2022年高二數(shù)學(xué) 7.5曲線和方程(備課資料)大綱人教版必修

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1、2022年高二數(shù)學(xué) 7.5曲線和方程(備課資料)大綱人教版必修 參考練習(xí)題 1.如果曲線C上的點(diǎn)滿足方程F（x,y)=0，則以下說法正確的是（ ） A.曲線C的方程是F(x,y)=0 B.方程F(x,y)=0的曲線是C C.坐標(biāo)滿足方程F(x,y)=0的點(diǎn)在曲線C上 D.坐標(biāo)不滿足方程F（x,y)=0的點(diǎn)不在曲線C上 分析：判定曲線和方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，必須注意兩點(diǎn)：（1）曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解，即直觀地說“點(diǎn)不比解多”稱為純粹性；（2）以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上，即直觀地說“解不比點(diǎn)多”，稱為完備性，只有點(diǎn)和解一一對(duì)應(yīng)，才能說曲線的方程，方程和曲線. 解：

2、由已知條件，只能說具備純粹性，但不一定具備完備性.故選D. 2.判斷下列結(jié)論的正誤，并說明理由. （1）過點(diǎn)A（3，0）且垂直于x軸的直線的方程為x=0; (2)到x軸距離為2的點(diǎn)的直線方程為y=-2; (3)到兩坐標(biāo)軸的距離面積等于1的點(diǎn)的軌跡方程為xy=1; (4)△ABC的頂點(diǎn)A（0，-3），B（1，0），C（-1，0），D為BC中點(diǎn)，則中線AD的方程為x=0. 分析：判斷所給問題的正誤，主要依據(jù)是曲線的方程及方程的曲線的定義，即考查曲線上的點(diǎn)的純粹性和完備性. 解：（1）滿足曲線方程的定義. ∴結(jié)論正確. （2）因到x軸距離為2的點(diǎn)的直線方程還有一個(gè)；y=2，即不具

3、備完備性. ∴結(jié)論錯(cuò)誤. （3）到兩坐標(biāo)軸的距離的乘積等于1的點(diǎn)的軌跡方程應(yīng)為｜x｜·｜y｜=1,即xy=±1. ∴所給問題不具備完備性. ∴結(jié)論錯(cuò)誤. （4）中線AD是一條線段，而不是直線， ∴x=0(-3≤y≤0), ∴所給問題不具備純粹性. ∴結(jié)論錯(cuò)誤. 3.方程（3x-4y-12)·［log2(x+2y)-3］=0的曲線經(jīng)過點(diǎn)A（0，-3）、B（0，4）、C（）、D（4，0）中的（ ） A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè) 分析：方程表示的兩條直線3x-4y-12=0和x+2y-9=0，但應(yīng)注意對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0， ∴x

4、+2y＞0. 解：由對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，得x+2y＞0. ∴A(0,-3)、C()不合要求. 將B（0，4）代入方程檢驗(yàn)，不合要求. 將D（4，0）代入方程檢驗(yàn)，合乎要求. 故選B. 4.已知點(diǎn)A（-3，0），B（0，），C（4，-），D（3secθ, tanθ),其中在曲線5x2-9y2=45上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 分析：由曲線上的點(diǎn)與方程的解的關(guān)系，只要把點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，若滿足這個(gè)方程，說明這是這個(gè)方程的解，這個(gè)點(diǎn)就在該方程表示的曲線上. 解：將點(diǎn)A（-3，0）、B（0，）、C（4，-）、D

5、（3secθ, tanθ)代入方程5x2-9y2=45檢驗(yàn)，只有點(diǎn)A和點(diǎn)B滿足方程. 故選B. 5.如果兩條曲線的方程F1(x,y)=0和F2(x,y)=0，它們的交點(diǎn)M（x0,y0)，求證：方程F1(x,y)+λF2(x,y)=0表示的曲線也經(jīng)過M點(diǎn).（λ為任意常數(shù)） 分析：只要將M點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程. F1(x,y)+λF2(x,y)=0，看點(diǎn)M的坐標(biāo)是否滿足方程即可. 證明：∵M(jìn)(x0,y0)是曲線F1(x,y)=0和F2(x,y)=0的交點(diǎn)， ∴F1（x0,y0)=0,F2(x0,y0)=0. ∴F1(x0,y0)+λF2(x0,y0)=0(λ∈R) ∴M(x0,y0)

6、在方程F1(x,y)+λF2(x,y)=0所表示的曲線上. 評(píng)述：方程F1(x,y)+λF2(x,y)=0也稱為過曲線F1(x,y)=0和F2(x,y)=0的交點(diǎn)的曲線系方程. ●備課資料 參考練習(xí)題 1.動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)A（0，3）的距離等于它到定直線y=-1的距離，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程. 分析：依據(jù)求曲線方程的步驟求解. 解：設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)為M（x,y)，作MN垂直于直線y=-1于點(diǎn)N， 則由｜MN｜=｜AM｜ 得｜y+1｜= 整理：y=x2+1 ∴所求軌跡方程為：y=x2+1. 如圖所示： 2.已知點(diǎn)A（-a,0）,B(a,0),(a∈R+)，若動(dòng)點(diǎn)M

7、與兩定點(diǎn)A、B構(gòu)成直角三角形，求直角頂點(diǎn)M的軌跡方程. 分析：先依題意畫出草圖，幫助分析，然后按求曲線方程的步驟求解. 解：如圖，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（x,y) 由AM⊥BM 得kAM·kBM=-1. 即x2+y2=a2 ∵M(jìn)、A、B三點(diǎn)構(gòu)成三角形 ∴M、A、B三點(diǎn)不共線，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)y≠0，從而得x≠±a. ∴所求軌跡的方程為： x2+y2=a2(x≠±a) 3.已知平面上兩個(gè)定點(diǎn)A、B之間的距離為2a，點(diǎn)M到A、B兩點(diǎn)的距離之比為2∶1，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程. 分析：因已知條件中未給定坐標(biāo)系，所以需“恰當(dāng)”建立坐標(biāo)系，考慮到對(duì)稱性，由｜AB｜=2a,選A、B兩點(diǎn)所在的直線為

8、x軸，AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).A（-a,0）,B(a,0)，再求解. 解：如圖，以兩定點(diǎn)A、B所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立坐標(biāo)系. ∵｜AB｜=2a. ∴設(shè)A(-a,0),B(a,0),M(x,y) ∵｜MA｜∶｜MB｜=2∶1 ∶ =2∶1 =2 化簡，得（x-a)2+y2=a2 ∴所求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為 （x-a）2+y2=a2. 4.一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)A、B的距離的平方和為122，｜AB｜=10,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程. 分析一：因兩定點(diǎn)A、B的距離｜AB｜=10,選A、B所在直線為x軸，原點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，建立坐標(biāo)系. 解法一：建立坐標(biāo)系，使AB在x軸上，原

9、點(diǎn)為AB的中點(diǎn)， ∵｜AB｜=10,∴A(-5,0)、B(5,0) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)為P（x,y) 依題意｜PA｜2+｜PB｜2=122，得 （x+5)2+y2+(x-5)2+y2=122. 化簡，x2+y2=36. 分析二：取A、B所在直線為x軸，A為坐標(biāo)原點(diǎn)，因｜AB｜=10,則B（10，0），然后依題設(shè)條件，列出方程. 解法二：建立直角坐標(biāo)系，使AB在x軸上，原點(diǎn)為A點(diǎn)， ∵｜AB｜=10，則B（10，0）， 設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x,y). 依題意，得x2+y2+(x-10)2+y2=122 化簡：x2+y2-10x-11=0. 評(píng)述：不難發(fā)現(xiàn)，在上面兩種解法中，由于選取直角坐標(biāo)系的

10、不同而導(dǎo)致曲線的繁簡程度不一.解法一中利用對(duì)稱性，取AB中點(diǎn)為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，解法二中直接將線段AB的左端點(diǎn)取為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，解法一的方程比解法二的方程簡潔，但不能由此斷定任何情況下，取線段中點(diǎn)為坐標(biāo)系的原點(diǎn)就是最恰當(dāng)?shù)?，上面?中，如取A（-,0）,B(-,0)，則曲線方程為x2+y2=a2. ●備課資料 參考練習(xí)題 1.求點(diǎn)P到點(diǎn)F（4，0）的距離比它到直線x+5=0的距離小1的點(diǎn)的軌跡方程. 分析：利用直接法列出方程. 解：設(shè)P（x,y)為所求軌跡上任意一點(diǎn)， ∵點(diǎn)P到F的距離比它到直線x+5=0的距離小1. 故點(diǎn)P到F（4，0）的距離與點(diǎn)P到直線x+4=0的距離｜PD｜相等

11、. ∴｜PF｜=｜PD｜ ∴=｜x-(-4)｜ ∴y2=16x. 2.過點(diǎn)P(2,4)作互相垂直的直線l1,l2，若l1交x軸于A，l2交y軸于B，求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程. 分析一：設(shè)M（x,y)為所求軌跡上任意一點(diǎn)，利用l1⊥l2，由k1·k2=-1求解. 解法一：設(shè)M(x,y)為所求軌跡上任一點(diǎn)， ∵M(jìn)為AB中點(diǎn)， ∴A（2x,0),B(0,2y), ∵l1⊥l2且l1,l2過點(diǎn)P（2，4）， ∴PA⊥PB ∴kPA·kPB=-1 ∵kPA=(x≠1) kPB= ∴· =-1 即：x+2y-5=0(x≠1) 當(dāng)x=1時(shí)，A（2，0）、B（0，4）,此時(shí)A

12、B中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2），它也滿足方程x+2y-5=0. ∴所求點(diǎn)M的軌跡方程為x+2y-5=0. 分析二：連結(jié)PM，由l1⊥l2， ∴△APB為直角三角形, ｜PM｜=｜AB｜ 解法二：連結(jié)PM. 設(shè)M（x,y), 則A(2x,0),B(0,2y) ∵l1⊥l2，∴△PAB為直角三角形 ∴｜PM｜=｜AB｜ 即 化簡：x+2y-5=0 ∴所求點(diǎn)M的軌跡方程為x+2y-5=0. 3.已知定點(diǎn)A（4，0）和圓x2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn)B，點(diǎn)P分AB之比為2∶1，求點(diǎn)P的軌跡方程. 分析：設(shè)點(diǎn)P（x,y)，B（x0,y0) 由=2，找出x、y與x0、y0的關(guān)系. 利用

13、已知曲線方程消去x0、y0，得到x、y的關(guān)系. 解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x,y）及圓上點(diǎn)B（x0,y0） ∵λ==2, 代入圓的方程x2+y2=4 得 即：(x-)2+y2= ∴所求軌跡方程為：（x-）2+y2=. 4.過不在坐標(biāo)軸上的定點(diǎn)M（a,b)任作一直線，分別交x軸、y軸于A、B，求線段AB中點(diǎn)P的軌跡方程. 分析：利用平面幾何性質(zhì)求解. 解法一：設(shè)線段AB的中點(diǎn)為P（x,y) 作MC⊥y軸，PD⊥y軸，垂足分別為C、D， 則：CM=a，OC=b，DP=x，OD=DB=y ∵M(jìn)C∥PD ∴△MBC∽△PBD ∴ 即（x≠0,y≠0) 故所求軌跡方程為：2xy-

14、bx-ay=0. 分析二：利用B、M、A三點(diǎn)共線得kMA=kMB求解. 解法二：設(shè)點(diǎn)A（m,0),B(0,n) 則線段AB的中點(diǎn)P（x,y)的坐標(biāo)滿足 m=2x,n=2y. ∵B、M、A共線 ∴kMA=kMB ∴ 得an-mn+mb=0. 由m=2x,n=2y 得ay-2xy+bx=0. 分析三：因AB直線過點(diǎn)M（a,b)，設(shè)其方程為：y-b=k(x-a).將斜率k作參數(shù)求解. 解法三：設(shè)線段AB的中點(diǎn)為P（x,y)， 過點(diǎn)M（a,b)的直線方程為： y-b=k(x-a),(k≠0) 則A(a-,0),B(0,b-ak) ∴中點(diǎn)P的坐標(biāo)為： 消去k得所求方

15、程為： 2xy-bx-ay=0. ●備課資料 參考練習(xí)題 1.若直線l:y=x+b與曲線C:y=有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求b的取值范圍. 分析：將曲線的交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程組的解的問題來求解. 解：由 消去x得，得 2y2-2by+b2-1=0(y≥0) ① 由題設(shè)條件直線l與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以將問題轉(zhuǎn)化為求方程①有兩個(gè)不同的非負(fù)實(shí)數(shù)根. ∴ 解得1≤b＜. ∴所求b的取值范圍為1≤b＜. 2.已知拋物線y=-x2+mx-1與以A(3,0)，B（0，3）為端點(diǎn)的線段AB恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 分析：由直線AB的方程為y=-x+

16、3，得線段AB的方程為:y=-x+3(0≤x≤3),由題設(shè)拋物線y=-x2+mx-1與線段AB：y=-x+3恰有一個(gè)公共點(diǎn)，問題歸結(jié)為方程組 在0≤x≤3內(nèi)只有一個(gè)實(shí)數(shù)解. 解：線段AB方程為y=-x+3.(0≤x≤3). 代入拋物線方程得 x2-(m+1)x+4=0(0≤x≤3) ① 問題歸結(jié)為方程x2-(m+1)x+4=0在［0,3］內(nèi)僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解. 令f(x)=x2-(m+1)x+4, 結(jié)合f(x)=x2-(m+1)x+4在區(qū)間［0,3］上的圖象可知. (ⅰ)當(dāng)m=3時(shí)，方程有兩相等實(shí)根，且對(duì)稱軸在區(qū)間［0,3］內(nèi). （ⅱ)當(dāng)f(0)·f(3)≤0，即

17、4［9-3(m+1)+4］≤0 即m≥時(shí)，方程恰有一實(shí)根在［0,3］內(nèi). 但當(dāng)m=時(shí)，由方程①得x1=或x2=3，即方程①當(dāng)m=時(shí)，有兩實(shí)根在區(qū)間［0，3］內(nèi)，不合題意，舍去. 綜上所述，所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為 m=3或m＞. 3．曲線2y2+3x+3=0與曲線x2+y2-4x-5=0的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 解：由 ① ② 得：2x2-11x-13=0. 即（2x-13）(x+1)=0. 將 x1=-1,x2=分別代入①， 得 即兩曲線有一個(gè)公共點(diǎn)（-1，0）. ∴應(yīng)選D

18、. 評(píng)述：由曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)和它的方程的解之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可知，兩條曲線的交點(diǎn)的坐標(biāo)，應(yīng)是由這兩條曲線的方程所組成的方程組的實(shí)數(shù)解.方程組有幾個(gè)實(shí)數(shù)解，這兩條曲線就有幾個(gè)交點(diǎn). 4.給出下列曲線，其中與直線y=-2x-3有交點(diǎn)的所有曲線是（ ） ①4x+2y-1=0 ②x2+y2=3 ③ ④ A. ①③　　　　　　　B.②④ C.①②③ D.②③④ 分析：如果不加深入思考，采用直線方程y=-2x-3分別與四個(gè)曲線方程分別聯(lián)立求交點(diǎn)，那是何等的復(fù)雜、冗長，且易出現(xiàn)差錯(cuò).作為一個(gè)選擇題，這樣來處理，有些不恰當(dāng)，如何解呢？ 解：∵y=-2x-3可變形為4x+2y+6=0.顯然此直線與直線4x+2y-1=0平行.故排除A、C，將y=-2x-3代入 .并整理得9x2+24x+16=0,即(3x+4)2=0. 解之得 ∴應(yīng)選D 評(píng)述：本題考查曲線交點(diǎn)，立足基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)巧妙 .一個(gè)一個(gè)求交點(diǎn)較繁且易出錯(cuò).只有分析判斷能力強(qiáng)、思維靈活、正反面結(jié)合，才能快速準(zhǔn)確地求得解答，本題對(duì)分析、判斷能力要求較高.