2022春八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理 第2課時(shí) 勾股定理的應(yīng)用教案 （新版）新人教版

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1、2022春八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理 第2課時(shí) 勾股定理的應(yīng)用教案 （新版）新人教版 1．熟練運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題；(重點(diǎn)) 2．掌握勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，探究最短距離問(wèn)題．(難點(diǎn)) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、情境導(dǎo)入 如圖，在一個(gè)圓柱石凳上，若小明在吃東西時(shí)留下了一點(diǎn)食物在B處，恰好一只在A(yíng)處的螞蟻捕捉到這一信息，于是它想從A處爬向B處，你們想一想，螞蟻怎么走最近？ 二、合作探究 探究點(diǎn)一：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用 【類(lèi)型一】 勾股定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用 如圖，在離水面高度為5米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開(kāi)

2、始時(shí)繩子BC的長(zhǎng)為13米，此人以0.5米每秒的速度收繩．問(wèn)6秒后船向岸邊移動(dòng)了多少米(假設(shè)繩子始終是直的，結(jié)果保留根號(hào))? 解析：開(kāi)始時(shí)，AC＝5米，BC＝13米，即可求得AB的值，6秒后根據(jù)BC，AC長(zhǎng)度即可求得AB的值，然后解答即可． 解：在Rt△ABC中，BC＝13米，AC＝5米，則AB＝＝12米.6秒后，B′C＝13－0.5×6＝10米，則AB′＝＝5(米)，則船向岸邊移動(dòng)的距離為(12－5)米． 方法總結(jié)：本題直接考查勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，可建立合理的數(shù)學(xué)模型，將已知條件轉(zhuǎn)化到同一直角三角形中求解． 【類(lèi)型二】 利用勾股定理解決方位角問(wèn)題 如圖所示，在一次夏令營(yíng)活動(dòng)

3、中，小明坐車(chē)從營(yíng)地A點(diǎn)出發(fā)，沿北偏東60°方向走了100km到達(dá)B點(diǎn)，然后再沿北偏西30°方向走了100km到達(dá)目的地C點(diǎn)，求出A、C兩點(diǎn)之間的距離． 解析：根據(jù)所走的方向可判斷出△ABC是直角三角形，根據(jù)勾股定理可求出解． 解：∵AD∥BE，∴∠ABE＝∠DAB＝60°.∵∠CBF＝30°，∴∠ABC＝180°－∠ABE－∠CBF＝180°－60°－30°＝90°.在Rt△ABC中，AB＝100km，BC＝100km，∴AC＝＝＝200(km)，∴A、C兩點(diǎn)之間的距離為200km. 方法總結(jié)：先確定△ABC是直角三角形，再根據(jù)各邊長(zhǎng)，用勾股定理可求出AC的長(zhǎng)． 【類(lèi)型三】 利用勾

4、股定理解決立體圖形最短距離問(wèn)題 如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)BE＝15cm，寬AB＝10cm，高AD＝20cm，點(diǎn)M在CH上，且CM＝5cm，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)M，需要爬行的最短距離是多少？ 解：分兩種情況比較最短距離： 如圖①所示，螞蟻爬行最短路線(xiàn)為AM，AM＝＝5(cm)，如圖②所示，螞蟻爬行最短路線(xiàn)為AM，AM＝＝25(cm)．∵5＞25，∴第二種短些，此時(shí)最短距離為25cm. 答：需要爬行的最短距離是25cm. 方法總結(jié)：因?yàn)殚L(zhǎng)方體的展開(kāi)圖不止一種情況，故對(duì)長(zhǎng)方體相鄰的兩個(gè)面展開(kāi)時(shí)，考慮要全面，不要有所遺漏．不過(guò)要留意展開(kāi)時(shí)的多種情況，雖然看似很多，但由

5、于長(zhǎng)方體的對(duì)面是相同的，所以歸納起來(lái)只需討論三種情況：前面和右面展開(kāi)，前面和上面展開(kāi)，左面和上面展開(kāi)，從而比較取其最小值即可． 【類(lèi)型四】 運(yùn)用勾股定理解決折疊中的有關(guān)計(jì)算 如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為9的正方形紙片，將其沿MN折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上的B′處，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，且B′C＝3，則AM的長(zhǎng)是(　　) 　　　 A．1.5　　　B．2　　　C．2.25　　　D．2.5 解析：連接BM，MB′.設(shè)AM＝x，在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2.在Rt△MDB′中，MD2＋DB′2.∵M(jìn)B＝MB′，∴AB2＋AM2＝BM2＝B′M2＝MD2＋DB′2，即92＋x2＝(9

6、－x)2＋(9－3)2，解得x＝2，即AM＝2.故選B. 方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵是設(shè)出適當(dāng)?shù)木€(xiàn)段的長(zhǎng)度為x，然后用含有x的式子表示其他線(xiàn)段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答． 【類(lèi)型五】 勾股定理與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 如圖，在樹(shù)上距地面10m的D處有兩只猴子，它們同時(shí)發(fā)現(xiàn)地面上C處有一筐水果，一只猴子從D處向上爬到樹(shù)頂A處，然后利用拉在A(yíng)處的滑繩AC滑到C處，另一只猴子從D處先滑到地面B，再由B跑到C，已知兩猴子所經(jīng)過(guò)的路程都是15m，求樹(shù)高AB. 解析：在Rt△ABC中，∠B＝90°，則滿(mǎn)足AB2＋BC2＝AC2.設(shè)BC＝am，AC＝bm，AD＝xm，根據(jù)兩只猴

7、子經(jīng)過(guò)的路程一樣可列方程組，從而求出x的值，即可計(jì)算樹(shù)高． 解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，設(shè)BC＝am，AC＝bm，AD＝xm.∵兩猴子所經(jīng)過(guò)的路程都是15m，則10＋a＝x＋b＝15m.∴a＝5，b＝15－x.又∵在Rt△ABC中，由勾股定理得(10＋x)2＋a2＝b2，∴(10＋x)2＋52＝(15－x)2，解得x＝2，即AD＝2米．∴AB＝AD＋DB＝2＋10＝12(米)． 答：樹(shù)高AB為12米． 方法總結(jié)：勾股定理表達(dá)式中有三個(gè)量，如果條件中只有一個(gè)己知量，通常需要巧設(shè)未知數(shù)，靈活地尋找題中的等量關(guān)系，然后利用勾股定理列方程求解． 探究點(diǎn)二：勾股定理與數(shù)軸 如圖所示，

8、數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，則a的值是(　　) A.＋1 B．－＋1 C.－1 D. 解析：先根據(jù)勾股定理求出三角形的斜邊長(zhǎng)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求出A點(diǎn)的坐標(biāo)．圖中的直角三角形的兩直角邊為1和2，∴斜邊長(zhǎng)為＝，∴－1到A的距離是.那么點(diǎn)A所表示的數(shù)為－1.故選C. 方法總結(jié)：本題考查的是勾股定理及兩點(diǎn)間的距離公式，解答此題時(shí)要注意，確定點(diǎn)A的位置，再根據(jù)A的位置來(lái)確定a的值． 三、板書(shū)設(shè)計(jì) 1．勾股定理的應(yīng)用 方位角問(wèn)題；路程最短問(wèn)題；折疊問(wèn)題；數(shù)形結(jié)合思想． 2．勾股定理與數(shù)軸 本節(jié)課充分鍛煉了學(xué)生動(dòng)手操作能力、分類(lèi)比較能力、討論交流能力和空間想象能力，讓學(xué)生充分體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)思想的魅力和知識(shí)創(chuàng)新的樂(lè)趣，突現(xiàn)教學(xué)過(guò)程中的師生互動(dòng)，使學(xué)生真正成為主動(dòng)學(xué)習(xí)者．