2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 證明不等式的基本方法 三 反證法與放縮法學(xué)案 新人教A版選修4-5

三反證法與放縮法1.理解反證法在證明不等式中的作用，掌握用反證法證明不等式的方法2掌握放縮法證明不等式的原理，并會(huì)用其證明不等式,學(xué)生用書P32)1反證法證明不等式時(shí)，首先假設(shè)要證的命題不成立，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論，以說明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立我們把它稱之為反證法2放縮法證明不等式時(shí)，通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達(dá)到證明的目的，我們把這種方法稱為放縮法1判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)反證法可歸結(jié)為下面的步驟：反設(shè)、歸謬、存真()(2)利用放縮法時(shí)，要依據(jù)需要適當(dāng)放縮，不能過度()(3)假設(shè)欲證的命題是“若A，則B”，我們可以通過否定A來達(dá)到肯定B的目的()(4)放縮法的實(shí)質(zhì)是等價(jià)轉(zhuǎn)化，有一定的準(zhǔn)則和程序()答案：(1)(2)(3)×(4)×2用反證法證明命題“如果a>b，那么>”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容是()AB<C，且< D或<答案：D3實(shí)數(shù)a，b，c不全為0的等價(jià)條件為()Aa，b，c均不為0Ba，b，c中至多有一個(gè)為0Ca，b，c中至少有一個(gè)為0Da，b，c中至少有一個(gè)不為0答案：D4設(shè)nN*，則有真分?jǐn)?shù)不等式<<<<<_；假分?jǐn)?shù)不等式2>>>>>_答案：利用反證法證明不等式學(xué)生用書P33已知0<x<2，0<y<2，0<z<2，求證x(2y)，y(2z)，z(2x)不都大于1.【證明】假設(shè)x(2y)>1，y(2z)>1，z(2x)>1均成立，則三式相乘得xyz(2x)(2y)(2z)>1.因?yàn)?<x<2，所以0<x(2x)x22x(x1)211，同理，0<y(2y)1，0<z(2z)1，所以三式相乘得0<xyz(2x)(2y)(2z)1，與矛盾，故假設(shè)不成立所以x(2y)，y(2z)，z(2x)不都大于1.用反證法證明不等式的策略(1)反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行論證；否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行論證，就不是反證法 (2)用反證法證明不等式，其實(shí)質(zhì)是從否定結(jié)論出發(fā)，通過邏輯推理，導(dǎo)出與已知條件或公理相矛盾的結(jié)論，從而肯定原命題成立1.已知三個(gè)正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列求證：，不成等差數(shù)列證明：假設(shè)，成等差數(shù)列，則2，即ac24b，又三個(gè)正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，所以b2ac，即b.所以ac24，即ac20，所以()20，所以，即ac.從而abc，這與已知中a，b，c不成等差數(shù)列矛盾，所以原假設(shè)錯(cuò)誤，故，不成等差數(shù)列2若a，b，c均為實(shí)數(shù)，且ax22y，by22z，cz22x，求證：a，b，c中至少有一個(gè)大于零證明：假設(shè)a，b，c都不大于0，即a0，b0，c0，所以abc0，而abc(x22x)(y22y)(z22z)(x1)2(y1)2(z1)23，所以abc>0，這與abc0矛盾，故a，b，c中至少有一個(gè)大于0.利用放縮法證明不等式學(xué)生用書P33已知a，b，cR，求證：abc.【證明】因?yàn)?， ，所以 a. c.所以abc.放縮法證明不等式的技巧放縮法就是將不等式的一邊放大或縮小，尋找一個(gè)中間量，如將A放大成C，即A<C，后證C<B.常用的放縮技巧有(1)舍掉(加進(jìn))一些項(xiàng)(2)在分式中放大(縮小)分子(分母)(3)應(yīng)用基本不等式進(jìn)行放縮 1.設(shè)x>0，y>0，A，B，則A，B的大小關(guān)系為()AABBA<BCAB DA>B解析：選B.因?yàn)閤>0，y>0，所以B>A.2已知nN，求證：<.證明：由基本不等式，得<，所以<<，故原不等式成立1常見的涉及反證法的文字語言及其相對應(yīng)的否定假設(shè)常見詞語至少有一個(gè)至多有一個(gè)唯一一個(gè)不是不可能全都是否定假設(shè)一個(gè)也沒有有兩個(gè)或兩個(gè)以上沒有或有兩個(gè)或兩個(gè)以上是有或存在不全不都是2.放縮法證明不等式的理論依據(jù)(1)不等式的傳遞性(2)等量加不等量為不等量(3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個(gè)分式大小的比較3放縮法證明不等式常用的技巧(1)增項(xiàng)或減項(xiàng)(2)在分式中增大或減小分子或分母(3)應(yīng)用重要不等式放縮，如a2b22ab，ab，(a，b，c>0)(4)利用函數(shù)的單調(diào)性等1求證：<<1(n>1，nN)證明：因?yàn)閚>1，nN，所以<1，>，所以原不等式成立2已知x>0，y>0，且xy>2，求證與中至少有一個(gè)小于2.證明：假設(shè)與均不小于2，即2，2，所以1x2y，1y2x.將兩式相加得xy2，與已知的xy>2矛盾，故假設(shè)不成立，即與中至少有一個(gè)小于2.6