2022年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習 專題十七 坐標系與參數(shù)方程（含解析選修4-4）

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1、2022年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習 專題十七 坐標系與參數(shù)方程（含解析，選修4-4） 抓住1個高考重點 重點1 坐標系與參數(shù)方程 1．極坐標和直角坐標互化的前提條件是： （1）極點與直角坐標系的原點重合； （2）極軸與直角坐標系的軸正半軸重合； （3）兩種坐標系取相同的長度單位．設(shè)點的直角坐標為，它的極坐標為，則互化公式是或；若把直角坐標化為極坐標，求極角時，應(yīng)注意判斷點所在的象限（即角的終邊的位置），以便正確地求出角，在轉(zhuǎn)化過程中注意不要漏解，特別是在填空題和解答題中，則更要謹防漏解． 2．消去參數(shù)是參數(shù)方程化為普通方程的根本途徑，常用方法有代入消元法（包括集團代人法）、加減消

2、元法、參數(shù)轉(zhuǎn)化法和三角代換法等，轉(zhuǎn)化的過程中要注意參數(shù)方程中含有的限制條件，在普通方程中應(yīng)加上這種限制條件才能保持其等價性. 3．參數(shù)方程的用途主要有以下幾個方面： （1）求動點的軌跡，如果的關(guān)系不好找，我們引入?yún)⒆兞亢螅苋菀渍业脚c和與的等量關(guān)系式，消去參變量后即得動點軌跡方程.此時參數(shù)方程在求動點軌跡方程中起橋梁作用． （2）可以用曲線的參數(shù)方程表示曲線上一點的坐標，這樣把二元問題化為一元問題來解決，這也是圓錐曲線的參數(shù)方程的主要功能． （3）有些曲線參數(shù)方程的參變量有幾何意義．若能利用參變量的幾何意義解題，常會取得意想不到的效果．如利用直線標準參數(shù)方程中的幾何意義解題，會使難題化

3、易、繁題化簡. [高考?？冀嵌萞 角度1 若曲線的極坐標方程為，以極點為原點，極軸為軸正半軸建立直角坐標系，則該曲線的直角坐標方程為 . 解析：關(guān)鍵是記住兩點：1、，2、即可. 由已知為所求. 角度2在極坐標系中，點 到圓的圓心的距離為（ ） A. 2 B. C. D. 解析：極坐標化為直角坐標為，即.圓的極坐標方程可化為，化為直角坐標方程為，即，所以圓心坐標為（1,0），則由兩點間距離公式.故選D. 角度3 已知兩曲線參數(shù)方程分別為和，它們的交點坐標為

4、 . 解：表示橢圓，表示拋物線 聯(lián)立得或（舍去）， 又因為，所以它們的交點坐標為 角度4 直角坐標系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，設(shè)點分別在曲線：（為參數(shù)）和曲線：上，則的最小值為 ． 點評：利用化歸思想和數(shù)形結(jié)合法，把兩條曲線轉(zhuǎn)化為直角坐標系下的方程． 解析：曲線的方程是，曲線的方程是，兩圓外離，所以的最小值為． 角度5 在平面直角坐標系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線l：與，各有一個交點．當時，這兩個交點間的距離為2，當=

5、時，這兩個交點重合． （Ⅰ）分別說明是什么曲線，并求出a與b的值； （Ⅱ）設(shè)當=時，l與的交點分別為，當=時，l與的交點為，求四邊形的面積． 解析：（Ⅰ）的普通方程分別為和，故是圓，是橢圓. 當時，射線l與交點的直角坐標分別為，因為這兩點間的距離為2，所以. 當時，射線l與交點的直角坐標分別為，因為這兩點重合，所以. （Ⅱ）的普通方程分別為和 當時，射線l與交點A1的橫坐標為，與交點B1的橫坐標為 當時，射線l與的兩個交點分別與關(guān)于x軸對稱，因此，四邊形為梯形. 故四邊形的面積為 規(guī)避2個易失分點 易失分點1 參數(shù)的幾何意義不明

6、典例 已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），若以平面直角坐標系中的點為極點，方向為極軸，選擇相同的長度單位建立極坐標系，得曲線的極坐標方程為 （1）求直線的傾斜角； （2）若直線與曲線交于兩點，求． 易失分提示：對直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義不明確導(dǎo)致錯誤． 解析：（1）直線的參數(shù)方程可以化為，根據(jù)直線參數(shù)方程的意義，直線經(jīng)過點，傾斜角為. （2）的直角坐標方程為，即 曲線的直角坐標方程為， 所以圓心到直線的距離 所以 易失分點2 極坐標表達不準 典例 已知曲線的極坐標方程分別為則曲線與交點的極坐標為_________________ 易失分提示: 本題

7、考查曲線交點的求法，易錯解為：由方程組 即兩曲線的交點為或 正解解析：由方程組或 即兩曲線的交點為或 在極坐標系中，有序?qū)崝?shù)對的集合與平面內(nèi)的點集不是一一對應(yīng)的.給出一個有序數(shù)對，在極坐標系中可以唯一確定一個點，但極坐標系中的一點，它的極坐標不是唯一的，若點不是極點，是它的一個掇坐標，那么有無窮多個極坐標與 各類題型展現(xiàn)： 1. （本小題滿分10分)選修4—4：坐標系與參數(shù)方程 在平面直角坐標系中，橢圓方程為為參數(shù)） （1）求過橢圓的右焦點，且與直線為參數(shù)）平行的直線的普通方程. （2）求橢圓的內(nèi)接矩形面積的最大值。 解析：（1）由已知得橢圓的普通方程為，右焦點為，

8、直線的普通方程為，所以,于是所求直線方程為即. （2），?當時，面積最大為30. 2. （本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 在極坐標系中，已知圓的圓心，半徑. （Ⅰ）求圓的極坐標方程； （Ⅱ）若，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線交圓于兩點，求弦長的取值范圍. 解析：（Ⅰ）方法一：∵圓心的直角坐標為，∴圓的直角坐標方程為. 化為極坐標方程是. 方法二：如圖，設(shè)圓上任意一點，則 化簡得.．．．．．．．．4分 （Ⅱ）將代入圓的直角坐標方程， 得 即 所以 . 故， ∵，∴ ， 即弦長的取值范圍是.．．．．．．．．．．．．．．

9、．．．10分 3. （本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 已知直線的參數(shù)方程是（是參數(shù)），圓的極坐標方程為. （Ⅰ）求圓心的直角坐標； （Ⅱ）由直線上的點向圓引切線，求切線長的最小值。 解析：（Ⅰ）由 得 圓的直角坐標方程為 即， 所以 圓心的直角坐標為 （Ⅱ）由直線上的點向圓引切線，切線長為 所以，當時，切線長的最小值為 4.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線上兩點的極坐標分別為，圓的參數(shù)方程為參數(shù)） （Ⅰ）設(shè)為線段的中點，求直線的平面直角坐標方程； （Ⅱ）判斷直線與圓

10、的位置關(guān)系。 解析：（Ⅰ）由題意知，的直角坐標為，，因為是線段中點，則 因此直角坐標方程為 （Ⅱ）因為直線上兩點， ∴的方程為：即，又圓心，半徑. 所以,故直線和圓相交. 5.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系中，圓，圓 （1）在以為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，分別寫出圓的極坐標方程，并求出圓的交點坐標（用極坐標表示） （2）求圓與圓的公共弦的參數(shù)方程 解析：圓的極坐標方程為，圓的極坐標方程為，解 得， 故圓與圓交點的坐標為 ……5分 注：極坐標系下點的表示不唯一 （2）（解法一）由，得圓與圓交點的直角坐標為 故圓與圓的公共弦的參數(shù)方程為 (為參數(shù)) （或參數(shù)方程寫成） … 10分 （解法二）將代入，得，從而 于是圓與圓的公共弦的參數(shù)方程為 … 10分