2022年高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí) 增分策略 專題六 解析幾何 第2講 橢圓、雙曲線、拋物線試題

2022年高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí) 增分策略 專題六 解析幾何 第2講 橢圓、雙曲線、拋物線試題1(xx·福建)若雙曲線E：1的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線E上，且|PF1|3，則|PF2|等于()A11 B9C5 D32(xx·課標(biāo)全國)已知拋物線C：y28x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若4，則|QF|等于()A. B.C3 D23(xx·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P為雙曲線x2y21右支上的一個動點若點P到直線xy10的距離大于c恒成立，則實數(shù)c的最大值為_4(xx·安徽)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x21(0<b<1)的左，右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點若|AF1|3|F1B|，AF2x軸，則橢圓E的方程為_1.以選擇題、填空題形式考查圓錐曲線的方程、幾何性質(zhì)(特別是離心率).2.以解答題形式考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(弦長、中點等).熱點一圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程1圓錐曲線的定義(1)橢圓：|PF1|PF2|2a(2a>|F1F2|)；(2)雙曲線：|PF1|PF2|2a(2a<|F1F2|)；(3)拋物線：|PF|PM|，點F不在直線l上，PMl于M.2求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程“先定型，后計算”所謂“定型”，就是曲線焦點所在的坐標(biāo)軸的位置；所謂“計算”，就是指利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2，p的值例1(1)若橢圓C：1的焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓C上，且|PF2|4，則F1PF2等于()A30° B60° C120° D150°(2)(xx·豐臺模擬)已知雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線方程是yx，它的一個焦點坐標(biāo)為(2,0)，則雙曲線的方程為()A.1 B.1Cx21 D.y21思維升華(1)準(zhǔn)確把握圓錐曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單幾何性質(zhì)，注意焦點在不同坐標(biāo)軸上時，橢圓、雙曲線、拋物線方程的不同表示形式(2)求圓錐曲線方程的基本方法就是待定系數(shù)法，可結(jié)合草圖確定跟蹤演練1(1)(xx·大綱全國)已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點為F1、F2，離心率為，過F2的直線l交C于A、B兩點若AF1B的周長為4，則C的方程為()A.1 B.y21C.1 D.1(2)(xx·天津)已知雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線過點(2，)，且雙曲線的一個焦點在拋物線y24x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為()A.1 B.1C.1 D.1熱點二圓錐曲線的幾何性質(zhì)1橢圓、雙曲線中，a，b，c之間的關(guān)系(1)在橢圓中：a2b2c2，離心率為e ；(2)在雙曲線中：c2a2b2，離心率為e.2雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線方程為y±x.注意離心率e與漸近線的斜率的關(guān)系例2(1)橢圓：1(a>b>0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y(xc)與橢圓的一個交點M滿足MF1F22MF2F1，則該橢圓的離心率等于_(2)(xx·西北工業(yè)大學(xué)附中四模)已知雙曲線1的左、右焦點分別為F1、F2，過F1作圓x2y2a2的切線分別交雙曲線的左、右兩支于點B、C，且|BC|CF2|，則雙曲線的漸近線方程為()Ay±3x By±2xCy±(1)x Dy±(1)x思維升華(1)明確圓錐曲線中a，b，c，e各量之間的關(guān)系是求解問題的關(guān)鍵(2)在求解有關(guān)離心率的問題時，一般并不是直接求出c和a的值，而是根據(jù)題目給出的橢圓或雙曲線的幾何特點，建立關(guān)于參數(shù)c，a，b的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或范圍跟蹤演練2(1)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓1 (a>b>0)的左，右焦點，若在直線x上存在點P，使線段PF1的中垂線過點F2，則橢圓的離心率的取值范圍是()A. B.C. D.(2)(xx·重慶)設(shè)雙曲線1(a0，b0)的右焦點為F，右頂點為A，過F作AF的垂線與雙曲線交于B，C兩點，過B，C分別作AC，AB的垂線，兩垂線交于點D，若D到直線BC的距離小于a，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是()A(1,0)(0,1)B(，1)(1，)C(，0)(0，)D(，)(，)熱點三直線與圓錐曲線判斷直線與圓錐曲線公共點的個數(shù)或求交點問題有兩種常用方法(1)代數(shù)法：即聯(lián)立直線與圓錐曲線方程可得到一個關(guān)于x，y的方程組，消去y(或x)得一元方程，此方程根的個數(shù)即為交點個數(shù)，方程組的解即為交點坐標(biāo)；(2)幾何法：即畫出直線與圓錐曲線的圖象，根據(jù)圖象判斷公共點個數(shù)例3(xx·江蘇改編)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓1(ab0)的離心率為，且右焦點F到直線l：x的距離為3.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過F的直線與橢圓交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點P，C，若|PC|2|AB|，求直線AB的方程思維升華解決直線與圓錐曲線問題的通法是聯(lián)立方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求思想，弦長公式等簡化計算；涉及中點弦問題時，也可用“點差法”求解跟蹤演練3(1)(xx·四川)過雙曲線x21的右焦點且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點，則|AB|等于()A. B2C6 D4(2)(xx·南開中學(xué)月考)已知橢圓E：1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于A，B兩點若AB的中點坐標(biāo)為(1，1)，則E的方程為()A.1 B.1C.1 D.11已知雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線上有兩點A，B，若直線l的方程為xy20，且ABl，則橢圓1的離心率為()A. B.C. D.2已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，且點(1，)在該橢圓上(1)求橢圓C的方程；(2)過橢圓C的左焦點F1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，若AOB的面積為，求圓心在原點O且與直線l相切的圓的方程提醒：完成作業(yè)專題六第2講二輪專題強(qiáng)化練專題六第2講橢圓、雙曲線、拋物線A組專題通關(guān)1已知橢圓1(0<m<9)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線交橢圓于A，B兩點，若|AF2|BF2|的最大值為10，則m的值為()A3 B2C1 D.2(xx·廣東)已知雙曲線C：1的離心率e，且其右焦點為F2(5,0)，則雙曲線C的方程為()A.1 B.1C.1 D.13(xx·課標(biāo)全國)已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為()A. B2 C. D.4已知雙曲線C1：1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x22py(p>0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為()Ax2y Bx2yCx28y Dx216y5(xx·課標(biāo)全國)設(shè)F為拋物線C：y23x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，則OAB的面積為()A. B. C. D.6已知P為橢圓1上的一點，M，N分別為圓(x3)2y21和圓(x3)2y24上的點，則|PM|PN|的最小值為_7已知點P(0,2)，拋物線C：y22px(p>0)的焦點為F，線段PF與拋物線C的交點為M，過M作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為Q，若PQF90°，則p_.8(xx·山東)平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C1：1(a>0，b>0)的漸近線與拋物線C2：x22py(p0)交于點O，A，B.若OAB的垂心為C2的焦點，則C1的離心率為_9(xx·威海模擬)已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，焦距為2，離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線l經(jīng)過點M(0,1)，且與橢圓C交于A，B兩點，若2，求直線l的方程10(xx·浙江)如圖，已知拋物線C1：yx2，圓C2：x2(y1)21，過點P(t,0)(t0)作不過原點O的直線PA，PB分別與拋物線C1和圓C2相切，A，B為切點(1)求點A，B的坐標(biāo)；(2)求PAB的面積注：直線與拋物線有且只有一個公共點，且與拋物線的對稱軸不平行，則稱該直線與拋物線相切，稱該公共點為切點B組能力提高11(xx·遼寧)已知點A(2,3)在拋物線C：y22px的準(zhǔn)線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，記C的焦點為F，則直線BF的斜率為()A. B.C. D.12已知圓x2y2上點E處的一條切線l過雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點F，且與雙曲線的右支交于點P，若()，則雙曲線的離心率是_13已知拋物線y24x的準(zhǔn)線過雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點且與雙曲線交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，且AOB的面積為，則雙曲線的離心率為_14已知橢圓C的長軸左、右頂點分別為A，B，離心率e，右焦點為F，且·1.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若P是橢圓C上的一動點，點P關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點為Q，點P在x軸上的射影點為M，連接QM并延長交橢圓于點N，求證：QPN90°.學(xué)生用書答案精析第2講橢圓、雙曲線、拋物線高考真題體驗1B由雙曲線定義|PF2|PF1|2a，|PF1|3，P在左支上，a3，|PF2|PF1|6，|PF2|9，故選B.2C4，|4|，.如圖，過Q作QQl，垂足為Q，設(shè)l與x軸的交點為A，則|AF|4，|QQ|3，根據(jù)拋物線定義可知|QQ|QF|3，故選C.3.解析雙曲線x2y21的漸近線為x±y0，直線xy10與漸近線xy0平行，故兩平行線的距離d.由點P到直線xy10的距離大于c恒成立，得c，故c的最大值為.4x2y21解析設(shè)點B的坐標(biāo)為(x0，y0)x21，F(xiàn)1(，0)，F(xiàn)2(，0)AF2x軸，A(，b2)|AF1|3|F1B|，3，(2，b2)3(x0，y0)x0，y0.點B的坐標(biāo)為.將B代入x21，得b2.橢圓E的方程為x2y21.熱點分類突破例1(1)C(2)C解析(1)由題意得a3，c，所以|PF1|2.在F2PF1中，由余弦定理可得cosF2PF1.又因為cosF2PF1(0°，180°)，所以F2PF1120°.(2)雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線方程是y±x，故可知，又焦點坐標(biāo)為(2,0)，c2，解得a1，b.雙曲線方程為x21.跟蹤演練1(1)A(2)D解析(1)由e得.又AF1B的周長為4，由橢圓定義，得4a4，得a，代入得c1，b2a2c22，故C的方程為1.(2)雙曲線1的漸近線方程為y±x，又漸近線過點(2，)，所以，即2ba，拋物線y24x的準(zhǔn)線方程為x，由已知，得，即a2b27，聯(lián)立解得a24，b23，所求雙曲線的方程為1，選D.例2(1)1(2)C解析(1)直線y(xc)過點F1(c,0)，且傾斜角為60°，所以MF1F260°，從而MF2F130°，所以MF1MF2.在RtMF1F2中，|MF1|c，|MF2|c，所以該橢圓的離心率e1.(2)由題意作出示意圖，易得直線BC的斜率為，cosCF1F2，又由雙曲線的定義及|BC|CF2|可得|CF1|CF2|BF1|2a，|BF2|BF1|2a|BF2|4a，故cosCF1F2b22ab2a20()22()201，故雙曲線的漸近線方程為y±(1)x.跟蹤演練2(1)D(2)A解析(1)設(shè)P，線段F1P的中點Q的坐標(biāo)為，當(dāng)存在時，則，k，由k·k1，得y2，y20，但注意到b22c20，即2c2b2>0，即3c2a2>0，即e2>，故<e<1.當(dāng)不存在時，b22c20，y0，此時F2為中點，即c2c，得e，綜上，得e<1，即所求的橢圓離心率的取值范圍是.(2)由題作出圖象如圖所示由1可知A(a,0)，F(xiàn)(c,0)易得B，C.kAB，kCD.kAC，kBD.lBD：y(xc)，即yx，lCD：y(xc)，即yx.xDc.點D到BC的距離為.<aac，b4<a2(c2a2)a2b2，a2>b2，0<<1.0<<1.例3解(1)由題意，得且c3，解得a，c1，則b1，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)當(dāng)ABx軸時，|AB|，又|CP|3，不合題意當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線AB的方程代入橢圓方程，得(12k2)x24k2x2(k21)0，則x1,2，C的坐標(biāo)為，且|AB|.若k0，則線段AB的垂直平分線為y軸，與直線l平行，不合題意從而k0，故直線PC的方程為y，則P點的坐標(biāo)為，從而|PC|.因為|PC|2|AB|，所以，解得k±1.此時直線AB的方程為yx1或yx1.跟蹤演練3(1)D(2)D解析(1)由題意知，雙曲線x21的漸近線方程為y±x，將xc2代入得y±2，即A，B兩點的坐標(biāo)分別為(2，2)，(2，2)，所以|AB|4.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入橢圓的方程有，1，1，兩式相減得，0.線段AB的中點坐標(biāo)為(1，1)，x1x22，y1y22代入上式得：.直線AB的斜率為，a22b2，右焦點為F(3,0)，a2b2c29，解得a218，b29，又此時點(1，1)在橢圓內(nèi)，橢圓方程為1.高考押題精練1C由條件可知直線l的斜率為，又ABl，可知直線AB的斜率為，故，故2，由此可知a>b>0，則橢圓的焦點在x軸上，設(shè)橢圓的焦距為2c，則2，解得橢圓的離心率為.2解(1)由題意可得e，又a2b2c2，所以b2a2.因為橢圓C經(jīng)過點(1，)，所以1，解得a2，所以b23，故橢圓C的方程為1.(2)由(1)知F1(1,0)，設(shè)直線l的方程為xty1，由消去x，得(43t2)y26ty90，顯然>0恒成立，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2，y1y2，所以|y1y2| ，所以SAOB·|F1O|·|y1y2|，化簡得18t4t2170，即(18t217)(t21)0，解得t1，t(舍去)，又圓O的半徑r，所以r，故圓O的方程為x2y2.二輪專題強(qiáng)化練答案精析第2講橢圓、雙曲線、拋物線1A已知橢圓1(0<m<9)中，a29，b2m.|AF2|BF2|4a|AB|10，|AB|2，|AB|min2，解得m3.2C因為所求雙曲線的右焦點為F2(5,0)且離心率為e，所以c5，a4，b2c2a29，所以所求雙曲線方程為1，故選C.3D如圖，設(shè)雙曲線E的方程為1(a0，b0)，則|AB|2a，由雙曲線的對稱性，可設(shè)點M(x1，y1)在第一象限內(nèi)，過M作MNx軸于點N(x1,0)，ABM為等腰三角形，且ABM120°，|BM|AB|2a，MBN60°，y1|MN|BM|sinMBN2asin 60°a，x1|OB|BN|a2acos 60°2a.將點M(x1，y1)的坐標(biāo)代入1，可得a2b2，e，選D.4D雙曲線C1：1(a>0，b>0)的離心率為2，2，ba，雙曲線的漸近線方程為x±y0，拋物線C2：x22py(p>0)的焦點到雙曲線的漸近線的距離為2，p8.所求的拋物線方程為x216y.5D由已知得焦點坐標(biāo)為F(，0)，因此直線AB的方程為y(x)，即4x4y30.方法一聯(lián)立拋物線方程化簡得4y212y90，故|yAyB|6.因此SOAB|OF|yAyB|××6.方法二聯(lián)立方程得x2x0，故xAxB.根據(jù)拋物線的定義有|AB|xAxBp12，同時原點到直線AB的距離為h，因此SOAB|AB|·h.67解析由題意知橢圓的兩個焦點F1，F(xiàn)2分別是兩圓的圓心，且|PF1|PF2|10，從而|PM|PN|的最小值為|PF1|PF2|127.7.解析由拋物線的定義可得|MQ|MF|，F(xiàn)(，0)，又PQQF，故M為線段PF的中點，所以M(，1)，把M(，1)，代入拋物線y22px(p>0)得，12p×，解得p，故答案為.8.解析由題意，不妨設(shè)直線OA的方程為yx，直線OB的方程為yx.由得x22p ·x，x，y，A.設(shè)拋物線C2的焦點為F，則F，kAF.OAB的垂心為F，AFOB，kAF·kOB1，·1，.設(shè)C1的離心率為e，則e21.e. 9解(1)設(shè)橢圓方程為1(a>0，b>0)，因為c1，所以a2，b，所以橢圓方程為1.(2)由題意得直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為ykx1，聯(lián)立方程得(34k2)x28kx80，且>0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由2，得x12x2，又所以消去x2得()2，解得k2，k±，所以直線l的方程為y±x1，即x2y20或x2y20.10解(1)由題意知直線PA的斜率存在，故可設(shè)直線PA的方程為yk(xt)由消去y，整理得：x24kx4kt0，由于直線PA與拋物線相切，得kt，因此，點A的坐標(biāo)為(2t，t2)設(shè)圓C2的圓心為D(0,1)，點B的坐標(biāo)為(x0，y0)，由題意知：點B，O關(guān)于直線PD對稱，且直線PD：yx1，故 解得因此，點B的坐標(biāo)為.(2)由(1)知，|AP|t· 和直線PA的方程txyt20，點B到直線PA的距離是d，設(shè)PAB的面積為S(t)，所以S(t)|AP|·d.11D拋物線y22px的準(zhǔn)線為直線x，而點A(2,3)在準(zhǔn)線上，所以2，即p4，從而C：y28x，焦點為F(2,0)設(shè)切線方程為y3k(x2)，代入y28x得y2y2k30(k0)，由于14×(2k3)0，所以k2或k.因為切點在第一象限，所以k.將k代入中，得y8，再代入y28x中得x8，所以點B的坐標(biāo)為(8,8)，所以直線BF的斜率為.12.解析如圖所示，設(shè)雙曲線的右焦點為H，連接PH，由題意可知|OE|，由()，可知E為FP的中點由雙曲線的性質(zhì)，可知O為FH的中點，所以O(shè)EPH，且|OE|PH|，故|PH|2|OE|.由雙曲線的定義，可知|PF|PH|2a(P在雙曲線的右支上)，所以|PF|2a|PH|.因為直線l與圓相切，所以PFOE.又OEPH，所以PFPH.在RtPFH中，|FH|2|PH|2|PF|2，即(2c)2()2()2，整理得，即e.132解析拋物線y24x的準(zhǔn)線方程為x1，由題意知，雙曲線的左焦點坐標(biāo)為(1,0)，即c1，且A(c，)，B(c，)，因為AOB的面積為，所以×2××1，即，所以，解得a，e2.14(1)解依題意，設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0)，則A(a,0)，B(a,0)，F(xiàn)(c,0)，由e，得ac.由·1，得(ca,0)·(ca,0)c2a21.聯(lián)立，解得a，c1，所以b21，故橢圓C的方程為y21.(2)證明設(shè)P(x1，y1)，N(x2，y2)，由題意知xi0，yi0(i1,2)，且x1x2，又Q(x1，y1)，M(x1,0)由Q，M，N三點共線，知kQMkQN，所以.又kPQkPN1·1.把代入，得kPQkPN1·1.因為點P，N在橢圓上，所以x2y2，x2y2，把代入，得kPQkPN10，即kPQkPN1，所以QPN90°.