2022年高三數(shù)學經典示范 單調性與最大（?。┲担?）教案 新人教A版

2022年高三數(shù)學經典示范 單調性與最大（?。┲担?）教案 新人教A版導入新課思路1.某工廠為了擴大生產規(guī)模,計劃重新建造一個面積為10 000 m2的矩形新廠址,新廠址的長為x m，則寬為m，所建圍墻ym，假如你是這個工廠的廠長,你會選擇一個長和寬各為多少米的矩形土地,使得新廠址的圍墻y最短?學生先思考或討論，教師指出此題意在求函數(shù)y=2(x+),x>0的最小值.引出本節(jié)課題：在生產和生活中，我們非常關心花費最少、用料最省、用時最省等最值問題，這些最值對我們的生產和生活是很有幫助的.那么什么是函數(shù)的最值呢?這就是我們今天學習的課題.用函數(shù)知識解決實際問題，將實際問題轉化為求函數(shù)的最值，這就是函數(shù)的思想，用函數(shù)解決問題.思路2.畫出下列函數(shù)的圖象，指出圖象的最高點或最低點，并說明它能體現(xiàn)函數(shù)的什么特征？f(x)=-x+3；f(x)=-x+3,x-1,2；f(x)=x2+2x+1;f(x)=x2+2x+1,x-2,2.學生回答后，教師引出課題：函數(shù)的最值.推進新課新知探究提出問題如圖1-3-1-11所示，是函數(shù)y=-x2-2x、y=-2x+1,x-1,+)、y=f(x)的圖象.觀察這三個圖象的共同特征.圖1-3-1-11函數(shù)圖象上任意點P(x,y)的坐標與函數(shù)有什么關系？你是怎樣理解函數(shù)圖象最高點的?問題1中，在函數(shù)y=f(x)的圖象上任取一點A(x,y)，如圖1-3-1-12所示，設點C的坐標為(x0,y0)，誰能用數(shù)學符號解釋：函數(shù)y=f(x)的圖象有最高點C？圖1-3-1-12在數(shù)學中，形如問題1中函數(shù)y=f(x)的圖象上最高點C的縱坐標就稱為函數(shù)y=f(x)的最大值.誰能給出函數(shù)最大值的定義？函數(shù)最大值的定義中f(x)M即f(x)f(x0)，這個不等式反映了函數(shù)y=f(x)的函數(shù)值具有什么特點？其圖象又具有什么特征？函數(shù)最大值的幾何意義是什么？函數(shù)y=-2x+1,x(-1,+)有最大值嗎？為什么？點(-1,3)是不是函數(shù)y=-2x+1,x(-1,+)的最高點？由這個問題你發(fā)現(xiàn)了什么值得注意的地方？討論結果:函數(shù)y=-x2-2x圖象有最高點A，函數(shù)y=-2x+1,x-1,+)圖象有最高點B，函數(shù)y=f(x)圖象有最高點C.也就是說,這三個函數(shù)的圖象的共同特征是都有最高點.函數(shù)圖象上任意點P的坐標(x,y)的意義:橫坐標x是自變量的取值,縱坐標y是自變量為x時對應的函數(shù)值的大小.圖象最高點的縱坐標是所有函數(shù)值中的最大值,即函數(shù)的最大值.由于點C是函數(shù)y=f(x)圖象的最高點，則點A在點C的下方，即對定義域內任意x，都有yy0，即f(x)f(x0)，也就是對函數(shù)y=f(x)的定義域內任意x，均有f(x)f(x0)成立.一般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：（1）對于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0)=M.那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值.f(x)M反映了函數(shù)y=f(x)的所有函數(shù)值不大于實數(shù)M；這個函數(shù)的特征是圖象有最高點，并且最高點的縱坐標是M.函數(shù)圖象上最高點的縱坐標.函數(shù)y=-2x+1,x(-1,+)沒有最大值，因為函數(shù)y=-2x+1,x(-1,+)的圖象沒有最高點.不是，因為該函數(shù)的定義域中沒有1.討論函數(shù)的最大值，要堅持定義域優(yōu)先的原則；函數(shù)圖象有最高點時，這個函數(shù)才存在最大值，最高點必須是函數(shù)圖象上的點.提出問題類比函數(shù)的最大值，請你給出函數(shù)的最小值的定義及其幾何意義.類比問題9，你認為討論函數(shù)最小值應注意什么？活動：讓學生思考函數(shù)最大值的定義，利用定義來類比定義.最高點類比最低點，符號不等號“”類比不等號“”.函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱為函數(shù)的最值.討論結果：函數(shù)最小值的定義是:一般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：（1）對于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0)=M.那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值.函數(shù)最小值的幾何意義：函數(shù)圖象上最低點的縱坐標.討論函數(shù)的最小值，也要堅持定義域優(yōu)先的原則；函數(shù)圖象有最低點時，這個函數(shù)才存在最小值，最低點必須是函數(shù)圖象上的點.應用示例思路1例1求函數(shù)y=在區(qū)間2，6上的最大值和最小值.活動：先思考或討論，再到黑板上書寫.當學生沒有證明思路時，才提示：圖象最高點的縱坐標就是函數(shù)的最大值，圖象最低點的縱坐標就是函數(shù)的最小值.根據(jù)函數(shù)的圖象觀察其單調性，再利用函數(shù)單調性的定義證明，最后利用函數(shù)的單調性求得最大值和最小值.利用變換法畫出函數(shù)y=的圖象，只取在區(qū)間2，6上的部分.觀察可得函數(shù)的圖象是上升的.解：設2x1<x26,則有f(x1)-f(x2)=2x1<x26,x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0.f(x1)>f(x2),即函數(shù)y=在區(qū)間2，6上是減函數(shù).所以，當x=2時，函數(shù)y=在區(qū)間2，6上取得最大值f(2)=2；當x=6時，函數(shù)y=在區(qū)間2，6上取得最小值f(6)= .變式訓練1.求函數(shù)y=x2-2x(x-3,2)的最大值和最小值_.答案：最大值是f(-3)=15，最小值是f(1)=-1.2.函數(shù)f(x)=x4+2x2-1的最小值是.分析：（換元法）轉化為求二次函數(shù)的最小值.設x2=t，y=t2+2t-1(t0)，又當t0時，函數(shù)y=t2+2t-1是增函數(shù)，則當t=0時，函數(shù)y=t2+2t-1(t0)取最小值1.所以函數(shù)f(x)=x4+2x2-1的最小值是1.答案：-13.畫出函數(shù)y=x22|x|3的圖象，指出函數(shù)的單調區(qū)間和最大值.分析：函數(shù)的圖象關于y軸對稱，先畫出y軸右側的圖象，再對稱到y(tǒng)軸左側合起來得函數(shù)的圖象；借助圖象，根據(jù)單調性的幾何意義寫出單調區(qū)間.解：函數(shù)圖象如圖1-3-1-13所示.圖1-3-1-13由圖象得，函數(shù)的圖象在區(qū)間（，1）和0，1上是上升的，在1，0和（1，）上是下降的，最高點是(±1,4)，故函數(shù)在（，1），0，1上是增函數(shù)；函數(shù)在1，0，（1，）上是減函數(shù)，最大值是4.點評：本題主要考查函數(shù)的單調性和最值，以及最值的求法.求函數(shù)的最值時，先畫函數(shù)的圖象，確定函數(shù)的單調區(qū)間，再用定義法證明，最后借助單調性寫出最值，這種方法適用于做解答題.單調法求函數(shù)最值：先判斷函數(shù)的單調性,再利用其單調性求最值；常用到下面的結論：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b上單調遞增，在區(qū)間b,c)上單調遞減，則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b上單調遞減，在區(qū)間b,c)上單調遞增，則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b).例2“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一.制造時一般是期望它達到最高點時爆裂.如果煙花距地面的高度h m與時間t s之間的關系為h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么煙花沖出去后什么時候是它爆裂的最佳時刻？這時距地面的高度是多少（精確到1m）？活動：可以指定一位學生到黑板上書寫，教師在下面巡視，并及時幫助做錯的學生改錯.并對學生的板書及時評價.將實際問題最終轉化為求函數(shù)的最值，畫出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的圖象求出最大值.“煙花沖出去后什么時候是它爆裂的最佳時刻”就是當t取什么值時函數(shù)h(t)=-4.9t2+14.7t+18取得最大值；“這時距地面的高度是多少（精確到1 m）”就是函數(shù)h(t)=-4.9t2+14.7t+18的最大值；轉化為求函數(shù)h(t)=-4.9t2+14.7t+18的最大值及此時自變量t的值.解：畫出函數(shù)h(t)=-4.9t2+14.7t+18的圖象，如圖1-3-1-14所示，顯然，函數(shù)圖象的頂點就是煙花上升的最高點，頂點的橫坐標就是煙花爆炸的最佳時刻，縱坐標就是這時距離地面的高度.圖1-3-1-14由二次函數(shù)的知識，對于函數(shù)h(t)=-4.9t2+14.7t+18，我們有：當t=1.5時，函數(shù)有最大值,即煙花沖出去后1.5s是它爆裂的最佳時刻，這時距地面的高度約是29m.點評：本題主要考查二次函數(shù)的最值問題，以及應用二次函數(shù)解決實際問題的能力.解應用題步驟是審清題意讀懂題；將實際問題轉化為數(shù)學問題來解決；歸納結論.注意：要堅持定義域優(yōu)先的原則；求二次函數(shù)的最值要借助于圖象即數(shù)形結合.變式訓練1.xx山東菏澤二模，文10把長為12厘米的細鐵絲截成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形面積之和的最小值是( )A.cm2 B.4cm2 C.3cm2 D.2cm2解析：設一個三角形的邊長為x cm，則另一個三角形的邊長為(4-x) cm，兩個三角形的面積和為S，則S=x2+(4-x)2=(x-2)2+22.當x=2時，S取最小值2m2.故選D.答案：D2.某超市為了獲取最大利潤做了一番試驗，若將進貨單價為8元的商品按10元一件的價格出售時，每天可銷售60件，現(xiàn)在采用提高銷售價格減少進貨量的辦法增加利潤，已知這種商品每漲1元，其銷售量就要減少10件，問該商品售價定為多少時才能賺取利潤最大，并求出最大利潤.分析：設未知數(shù)，引進數(shù)學符號，建立函數(shù)關系式，再研究函數(shù)關系式的定義域，并結合問題的實際意義作出回答.利潤（售價進價）×銷售量.解：設商品售價定為x元時，利潤為y元，則y=(x-8)60-(x-10)·10=-10(x-12)2-16=-10(x-12)2+160(10x16).當且僅當x=12時，y有最大值160元，即售價定為12元時可獲最大利潤160元.思路2例1已知函數(shù)f(x)=x+,x>0，（1）證明當0<x<1時，函數(shù)f(x)是減函數(shù)；當x1時，函數(shù)f(x)是增函數(shù).（2）求函數(shù)f(x)=x+,x>0的最小值.活動：學生思考判斷函數(shù)單調性的方法，以及函數(shù)最小值的含義.（1）利用定義法證明函數(shù)的單調性；（2）應用函數(shù)的單調性得函數(shù)的最小值.（1）解：任取x1、x2（0，+）且x1x2，則f（x1）f（x2）=（x1）（x2+）=（x1x2）+=，x1x2，x1x2<0，x1x2>0.當0x1x21時，x1x2-1<0，f（x1）f（x2）0.f（x1）f（x2），即當0<x<1時，函數(shù)f(x)是減函數(shù).當1x1x2時，x1x2-1>0，f（x1）f（x2）0.f（x1）f（x2）,即當x1時，函數(shù)f(x)是增函數(shù).（2）解法一：由（1）得當x=1時，函數(shù)f(x)=x+,x>0取最小值.又f(1)=2，則函數(shù)f(x)=x+,x>0取最小值是2.解法二：借助于計算機軟件畫出函數(shù)f(x)=x+,x>0的圖象，如圖1-3-1-15所示，圖1-3-1-15由圖象知，當x=1時，函數(shù)f(x)=x+,x>0取最小值f(1)=2.點評：本題主要考查函數(shù)的單調性和最值.定義法證明函數(shù)的單調性的步驟是“去比賽”；三個步驟缺一不可.利用函數(shù)的單調性求函數(shù)的最值的步驟：先判斷函數(shù)的單調性,再利用其單調性求最值；常用到下面的結論：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b上單調遞增，在區(qū)間b,c)上單調遞減，則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b上單調遞減，在區(qū)間b,c)上單調遞增，則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b).這種求函數(shù)最值的方法稱為單調法.圖象法求函數(shù)的最值的步驟：畫出函數(shù)的圖象，依據(jù)函數(shù)最值的幾何意義，借助圖象寫出最值.變式訓練1.求函數(shù)y=（x0）的最大值.解析:可證明函數(shù)y=（x0）是減函數(shù)，函數(shù)y=（x0）的最大值是f(0)=3.2.求函數(shù)y=|x+1|+|x-1|的最大值和最小值.解法一：（圖象法）y|x+1|+|x-1|=其圖象如圖1-3-1-16所示.圖1-3-1-16由圖象得，函數(shù)的最小值是2，無最大值.解法二：（數(shù)形結合）函數(shù)的解析式y(tǒng)=|x+1|+|x-1|的幾何意義是：y是數(shù)軸上任意一點P到±1的對應點A、B的距離的和，即y=|PA|+|PB|,如圖1-3-1-17所示，圖1-3-1-17觀察數(shù)軸,可得|PA|+|PB|AB|=2，即函數(shù)有最小值2，無最大值.3.xx天利高考第一次全國大聯(lián)考（江蘇卷），11設0<x<1,則函數(shù)y=+的最小值是.分析：y=,當0<x<1時，x(1-x)=-(x)2+,y4.答案：4例2將進貨單價40元的商品按50元一個售出時，能賣出500個，若此商品每個漲價1元，其銷售量減少10個，為了賺到最大利潤，售價應定為多少？活動：讓學生思考利潤的意義，以及利潤和售價之間的函數(shù)關系.設出一般情況，轉化為求二次函數(shù)的最值.解決此類應用題，通常是建立函數(shù)模型，這是解題的關鍵.解：設每個售價為x元時，獲得利潤為y元，則每個漲（x-50）元，從而銷售量減少10(x-50)個,共售出500-10(x-50)=1000-10x(個).y=(x-40)(1000-10x)=-10(x-70)2+9 000(50x100）.當x=70時,ymax=9000,即為了賺取最大利潤，售價應定為70元.點評：本題主要考查二次函數(shù)的最值問題，以及應用二次函數(shù)解決實際問題的能力.解應用題步驟是：審清題意讀懂題；將實際問題轉化為數(shù)學問題來解決；歸納結論.注意：要堅持定義域優(yōu)先的原則；求二次函數(shù)的最值要借助于圖象即數(shù)形結合.變式訓練1.已知某商品的價格每上漲x%，銷售的數(shù)量就減少mx%，其中m為正常數(shù).當m=時，該商品的價格上漲多少，就能使銷售的總金額最大？解：設商品現(xiàn)在定價a元，賣出的數(shù)量為b個,當價格上漲x%時，銷售總額為y元.由題意得y=a(1+x%)·b(1-mx%),即y=-mx2+100(1-m)x+10 000.當m=時,y=-(x-50)2+22 500，則當x=50時，ymax=ab.即該商品的價格上漲50%時，銷售總金額最大.2.xx天利第一次全國大聯(lián)考江蘇卷，18某軍工企業(yè)生產一種精密電子儀器的固定成本為20 000元，每生產一臺儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數(shù)：R(x)=其中x是儀器的月產量.（1）將利潤表示為月產量的函數(shù).（2）當月產量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少元？（總收益總成本利潤）.分析：本題主要考查二次函數(shù)及其最值，以及應用二次函數(shù)解決實際問題的能力.（1）利潤總收益總成本；（2）轉化為求函數(shù)的最值，由于此函數(shù)是分段函數(shù)，則要求出各段上的最大值，再從中找出函數(shù)的最大值.解：（1）設月產量為x臺，則總成本為20 000+100x，從而f(x)=（2）當0x400時，f(x)=(x-300)2+25000;當x=300時，有最大值25000；當x>400時，f(x)=60000-100x是減函數(shù);又f(x)<60000-100×400<25000,所以，當x=300時，有最大值25000,即當月產量為300臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤是25000元.知能訓練課本P32練習5.補充練習xx上海市閔行五校聯(lián)合調研，20某廠xx年擬舉行促銷活動，經調查測算，該廠產品的年銷售量（即該廠的年產量）x萬件與去年促銷費m（萬元）（m0）滿足x=3.已知xx年生產的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品平均成本的1.5倍（產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）.（1）將xx年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費m（萬元）的函數(shù)；（2）求xx年該產品利潤的最大值，此時促銷費為多少萬元？分析：（1）年利潤銷售價格×年銷售量固定投入促銷費再投入，銷售價格1.5×每件產品平均成本；（2）利用單調法求函數(shù)的最大值.解：（1）每件產品的成本為元，故xx年的利潤y=1.5××x-(8+16x+m)=4+8x-m=4+8(3)-m=28-m（萬元）（m0）.（2）可以證明當0m3時，函數(shù)y=28-m是增函數(shù)，當m>3時，函數(shù)y=28-m是減函數(shù)，所以當m=3時，函數(shù)y=28-m取最大值21（萬元）.拓展提升問題：求函數(shù)y=的最大值.探究：(方法一)利用計算機軟件畫出函數(shù)的圖象，如圖1-3-1-18所示，圖1-3-1-18故圖象最高點是(,).則函數(shù)y=的最大值是.(方法二)函數(shù)的定義域是R，可以證明當x<時，函數(shù)y=是增函數(shù)；當x時，函數(shù)y=是減函數(shù).則當x=時，函數(shù)y=取最大值,即函數(shù)y=的最大值是.(方法三)函數(shù)的定義域是R，由y=,得yx2+yx+y-1=0.xR，關于x的方程yx2+yx+y-1=0必有實數(shù)根，當y=0時，關于x的方程yx2+yx+y-1=0無實數(shù)根，即y=0不屬于函數(shù)的值域.當y0時，則關于x的方程yx2+yx+y-1=0是一元二次方程，則有=(-y)2-4×y(y-1)0.0<y.函數(shù)y=的最大值是.點評：方法三稱為判別式法，形如函數(shù)y=(d0)，當函數(shù)的定義域是R（此時e2-4df<0）時，常用判別式法求最值，其步驟是把y看成常數(shù)，將函數(shù)解析式整理為關于x的方程的形式mx2+nx+k=0；分類討論m=0是否符合題意；當m0時，關于x的方程mx2+nx+k=0中有xR，則此一元二次方程必有實數(shù)根，得n2-4mk0,即關于y的不等式，解不等式組m0.此不等式組的解集與中y的值取并集得函數(shù)的值域，從而得函數(shù)的最大值和最小值.課堂小結本節(jié)課學習了：(1)函數(shù)的最值；(2)求函數(shù)最值的方法：圖象法，單調法，判別式法；(3)求函數(shù)最值時，要注意函數(shù)的定義域.作業(yè)課本P39習題1.3A組5、6.設計感想為達到本節(jié)課的教學目標，突出重點，突破難點，教學上采取了以下的措施：（1）在探索概念階段,讓學生經歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程，完成對函數(shù)最值定義的三次認識,使得學生對概念的認識不斷深入.（2）在應用概念階段,通過對證明過程的分析，幫助學生掌握用圖象和單調法求函數(shù)最值的方法和步驟.備課資料基本初等函數(shù)的最值1.正比例函數(shù)：y=kx(k0)在定義域R上不存在最值.在閉區(qū)間a,b上存在最值，當k>0時，函數(shù)y=kx的最大值為f(b)kb，最小值為f(a)ka；當k<0時，函數(shù)y=kx的最大值為f(a)ka，最小值為f(b)kb.2.反比例函數(shù)：y=(k0)在定義域(-,0)(0,+)上不存在最值.在閉區(qū)間a,b（ab>0）上存在最值，當k>0時，函數(shù)y=的最大值為f(a)，最小值為f(b)；當k<0時，函數(shù)y=的最大值為f(b)，最小值為f(a).3.一次函數(shù)：y=kx+b(k0)在定義域R上不存在最值.在閉區(qū)間m,n上存在最值，當k>0時，函數(shù)y=kx+b的最大值為f(n)=kn+b，最小值為f(m)km+b；當k<0時，函數(shù)y=kx+b的最大值為f(m)km+b，最小值為f(n)kn+b.4.二次函數(shù)：y=ax2+bx+c(a0):當a>0時，函數(shù)y=ax2+bx+c在定義域R上有最小值f()=，無最大值；當a<0時，函數(shù)y=ax2+bx+c在定義域R上有最大值f()=，無最小值.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題是高考考查的重點和熱點內容之一.二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)在閉區(qū)間p，q上的最值可能出現(xiàn)以下三種情況：(1)若p，則f(x)在區(qū)間p，q上是增函數(shù)，則f(x)min=f(p)，f(x)max=f(q).(2)若pq，則f(x)min=f(),此時f(x)的最大值視對稱軸與區(qū)間端點的遠近而定：當p時，則f(x)max=f(q);當時，則f(x)max=f(p)f(q);當q時，則f(x)max=f(p).(3)若q，則f(x)在區(qū)間p，q上是減函數(shù)，則f(x)min=f(q)，f(x)max=f(p).由此可見,當p,q時,二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)在閉區(qū)間p，q上的最大值是f(p)和f(q)中的最大值,最小值是f()；當p,q時,二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)在閉區(qū)間p，q上的最大值是f(p)和f(q)中的最大值,最小值是f(p)和f(q)中的最小值.