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1、2022年高二下學期期中考試數學試題 含答案(IV)
一、填空題（本大題滿分36分）本大題共有12題，考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果，每個空格填對得3分，否則一律地零分.
1、復數的虛部為___________.
2、的平方根是___________.
3、已知球的半徑為，則球的表面積為___________.
4、正方體中，二面角的大小為___________.
5、已知正三棱錐的底面邊長為1，高為2，則其體積為___________.
6、已知圓柱底面半徑為，是上底面圓心，、是下底面圓周上兩個不同的點，母線長為3.如圖，若直線與所成角的大小為，則=________
2、___.
7、正四棱柱的底面邊長為2，若與底面所成角為，則和底面的距離是___________.
8、若關于的方程有兩根和，其中是實數根，則=___________.
9、正四棱錐的底面邊長為，高為，則該四棱錐的表面積為___________.
10、在復平面上，已知直線上的點所對應的復數都滿足，則直線的傾斜角為___________.（結果用反三角函數值表示）
11、設圓錐底面圓周上兩點、間的距離為2，圓錐頂點到直線的距離為3，和圓錐的軸的距離為1，則該圓錐的體積為___________.
12、在平面上，將雙曲線的一支及其漸近線和直線，圍成的封閉圖形記為，如圖中陰影部分.記
3、繞軸旋轉一周所得的幾何體為.過作的水平截面，計算截面面積，利用祖暅原理得出的體積為___________.
二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，選對得4分，否則一律的零分.
13、可以用集合語言將“公理1：如果直線上有兩個點在平面上，那么直線在平面上.”表述為（ ）
（A）若，且，，則；
（B）若，且，，則；
（C）若，且，，則；
（D）若，且，，則.
14、若用、和分別表示復數集、實數集和純虛數集，其中為全集，那么有（ ）
（A） （B） （C） （D）
15、已知矩形中，，，在水平位置的平面上畫出
4、矩形的直觀圖，并使對角線平行于軸，則的面積為（ ）
（A） （B）
（C） （D）
16、如圖，點是平面外一定點，過作平面的斜線，斜線與平面所成角為.若點在平面內運動，并使直線與所成角為，則動點的軌跡是（ ）
（A）圓 （B）橢圓
（C）拋物線 （D）雙曲線的一支
三、簡答題（本大題滿分48分）本大題共有5題，解答下列各題必須寫出必要的步驟.
17、（本題滿分8分）
已知復數滿足，求.
18、（本題滿分8分）
已知直線在平面上，直線不在平面上，且，求證：.
（注意：在下面橫線上填寫適當
5、內容，使之成為完整的證明）
證明：因為直線不在平面上，所以______①______或，
下面不可能.
假設，
因為______②______，所以.
在平面上過作直線，
根據______③______，可得______④______，
這和矛盾，所以不可能.
所以.
19、（本題滿分8分）本題共2個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分
已知圓錐的側面展開圖是圓心角為的扇形，且圓錐的全面積為，求：
（1）圓錐的底面半徑和母線長；
（2）圓錐的體積.
20、（本題滿分12分）本題共2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分
已知關于的實系數
6、一元二次方程.
（1）若方程的兩根為、，且，求的值；
（2）若方程有虛根，且，求的值.
21、（本題滿分12分）本題共2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分
已知正方體的棱長為1.
（1）在空間中與點距離為的所有點構成曲面，曲面將正方體分為兩部分，若設這兩部分的體積分別為，（其中），求的值；
（2）在正方體表面上與點的距離為的點形成一條空間曲線，求這條曲線的長度.
上海市延安中學xx第二學期期中考試（高二數學）
（考試時間：90分鐘 滿分：100分）
班級______________姓名______________學號________
7、________成績______________
一、填空題（本大題滿分36分）本大題共有12題，考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果，每個空格填對得3分，否則一律地零分.
1、復數的虛部為___________.
2、的平方根是___________.
3、已知球的半徑為，則球的表面積為___________.
4、正方體中，二面角的大小為___________.
5、已知正三棱錐的底面邊長為1，高為2，則其體積為___________.
6、已知圓柱底面半徑為，是上底面圓心，、是下底面圓周上兩個不同的點，母線長為3.如圖，若直線與所成角的大小為，則=__________
8、_.
7、正四棱柱的底面邊長為2，若與底面所成角為，則和底面的距離是___________.
8、若關于的方程有兩根和，其中是實數根，則=___________.
9、正四棱錐的底面邊長為，高為，則該四棱錐的表面積為_______.
10、在復平面上，已知直線上的點所對應的復數都滿足，則直線的傾斜角為___________.（結果用反三角函數值表示）
11、設圓錐底面圓周上兩點、間的距離為2，圓錐頂點到直線的距離為3，和圓錐的軸的距離為1，則該圓錐的體積為___________.
12、在平面上，將雙曲線的一支及其漸近線和直線，圍成的封閉圖形記為，如圖中陰影部分.記繞軸旋轉一周
9、所得的幾何體為.過作的水平截面，計算截面面積，利用祖暅原理得出的體積為___________.
二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，選對得4分，否則一律的零分.
13、可以用集合語言將“公理1：如果直線上有兩個點在平面上，那么直線在平面上.”表述為（ C ）
（A）若，且，，則；
（B）若，且，，則；
（C）若，且，，則；
（D）若，且，，則.
14、若用、和分別表示復數集、實數集和純虛數集，其中為全集，那么有（ D ）
（A） （B） （C） （D）
15、已知矩形中，，，在水平位置的平面上畫出矩形的直觀圖，并使對
10、角線平行于軸，則的面積為（ D ）
（A） （B）
（C） （D）
16、如圖，點是平面外一定點，過作平面的斜線，斜線與平面所成角為.若點在平面內運動，并使直線與所成角為，則動點的軌跡是（ B ）
（A）圓 （B）橢圓
（C）拋物線 （D）雙曲線的一支
三、簡答題（本大題滿分48分）本大題共有5題，解答下列各題必須寫出必要的步驟.
17、（本題滿分8分）
已知復數滿足，求.
由已知可得：，
從而.
18、（本題滿分8分）
已知直線在平面上，直線不在平面上，且，求證：.
（注意：在下面橫線上填寫適當內容，使之成為完整的
11、證明）
證明：因為直線不在平面上，所以___①___或，
下面不可能.
假設，
因為___②___，所以.
在平面上過作直線，
根據___③公理4___，可得___④___，
這和矛盾，所以不可能.
所以.
19、（本題滿分8分）本題共2個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分
已知圓錐的側面展開圖是圓心角為的扇形，且圓錐的全面積為，求：
（1）圓錐的底面半徑和母線長；
（2）圓錐的體積.
（1）設圓錐底面半徑為，母線長為.
由圓錐底面周長為，
又根據已知：圓錐的全面積為，
解得，.
（2）圓錐的高，從而圓錐體積.
20、（本題滿分12分）本題共2個小題
12、，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分
已知關于的實系數一元二次方程.
（1）若方程的兩根為、，且，求的值；
（2）若方程有虛根，且，求的值.
（1）當，即，由，可知兩根同號，從而，解得或（舍）；
當，及，此時方程有兩個共軛復根，故，且由可得，進而，解得或（舍）；
從而綜上所述：或.
（2）由題意（I），從而（II）
由（I）、（II）聯立消去，可得
由于為虛數，且，從而，
解得.
21、（本題滿分12分）本題共2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分
已知正方體的棱長為1.
（1）在空間中與點距離為的所有點構成曲面，曲面將正方體分為兩部分，若設這兩部分的體積分別為，（其中），求的值；
（2）在正方體表面上與點的距離為的點形成一條空間曲線，求這條曲線的長度.
（1）由題意：，從而，則.
（2）由題意：以球心，為半徑的球面與正方體各側面的截交線均為圓弧段.
球面與側面、、所截得的圓弧段，可視作均以為圓心，圓心角均為，半徑均為的圓弧，從而相應圓弧段長為；
球面與側面、、所截得的圓弧段，可視作分別以、、為圓心，圓心角均為，半徑均為的圓弧，從而相應圓弧段長為；
從而球面與整個正方體相相截所得的空間區(qū)間長為.
2022年高二下學期期中考試數學試題 含答案(IV)
