A．8 B．9 C．10 D．11 解析：由題意(1＋x)n展開式中，x5的系數(shù)就是第6項的二項式系數(shù)，因為只有它是二項式系數(shù)中最大的，所以n＝10. 故選C. 3．(xx·北海市第二

3、次質(zhì)檢)設(shè)(x＋2)(2x＋3)10＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，則a0＋a1＋a2＋…＋a11的值為(B) A．0 B．1 C．6 D．15 解析：令x＝－1，則1＝a0＋a1＋a2＋…＋a11，故選B. 【典例】　設(shè)n∈N*，則C＋C6＋C62＋…＋C6n－1＝________． 解析：原式＝(C6＋C62＋C63＋…＋C6n) ＝(C＋C6＋C62＋C63＋…＋C6n－1) ＝[(1＋6)n－1] ＝(7n－1)． 【易錯剖析】由于對二項式定理理解不透，誤認為C＋C6＋C62＋…＋C6n－1＝(1＋6)n－1＝7n－1，

4、導(dǎo)致結(jié)果錯誤． 1．(1＋x)2n＋1的展開式中，二項式系數(shù)最大的項所在的項數(shù)是(C) A．n，n＋1 B．n－1，n C．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3 2．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，若a0＋a1＋…＋an＝30，則n等于(C) A．5　 B．3　 C．4　 D．7 解析：令x＝1得a0＋a1＋…＋an＝2＋22＋…＋2n＝30得n＝4. 3．關(guān)于(a－b)10的說法，錯誤的是(C) A．展開式中的二項式系數(shù)之和是1 024 B．展開式的第6項的二項式系數(shù)最大 C．展

5、開式的第5項或第7項的二項式系數(shù)最大 D．展開式中第6項的系數(shù)最小 解析：由二項式系數(shù)的性質(zhì)知，C＋C＋C＋…＋C＝210＝1 024.∴A正確． 又二項式系數(shù)最大的項為C，是展開式的第6項．∴B正確． 又由通項Tr＋1＝Ca10－r(－b)r＝(－1)rCa10－rbr知，第6項的系數(shù)－C最?。郉正確． 4．下圖是一個類似楊輝三角的遞推式，則第n行的首尾兩個數(shù)均為________． 1 3　3 5　6　5 7　11　11　7 9　18　22　18　9 …　…　…　…　…　… 解析：由1，3，5，7，9，…，可知它們成等差數(shù)列，所以an＝2n－1. 答案：2n－1

6、 5．若(1＋a)＋(1＋a)2＋(1＋a)3＋… ＋(1＋a)n＝b0＋b1a＋b2a2＋… ＋bnan，且b0＋b1＋b2＋… ＋bn＝30，則自然數(shù)n的值為(C) A．6　　　 B．5　　　C．4　　　　　D．3 解析：令a＝1，得b0＋b1＋b2＋…＋bn＝2＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－2，又b0＋b1＋b2＋…＋bn＝30，∴2n＋1－2＝30，解得n＝4. 6．(xx高考新課標卷Ⅰ)設(shè)m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b，若13a＝7b，則m＝(B) A．5　 B．6 C．7　 D．8 解析

7、：由題知a＝C，b＝C，所以13C＝7C，即＝＝，解得m＝6，故選B. 7．(xx·潮州二模)若的展開式中所有二項式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項為________． 解析：∵的展開式的二項式的二項系數(shù)之和為64，∴2n＝64， ∴n＝6，由二項式定理的通項公式可知， Tr＋1＝C·(2)6－r·＝26－r(－1)r·C·x3－r. 當(dāng)r＝3時，展開式的常數(shù)項23(－1)3·C＝－160. 8．若展開式的各項系數(shù)之和為32，則n＝________，其展開式中的常數(shù)項為________(用數(shù)字作答)． 解析：依題意得2n＝32，∴n＝5， ∵Tr＋1＝C(x2)5－r·＝Cx1

8、0－5x. 令10－5r＝0，得r＝2，∴常數(shù)項為T3＝C＝10. 答案：5　10 9．已知(1＋3x)n的展開式中，末三項的二項式系數(shù)的和等于121，求展開式中二項式系數(shù)最大的項． 解析：由題意知，C＋C＋C＝121， 即C＋C＋C＝121， 所以1＋n＋＝121， 即n2＋n－240＝0， 解得：n＝15或－16(舍去)． 所以在(1＋3x)n展開式中二項式系數(shù)最大的項是第8、9兩項， 且T8＝C(3x)7 ＝C37x7， T9＝C(3x)8＝C38x8. 10．(1)求證：1＋2＋22＋…＋2能被31整除(n∈N*)； (2)求S＝C＋C＋…＋C除以9的余數(shù)． (1)證明：1＋2＋22＋…＋25n－1＝＝25n－1 ＝32n－1＝(31＋1)n－1 ＝C×31n＋C31n－1＋…＋C×31＋C－1 ＝31(C×31n－1＋C×31n－2＋…＋C)， 顯然上式括號內(nèi)為整數(shù)，故原式能被31整除． (2)解析：S＝C＋C＋…＋C＝227－1＝89－1 ＝(9－1)9－1 ＝C×99－C×98＋…＋C×9－C－1 ＝9(C×98－C×97＋…＋C)－2 ＝9(C×98－C×97＋…＋C－1)＋7， 顯然上式括號內(nèi)的數(shù)是正整數(shù)．故S除以9的余數(shù)是7.