中考數(shù)學(xué)模擬試題匯編 相似與位似（含解析）

中考數(shù)學(xué)模擬試題匯編 相似與位似（含解析）一、單選題 1、下列各組線段長度成比例的是（??????） A、1cm、2cm、3cm、4cmB、1cm、3cm、4.5cm、6.5cmC、1.1cm、2.2cm、3.3cm、4.4cmD、1cm、2cm、2cm、4cm2、如圖，點C是線段AB的黃金分割點（AC＞BC），下列結(jié)論錯誤的是（?????? ）A、B、BC2=AB?BCC、＝D、≈0.6183、設(shè)（2y﹣z）：（z+2x）：y=1：5：2，則（3y﹣z）：（2z﹣x）：（x+3y）=（　?。? A、1：5：7B、3：5：7C、3：5：8D、2：5：84、如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點O在坐標原點，邊OA在x軸上，OC在y軸上，如果矩形OA′B′C′與矩形OABC關(guān)于點O位似，且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的， 那么點B′的坐標是（?????? ）A、（－2，3）B、（2，－3）C、（3，－2）或（－2，3）D、（－2，3）或（2，－3）5、已知k=， 且+n2+9=6n，則關(guān)于自變量x的一次函數(shù)y=kx+m+n的圖象一定經(jīng)過第（　　）象限． A、一、二B、二、三C、三、四D、一、四6、在△ABC中，AB=AC=1，BC=x，∠A=36°.則的值為（???） A、B、C、1D、7、線段AB=10cm，點C是線段AB的黃金分割點，且AC＞BC，則AC與AB的關(guān)系是（ ? ? ） A、AC=ABB、AC=ABC、AC=ABD、AC=AB8、如圖，已知在△ABC中，點D、E、F分別是邊AB、AC、BC上的點，DE∥BC ， EF∥AB ， 且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（　?。?A、5：8B、3：8C、3：5D、2：59、在△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一個和它相似的△DEF最長的一邊是36，則△DEF最短的一邊是（　?。? A、72B、18C、12D、2010、如圖，在5×5的正方形方格中，△ABC的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上，作一個與△ABC相似的△DEF ， 使它的三個頂點都在小正方形的頂點上，則△DEF的最大面積是（　　）.A、5B、10C、D、11、 如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于點D，連接AE，則S△ADE：S△CDB的值等于（　?。〢、1： B、1： C、1：2D、2：312、 如圖的矩形ABCD中，E點在CD上，且AE＜AC．若P、Q兩點分別在AD、AE上，AP：PD=4：1，AQ：QE=4：1，直線PQ交AC于R點，且Q、R兩點到CD的距離分別為q、r，則下列關(guān)系何者正確？（　?。?A、q＜r，QE=RCB、q＜r，QE＜RCC、q=r，QE=RCD、q=r，QE＜RC二、填空題 13、已知△ABC∽△DEF，∠A=∠D，∠C=∠F且AB：DE=1：2，則EF：BC=________． 14、△ABC中，∠A=90°，AB=AC ， BC=63cm，現(xiàn)沿底邊依次從下往上裁剪寬度均為3cm的矩形紙條，如圖所示，已知剪得的紙條中有一張是正方形，則這張正方形紙條是從下往上數(shù)第________張．15、 如圖，在平面直角坐標系中，已知點A、B的坐標分別為（8，0）、（0，2 ），C是AB的中點，過點C作y軸的垂線，垂足為D，動點P從點D出發(fā)，沿DC向點C勻速運動，過點P作x軸的垂線，垂足為E，連接BP、EC．當BP所在直線與EC所在直線第一次垂直時，點P的坐標為________16、 如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，P是BC邊上一動點（不含B、C兩點），將△ABP沿直線AP翻折，點B落在點E處；在CD上有一點M，使得將△CMP沿直線MP翻折后，點C落在直線PE上的點F處，直線PE交CD于點N，連接MA，NA．則以下結(jié)論中正確的有________（寫出所有正確結(jié)論的序號）①△CMP∽△BPA；②四邊形AMCB的面積最大值為10；③當P為BC中點時，AE為線段NP的中垂線；④線段AM的最小值為2 ；⑤當△ABP≌△ADN時，BP=4 ﹣4．17、 如圖，反比例函數(shù)y= （k≠0）的圖象經(jīng)過A，B兩點，過點A作AC⊥x軸，垂足為C，過點B作BD⊥x軸，垂足為D，連接AO，連接BO交AC于點E，若OC=CD，四邊形BDCE的面積為2，則k的值為________．三、作圖題 18、 如圖，已知△ABC，∠BAC=90°，請用尺規(guī)過點A作一條直線，使其將△ABC分成兩個相似的三角形（保留作圖痕跡，不寫作法）四、解答題 19、已知：如圖，△ABC∽△ADE ， ∠A=45°，∠C=40°．求：∠ADE的度數(shù)．? 20、如圖，點D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，且AB=9，AC=6，AD=3，若使△ADE與△ABC相似，求AE的長．? 21 .如圖，已知△ABC．只用直尺（沒有刻度的尺）和圓規(guī)，求作一個△DEF，使得△DEF∽△ABC，且EF=BC．（要求保留作圖痕跡，不必寫出作法）22、 在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（2，﹣4），B（3，﹣2），C（6，﹣3）．（1）畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1；（2）以M點為位似中心，在網(wǎng)格中畫出△A1B1C1的位似圖形△A2B2C2 ， 使△A2B2C2與△A1B1C1的相似比為2：1；（3）若每一個方格的面積為1，則△A2B2C2的面積為?? ? ? ? ? ? ? ? ． 五、綜合題 23、 尤秀同學(xué)遇到了這樣一個問題：如圖1所示，已知AF，BE是△ABC的中線，且AF⊥BE，垂足為P，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c．求證：a2+b2=5c2該同學(xué)仔細分析后，得到如下解題思路：先連接EF，利用EF為△ABC的中位線得到△EPF∽△BPA，故 ，設(shè)PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分別表示出來，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理計算，消去m，n即可得證(1)請你根據(jù)以上解題思路幫尤秀同學(xué)寫出證明過程． (2)利用題中的結(jié)論，解答下列問題：在邊長為3的菱形ABCD中，O為對角線AC，BD的交點，E，F(xiàn)分別為線段AO，DO的中點，連接BE，CF并延長交于點M，BM，CM分別交AD于點G，H，如圖2所示，求MG2+MH2的值．24、 如圖1，在直角坐標系xoy中，直線l：y=kx+b交x軸，y軸于點E，F(xiàn)，點B的坐標是（2，2），過點B分別作x軸、y軸的垂線，垂足為A、C，點D是線段CO上的動點，以BD為對稱軸，作與△BCD或軸對稱的△BC′D．(1)當∠CBD=15°時，求點C′的坐標． (2)當圖1中的直線l經(jīng)過點A，且k=﹣ 時（如圖2），求點D由C到O的運動過程中，線段BC′掃過的圖形與△OAF重疊部分的面積． (3)當圖1中的直線l經(jīng)過點D，C′時（如圖3），以DE為對稱軸，作于△DOE或軸對稱的△DO′E，連結(jié)O′C，O′O，問是否存在點D，使得△DO′E與△CO′O相似？若存在，求出k、b的值；若不存在，請說明理由． 答案解析部分一、單選題【答案】D 【考點】比例線段 【解析】【解答】A、1×4≠2×3，故錯誤；B、1×6.5≠3×4.5，故錯誤；C、1.1×4.4≠2.2×3.3，故錯誤；D、1×4=2×2，故正確．故選D．【分析】如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．依次分析各項即可． 【答案】B 【考點】黃金分割 【解析】【解答】∵AC＞BC，∴AC是較長的線段，根據(jù)黃金分割的定義可知：AB：AC=AC：BC，故A正確，不符合題意；AC2=AB?BC，故B錯誤，＝， 故C正確，不符合題意；≈0.618，故D正確，不符合題意．故選B．【分析】本題主要考查了黃金分割，應(yīng)該識記黃金分割的公式：較短的線段=原線段的倍，較長的線段=原線段的倍，把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（)叫做黃金比． 【答案】B 【考點】分式的化簡求值，比例線段 【解析】【解答】由已知，得2（2y﹣z)=y，即y=z，①5（2y﹣z)=z+2x，即x=5y﹣3z，②由①②，得x=z，③把①③代入（3y﹣z)：（2z﹣x)：（x+3y)，得（3y﹣z)：（2z﹣x)：（x+3y)=z：z：z=3：5：7．故選B．【分析】先根據(jù)已知條件，利用z來表示x和y，然后再將其代入所求化簡、求值。

【答案】D 【考點】坐標與圖形性質(zhì)，位似變換 【解析】【解答】∵矩形OA′B′C′與矩形OABC關(guān)于點O位似，∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC，∵矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的， ∴位似比為：1：2，∵點B的坐標為（-4，6)，∴點B′的坐標是：（-2，3)或（2，-3)．故選：D．【分析】由矩形OA′B′C′與矩形OABC關(guān)于點O位似，且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的 ，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得矩形OA′B′C′與矩形OABC的位似比為1：2，又由點B的坐標為（-4，6)，即可求得答案．【答案】A 【考點】比例的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，平方的非負性，二次根式的非負性 【解析】【解答】+n2+9=6n，=﹣（n﹣3)2 ， ∴m=5，n=3，∵k=∴a+b﹣c=ck，a﹣b+c=bk，﹣a+b+c=ak，相加得：a+b+c=（a+b+c)k，當a+b+c=0時，k為任何數(shù)，當a+b+c≠0時，k=1，即：y=kx+8或y=x+8，所以圖象一定經(jīng)過一二象限．故選A．【分析】首先由+n2+9=6n，根據(jù)二次根式和完全平方式確定m n的值，再由k=?，利用比例的性質(zhì)確定K的值，根據(jù)函數(shù)的圖象特點即可判斷出選項． 【答案】D 【考點】黃金分割 【解析】【解答】由題意可得△ABC為黃金三角形，根據(jù)黃金比即可得到x的值，再代入求值即可.∵AB=AC=1，∠A=36°∴△ABC為黃金三角形∴BC=∴==故選D.【分析】解題的關(guān)鍵是熟記頂角為36°的等腰三角形是黃金三角形，黃金比為【答案】B 【考點】黃金分割 【解析】【解答】根據(jù)黃金分割的概念知，AC：AB=， ∴AC=AB．故本題答案為：B．【分析】把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（)叫做黃金比．【答案】A 【考點】平行線分線段成比例 【解析】【解答】∵AD：DB=3：5，∴BD：AB=5：8，∵DE∥BC ， ∴CE：AC=BD：AB=5：8，∵EF∥AB ， ∴CF：CB=CE：AC=5：8．故選：A．【分析】先由AD：DB=3：5，求得BD：AB的比，再由DE∥BC ， 根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得CE：AC=BD：AB ， 然后由EF∥AB ， 根據(jù)平行線分線段成比例定理，得CF：CB=CE：AC ， 則可求得答案．注意掌握比例線段的對應(yīng)關(guān)系是解此題的關(guān)鍵． 【答案】B 【考點】相似三角形的性質(zhì) 【解析】【解答】設(shè)△DEF最短的一邊是x ， ∵△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一個和它相似的△DEF最長的一邊是36，∴ = ，解得：x=18．故選B ． 【分析】設(shè)△DEF最短的一邊是x ， 由相似三角形的性質(zhì)得到 = ，即可求出x ， 得到△DEF最短的邊． 【答案】A 【考點】相似三角形的性質(zhì) 【解析】【解答】從圖中可以看出△ABC的三邊分別是2， ， ，要讓△ABC的相似三角形最大，就要讓DF為網(wǎng)格最大的對角線，即是 ，所以這兩，相似三角形的相似比是 : = :5△ABC的面積為2×1÷2=1，所以△DEF的最大面積是5．故選A ． 【分析】要讓△ABC的相似三角形最大，就要讓AC為網(wǎng)格最大的對角線，據(jù)此可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答． 【答案】D 【考點】圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì) 【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵∠B=30°，∴ ，∵CE平分∠ACB交⊙O于E，∴ ，∴AD= AB，BD= AB，過C作CE⊥AB于E，連接OE，∵CE平分∠ACB交⊙O于E，∴ = ，∴OE⊥AB，∴OE= AB，CE= AB，∴S△ADE：S△CDB=（ AD?OE）：（ BD?CE）=（ ）：（ ）=2：3．故選D．【分析】由AB是⊙O的直徑，得到∠ACB=90°，根據(jù)已知條件得到 ，根據(jù)三角形的角平分線定理得到 ，求出AD= AB，BD= AB，過C作CE⊥AB于E，連接OE，由CE平分∠ACB交⊙O于E，得到OE⊥AB，求出OE= AB，CE= AB，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．本題考查了圓周角定理，三角形的角平分線定理，三角形的面積的計算，直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵． 【答案】D 【考點】矩形的性質(zhì)，平行線分線段成比例 【解析】【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB∥CD，∵AP：PD=4：1，AQ：QE=4：1，∴ ，∴PQ∥CD，∴ =4，∵平行線間的距離相等，∴q=r，∵ =4，∴ = ，∵AE＜AC，∴QE＜CR．故選D．【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB∥CD，根據(jù)已知條件得到 ，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到PQ∥CD， =4，根據(jù)平行線間的距離相等，得到q=r，證得 = ，于是得到結(jié)論．本題考查了平行線分線段成比例定理，矩形的性質(zhì)，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵． 二、填空題【答案】2：1 【考點】相似三角形的性質(zhì) 【解析】【解答】∵△ABC∽△DEF ， ∠A=∠D ， ∠C=∠F ， ∴ ＝ ＝ ，∵AB：DE=1：2，∴EF：BC=2：1，故答案為2：1．【分析】利用相似三角形的對應(yīng)邊的比相等可以求得兩條線段的比． 【答案】10 【考點】等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，相似三角形的應(yīng)用 【解析】【解答】過點A作AD⊥BC于點D ， ∵△ABC中，∠A= ，AB=AC ， BC=63cm，∴AD=BD= BC= ×63= cm．設(shè)這張正方形紙條是從下往上數(shù)第n張，∵則BnCn∥BC ， ∴△ABnCn∽△ABC ， ∴ ，即 ，解得n=10．故答案為：10．【分析】先求出△ABC的高，再根據(jù)截取正方形以后所剩下的三角形與原三角形相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊上的高的比等于相似比進行求解．解答此類題熟練掌握相似三角形性質(zhì)：相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比． 【答案】（1， ） 【考點】坐標與圖形性質(zhì)，平行線分線段成比例，相似三角形的判定與性質(zhì) 【解析】【解答】解：∵點A、B的坐標分別為（8，0），（0，2 ） ∴BO= ，AO=8,由CD⊥BO，C是AB的中點，可得BD=DO= BO= =PE，CD= AO=4設(shè)DP=a，則CP=4﹣a當BP所在直線與EC所在直線第一次垂直時，∠FCP=∠DBP又∵EP⊥CP，PD⊥BD∴∠EPC=∠PDB=90°∴△EPC∽△PDB∴ ，即 解得a1=1，a2=3（舍去）∴DP=1又∵PE= ∴P（1， ）故答案為：（1， ）．【分析】先根據(jù)題意求得CD和PE的長，再判定△EPC∽△PDB，列出相關(guān)的比例式，求得DP的長，最后根據(jù)PE、DP的長得到點P的坐標．本題主要考查了坐標與圖形性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)．解題時注意：有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似． 【答案】①②⑤ 【考點】全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定 【解析】【解答】解：∵∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN，∵∠CPN+∠NPB=180°，∴2∠NPM+2∠APE=180°，∴∠MPN+∠APE=90°，∴∠APM=90°，∵∠CPM+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，∴∠CPM=∠PAB，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=CB=DC=AD=4，∠C=∠B=90°，∴△CMP∽△BPA．故①正確，設(shè)PB=x，則CP=4﹣x，∵△CMP∽△BPA，∴ = ，∴CM= x（4﹣x），∴S四邊形AMCB= [4+ x（4﹣x）]×4=﹣ x2+2x+8=﹣ （x﹣2）2+10，∴x=2時，四邊形AMCB面積最大值為10，故②正確，當PB=PC=PE=2時，設(shè)ND=NE=y，在RT△PCN中，（y+2）2=（4﹣y）2+22解得y= ，∴NE≠EP，故③錯誤，作MG⊥AB于G，∵AM= = ，∴AG最小時AM最小，∵AG=AB﹣BG=AB﹣CM=4﹣ x（4﹣x）= （x﹣1）2+3，∴x=1時，AG最小值=3，∴AM的最小值= =5，故④錯誤．∵△ABP≌△ADN時，∴∠PAB=∠DAN=22.5°，在AB上取一點K使得AK=PK，設(shè)PB=z，∴∠KPA=∠KAP=22.5°∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，∴∠BPK=∠BKP=45°，∴PB=BK=z，AK=PK= z，∴z+ z=4，∴z=4 ﹣4，∴PB=4 ﹣4故⑤正確．故答案為①②⑤．【分析】①正確，只要證明∠APM=90°即可解決問題．???????????? ②正確，設(shè)PB=x，構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)解決問題即可．???????????? ③錯誤，設(shè)ND=NE=y，在RT△PCN中，利用勾股定理求出y即可解決問題．???????????? ④錯誤，作MG⊥AB于G，因為AM= = ，所以AG最小時AM最小，構(gòu)建二次函數(shù)，求得AG的最小值為3，AM的最小值為5．??????????? ⑤正確，在AB上取一點K使得AK=PK，設(shè)PB=z，列出方程即可解決問題．本題考查相似形綜合題、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考壓軸題． 【答案】- 【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，平行線分線段成比例 【解析】【解答】解：設(shè)點B坐標為（a，b），則DO=﹣a，BD=b∵AC⊥x軸，BD⊥x軸∴BD∥AC∵OC=CD∴CE= BD= b，CD= DO= a∵四邊形BDCE的面積為2∴ （BD+CE）×CD=2，即 （b+ b）×（﹣ a）=2∴ab=﹣ 將B（a，b）代入反比例函數(shù)y= （k≠0），得k=ab=﹣ 故答案為：﹣ 【分析】先設(shè)點B坐標為（a，b），根據(jù)平行線分線段成比例定理，求得梯形BDCE的上下底邊長與高，再根據(jù)四邊形BDCE的面積求得ab的值，最后計算k的值．本題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，解決問題的關(guān)鍵是運用數(shù)形結(jié)合的思想方法進行求解．本題也可以根據(jù)△OCE與△ODB相似比為1：2求得△BOD的面積，進而得到k的值． 三、作圖題【答案】解：如圖，AD為所作．【考點】作圖—相似變換 【解析】【分析】過點A作AD⊥BC于D，利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠C，則可判斷△ABD與△CAD相似．本題考查了作圖﹣相似變換：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到．解決本題的關(guān)鍵是利用有一組銳角相等的兩直角三角形相似． 四、解答題【答案】解答：∵△ABC∽△ADE ， ∠C=40°，∴∠AED=∠C=40°．在△ADE中，∵∠AED+∠ADE+∠A=180°，∠A=45°即40°+∠ADE+45°=180°，∴∠ADE=95°． 【考點】相似三角形的性質(zhì) 【解析】【分析】由△ABC∽△ADE ， ∠C=40°，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等，即可求得∠AED的度數(shù)，又由三角形的內(nèi)角和等于180°，即可求得∠ADE的度數(shù)． 【答案】解答：①若∠AED對應(yīng)∠B時，= ，即 = ，解得AE= ；②當∠ADE對應(yīng)∠B時，= ，即 = ，解得AE=2．所以AE的長為2或 ． 【考點】相似三角形的性質(zhì) 【解析】【分析】由于△ADE與△ABC相似，但其對應(yīng)角不能確定，所以應(yīng)分兩種情況進行討論． 【答案】解：畫圖?△DEF就是所求三角形． 【考點】三角形中位線定理，作圖—相似變換 【解析】【分析】作△ABC的中位線MN，再作△DEF≌△AMN即可． 【答案】解：（1）如圖所示：△A1B1C1 ， 即為所求；（2）如圖所示：△A2B2C2 ， 即為所求；（3）△A2B2C2的面積為：4×8﹣×2×4﹣×2×6﹣×2×8=14．故答案為：14．? 【考點】作圖-軸對稱變換，作圖—相似變換 【解析】【分析】（1）直接利用關(guān)于x軸對稱點的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置進而得出答案；（2）利用位似圖形的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置進而得出答案；（3）利用△A2B2C2所在矩形的面積減去周圍三角形面積進而得出答案． 五、綜合題【答案】（1）解：設(shè)PF=m，PE=n，連結(jié)EF，如圖1，∵AF，BE是△ABC的中線，∴EF為△ABC的中位線，AE= b，BF= a，∴EF∥AB，EF= c，∴△EFP∽△BPA，∴ ，即 = ，∴PB=2n，PA=2m，在Rt△AEP中，∵PE2+PA2=AE2 ， ∴n2+4m2= b2①，在Rt△AEP中，∵PF2+PB2=BF2 ， ∴m2+4n2= a2②，①+②得5（n2+m2）= （a2+b2），在Rt△EFP中，∵PE2+PF2=EF2 ， ∴n2+m2=EF2= c2 ， ∴5? c2= （a2+b2），∴a2+b2=5c2；（2）解：∵四邊形ABCD為菱形，∴BD⊥AC，∵E，F(xiàn)分別為線段AO，DO的中點，由（1）的結(jié)論得MB2+MC2=5BC2=5×32=45，∵AG∥BC，∴△AEG∽△CEB，∴ = ，∴AG=1，同理可得DH=1，∴GH=1，∴GH∥BC，∴ = ，∴MB=3GM，MC=3MH，∴9MG2+9MH2=45，∴MG2+MH2=5． 【考點】三角形中位線定理，相似三角形的判定 【解析】【分析】（1）設(shè)PF=m，PE=n，連結(jié)EF，如圖1，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得EF∥AB，EF= c，則可判斷△EFP∽△BPA，利用相似比得到PB=2n，PA=2m，接著根據(jù)勾股定理得到n2+4m2= b2 ， m2+4n2= a2 ， 則5（n2+m2）= （a2+b2），而n2+m2=EF2= c2 ， 所以a2+b2=5c2；（2）利用（1）的結(jié)論得MB2+MC2=5BC2=5×32=45，再利用△AEG∽△CEB可計算出AG=1，同理可得DH=1，則GH=1，然后利用GH∥BC，根據(jù)平行線分線段長比例定理得到MB=3GM，MC=3MH，然后等量代換后可得MG2+MH2=5．本題考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．也考查了三角形中位線性質(zhì)和菱形的性質(zhì)． 【答案】（1）解：∵△CBD≌△C′BD，∴∠CBD=∠C′BD=15°，C′B=CB=2，∴∠CBC′=30°，如圖1，作C′H⊥BC于H，則C′H=1，HB= ，∴CH=2﹣ ，∴點C′的坐標為：（2﹣ ，1）（2）解：如圖2，∵A（2，0），k=﹣ ，∴代入直線AF的解析式為：y=﹣ x+b，∴b= ，則直線AF的解析式為：y=﹣ x+ ，∴∠OAF=30°，∠BAF=60°，∵在點D由C到O的運動過程中，BC′掃過的圖形是扇形，∴當D與O重合時，點C′與A重合，且BC′掃過的圖形與△OAF重合部分是弓形，當C′在直線y=﹣ x+ 上時，BC′=BC=AB，∴△ABC′是等邊三角形，這時∠ABC′=60°，∴重疊部分的面積是： ﹣ ×22= π﹣ （3）解：如圖3，設(shè)OO′與DE交于點M，則O′M=OM，OO′⊥DE，若△DO′E與△COO′相似，則△COO′必是Rt△，在點D由C到O的運動過程中，△COO′中顯然只能∠CO′O=90°，∴CO′∥DE，∴CD=OD=1，∴b=1，連接BE，由軸對稱性可知C′D=CD，BC′=BC=BA，∠BC′E=∠BCD=∠BAE=90°，在Rt△BAE和Rt△BC′E中∵ ，∴Rt△BAE≌Rt△BC′E（HL），∴AE=C′E，∴DE=DC′+C′E=DC+AE，設(shè)OE=x，則AE=2﹣x，∴DE=DC+AE=3﹣x，由勾股定理得：x2+1=（3﹣x）2 ， 解得：x=，∵D（0，1），E（ ，0），∴ k+1=0，解得：k=﹣ ，∴存在點D，使△DO′E與△COO′相似，這時k=﹣ ，b=1．【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似圖形 【解析】【分析】（1）利用翻折變換的性質(zhì)得出∠CBD=∠C′BD=15°，C′B=CB=2，進而得出CH的長，進而得出答案；（2）首先求出直線AF的解析式，進而得出當D與O重合時，點C′與A重合，且BC′掃過的圖形與△OAF重合部分是弓形，求出即可；（3）根據(jù)題意得出△DO′E與△COO′相似，則△COO′必是Rt△，進而得出Rt△BAE≌Rt△BC′E（HL），再利用勾股定理求出EO的長進而得出答案． 。